Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur les applications géométriques

Sur les applications géométriques
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Exercices no7
Leçon : Calcul avec les nombres complexes

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Sur les racines n-ièmes
Exo suiv. :Sur les fonctions complexes
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Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur les applications géométriques
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Exercice 7-1Modifier

Identifier l'ensemble décrit par l'image du complexe   tel que :

a)   ;

b)   ;

c)  .

Exercice 7-2Modifier

 Quel est l'ensemble des nombres complexes   vérifiant   ?

Expliquer géométriquement le résultat trouvé, en associant à tout point   du plan euclidien son affixe  .

 Soit  . Déterminez l’ensemble des nombres complexes   vérifiant  .

Exercice 7-3Modifier

Dans le plan euclidien muni d'un repère orthonormé d'origine  , soient :

  •   d'affixe   ;
  •   le symétrique de   par rapport à la droite d'équation   ;
  •   le symétrique de   par rapport à la droite d'équation  .

 En fonction de   et  , calculez   et  , affixes respectives de   et  , puis le rapport  .

 En déduire une mesure de l'angle   et la valeur du rapport  .

 Pouvait-on prévoir géométriquement ces résultats ?

Exercice 7-4Modifier

Soit   réel.

 Rappelez quel est l'ensemble décrit par l'image de   quand   décrit  .

 Calculez le module de  , pour   réel.

Démontrez que si   est différent de  , il peut s'écrire  .
Calculez   en fonction de  .

 En fonction de  , calculez le module et un argument de  .

 Déterminez l'ensemble décrit par l'image de   quand   décrit  .

Exercice 7-5Modifier

Soient, dans le plan complexe :

  •   et   d'affixes respectives   et   ;
  •   l'image de   par la rotation de centre  , d'angle   ;
  •   l’image de   par la rotation de centre  , d'angle  .

 En fonction de   et  , exprimez les affixes de   et  .

 Déterminez l'affixe du milieu   de  .

 Déterminez l'affixe du point   tel que  .

 Démontrez que  , médiane du triangle  , est une hauteur de  , et que  .

Exercice 7-6Modifier

Le plan complexe étant rapporté au repère orthonormal  , on considère :

  • le point   d'affixe  ,   et   réels ;
  • le point   d'affixe   ;
  • le point   d'affixe   ;
  • le point   d'affixe  .

 Quelles conditions doit vérifier   pour que l'on ait   et   ?

Dans les questions suivantes, ces conditions sont supposées remplies.

 Montrez que   est parallèle à   si, et seulement si,  .

En déduire l'ensemble   des points   tels que les droites   et   soient parallèles.

 Déterminez, de la même manière, l'ensemble   des points   tels que les droites   et   soient perpendiculaires.

Exercice 7-7Modifier

Soit   un plan orienté muni d'un repère orthonormal direct  . À tout point   de   on associe son affixe complexe  .

Soient  ,   et   les racines cubiques de l'unité, où  .

On se propose d'étudier la propriété (E) suivante, relative à un triplet   de points de   :

(E) : Les affixes   des points   satisfont :

 .

 Soit   une translation de vecteur   définie dans  .

Montrez que si le triplet   a la propriété (E), il en est de même de  .

 Soit un triangle équilatéral dont les sommets   sont disposés de sorte qu'une mesure de l'angle   soit  .

Montrez que   a la propriété (E).

 Caractérisez géométriquement la propriété (E).

Exercice 7-8Modifier

Déterminez l'ensemble des points du plan euclidien dont l'affixe   vérifie :

 .