Voir éventuellement d'autres exercices plus simples sur les modules et les arguments.
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Exercice : Sur les modules et argumentsCalcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur les modules et arguments », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soient z , u ∈ C {\displaystyle z,u\in \mathbb {C} } , avec u ≠ 1 {\displaystyle u\neq 1} . Démontrer que z − u z ¯ 1 − u {\displaystyle {\frac {z-u{\bar {z}}}{1-u}}} est réel si et seulement si | u | = 1 {\displaystyle |u|=1} ou z ∈ R {\displaystyle z\in \mathbb {R} } .
Solution
z − u z ¯ 1 − u ∈ R ⇔ z − u z ¯ 1 − u = z ¯ − u ¯ z 1 − u ¯ ⇔ ( z − u z ¯ ) ( 1 − u ¯ ) = ( z ¯ − u ¯ z ) ( 1 − u ) ⇔ z − u z ¯ − z u ¯ + | u | 2 z ¯ = z ¯ − u ¯ z − z ¯ u + | u | 2 z ⇔ z + | u | 2 z ¯ = z ¯ + | u | 2 z ⇔ ( z − z ¯ ) ( 1 − | u | 2 ) = 0 ⇔ z = z ¯ ou | u | 2 = 1 ⇔ z ∈ R ou | u | = 1. {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {z-u{\bar {z}}}{1-u}}\in \mathbb {R} &\Leftrightarrow {\frac {z-u{\bar {z}}}{1-u}}={\frac {{\bar {z}}-{\bar {u}}z}{1-{\bar {u}}}}\\&\Leftrightarrow \left(z-u{\bar {z}}\right)\left(1-{\bar {u}}\right)=\left({\bar {z}}-{\bar {u}}z\right)\left(1-u\right)\\&\Leftrightarrow z-u{\bar {z}}-z{\bar {u}}+|u|^{2}{\bar {z}}={\bar {z}}-{\bar {u}}z-{\bar {z}}u+|u|^{2}z\\&\Leftrightarrow z+|u|^{2}{\bar {z}}={\bar {z}}+|u|^{2}z\\&\Leftrightarrow \left(z-{\bar {z}}\right)\left(1-|u|^{2}\right)=0\\&\Leftrightarrow z={\bar {z}}{\text{ ou }}|u|^{2}=1\\&\Leftrightarrow z\in \mathbb {R} {\text{ ou }}|u|=1.\end{aligned}}}
z {\displaystyle z} et z ′ {\displaystyle z'} désignent des nombres complexes, Montrer que :
| z + z ′ | 2 + | z − z ′ | 2 = 2 ( | z | 2 + | z ′ | 2 ) {\displaystyle |z+z'|^{2}+|z-z'|^{2}=2\left(\left|z\right|^{2}+\left|z'\right|^{2}\right)} .
Solution
| z + z ′ | 2 + | z − z ′ | 2 = ( z + z ′ ) ( z ¯ + z ¯ ′ ) + ( z − z ′ ) ( z ¯ − z ¯ ′ ) = | z | 2 + z z ¯ ′ + z ′ z ¯ + | z ′ | 2 + | z | 2 − z z ¯ ′ − z ′ z ¯ + | z ′ | 2 = 2 ( | z | 2 + | z ′ | 2 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}|z+z'|^{2}+|z-z'|^{2}&=\left(z+z'\right)\left({\bar {z}}+{\bar {z}}'\right)+\left(z-z'\right)\left({\bar {z}}-{\bar {z}}'\right)\\&=\left|z\right|^{2}+z{\bar {z}}'+z'{\bar {z}}+\left|z'\right|^{2}+\left|z\right|^{2}-z{\bar {z}}'-z'{\bar {z}}+\left|z'\right|^{2}\\&=2\left(\left|z\right|^{2}+\left|z'\right|^{2}\right).\end{aligned}}}
Remarque
La règle du parallélogramme (niveau 15) est la forme géométrique de cette identité.
Déterminer les nombres complexes non nuls z {\displaystyle z} tels que z {\displaystyle z} , 1 z {\displaystyle {\frac {1}{z}}} et 1 + z {\displaystyle 1+z} aient même module.
Solution
Soient x , y ∈ R {\displaystyle x,y\in \mathbb {R} } tels que z = x + i y {\displaystyle z=x+\mathrm {i} y} .
| z | = 1 | z | = | 1 + z | ⇔ | z | 2 = 1 et | 1 + z | 2 = 1 ⇔ x 2 + y 2 = ( x + 1 ) 2 + y 2 = 1 ⇔ x 2 = ( x + 1 ) 2 et x 2 + y 2 = 1 ⇔ x = − 1 / 2 et y = ± 3 / 2. {\displaystyle {\begin{aligned}\left|z\right|={\frac {1}{\left|z\right|}}=\left|1+z\right|&\Leftrightarrow \left|z\right|^{2}=1{\text{ et }}\left|1+z\right|^{2}=1\\&\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=\left(x+1\right)^{2}+y^{2}=1\\&\Leftrightarrow x^{2}=\left(x+1\right)^{2}{\text{ et }}x^{2}+y^{2}=1\\&\Leftrightarrow x=-1/2{\text{ et }}y=\pm {\sqrt {3}}/2.\end{aligned}}}
Déterminer les nombres complexes z {\displaystyle z} tels que z 2 {\displaystyle z^{2}} , 1 − z {\displaystyle 1-z} et z ¯ {\displaystyle {\bar {z}}} aient même module.
Solution
Soient x , y ∈ R {\displaystyle x,y\in \mathbb {R} } tels que z = x + i y {\displaystyle z=x+\mathrm {i} y} .
| z | 2 = | z ¯ | = | 1 − z | ⇔ | z | = | 1 − z | = 1 ⇔ x 2 + y 2 = ( x − 1 ) 2 + y 2 = 1 ⇔ x 2 = ( x − 1 ) 2 et x 2 + y 2 = 1 ⇔ x = 1 / 2 et y = ± 3 / 2. {\displaystyle {\begin{aligned}\left|z\right|^{2}=\left|{\bar {z}}\right|=\left|1-z\right|&\Leftrightarrow \left|z\right|=\left|1-z\right|=1\\&\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=\left(x-1\right)^{2}+y^{2}=1\\&\Leftrightarrow x^{2}=\left(x-1\right)^{2}{\text{ et }}x^{2}+y^{2}=1\\&\Leftrightarrow x=1/2{\text{ et }}y=\pm {\sqrt {3}}/2.\end{aligned}}}
Soit α ∈ ] 0 , 2 π [ {\displaystyle \alpha \in \left]0,2\pi \right[} . Calculer le module et l'argument de :
z = 1 + cos α + i sin α 1 − cos α − i sin α {\displaystyle z={\frac {1+\cos \alpha +\mathrm {i} \sin \alpha }{1-\cos \alpha -\mathrm {i} \sin \alpha }}} .
Calculer le module et l'argument de :
a) 1 + cos α + i sin α {\displaystyle 1+\cos \alpha +\mathrm {i} \sin \alpha }
b) e i α + e i β 1 + e i ( α + β ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \alpha }+\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \beta }}{1+\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\alpha +\beta )}}}}
où α {\displaystyle \alpha } et β {\displaystyle \beta } sont deux réels donnés. On donnera la condition pour que la deuxième expression soit définie.