Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur la résolution d'équation
Exercice 4-1
modifierRésoudre les équations :
- ;
- .
- donc les deux solutions sont , c'est-à-dire et .
- Les quatre solutions sont les racines carrées de et , c'est-à-dire et .
Résoudre dans , en donnant la forme cartésienne et la forme polaire des solutions :
- (indication : ) ;
- .
- , .
- Les solutions de sont .
Exercice 4-2
modifier- Résoudre les équations :
- ;
- .
- En déduire réels tels que :
- .
-
- . donc les deux solutions sont , c'est-à-dire et .
- donc les quatre solutions sont et .
- .
Exercice 4-3
modifierRésoudre les équations :
- ;
- .
- donc les deux solutions sont .
- Les quatre solutions sont les racines carrées de , c'est-à-dire si et si .
Exercice 4-4
modifierRésoudre l'équation :
- .
Une solution évidente de est donc l'autre est . Les six solutions de l'équation proposée sont leurs racines cubiques : , , , et .
Exercice 4-5
modifierRésoudre les équations :
- ;
- .
- . Il y a donc 3 solutions : , et ;
- . Il y a donc une demi-droite (d'origine ) de solutions.
Exercice 4-6
modifierRésoudre l'équation :
- .
donc les quatre solutions sont , et .
Exercice 4-7
modifierDémontrez que l'équation suivante admet une racine réelle puis la résoudre :
- .
.
.
.
Les trois solutions sont donc et , c'est-à-dire , et .
Exercice 4-8
modifierQuelle est la condition nécessaire et suffisante sur pour que le triangle des images des solutions de
soit équilatéral ?
Notons les trois solutions. Le triangle est équilatéral si et seulement si . Or et donc . Par conséquent, le triangle est équilatéral si et seulement si .
Exercice 4-9
modifierSoit l'équation :
- .
Démontrez que le triangle des images est rectangle isocèle.
L'équation a une solution réelle : .
- .
.
Les trois solutions , et vérifient : .
Exercice 4-10
modifierPour , soit :
- .
1° Vérifier que . Résoudre dans : .
2° Soit . Résoudre dans : .
3° Démontrez que est équilatéral.
- . . Les deux autres racines de sont donc .
- donc les trois racines de sont et .
- Cf. exercice 4-8 ci-dessus : . Ou directement : .
Exercice 4-11
modifierSoit, dans , les équations :
- (1) ;
- (2) .
1° Vérifiez que et sont solutions de (1).
2° Résoudre (2).
3° Démontrez que si est solution de (1) et est solution de (2), alors est solution de (1).
4° Résoudre (1).
-
- , et .
- , et .
- Les trois solutions de (2) sont et .
- Si alors et (donc) .
- Les six solutions de (1) sont donc , , , , et .