Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur les applications géométriques

Exercice 7-1

Identifier l'ensemble décrit par l'image du complexe $z$ tel que :

a) $\left|\arg z\right|={\frac {\pi }{4}}{\bmod {2\pi }}$ ;

b) $\left|z-2\mathrm {i} \right|=2$ ;

c) $\left|{\frac {z-1}{z+1}}\right|=2$.

Solution

a) Union de la demi-droite $y=x>0$ et de la demi-droite $-y=x>0$.

b) Cercle de centre $(0,2)$ et de rayon $2$.

c) Cercle de centre $\left(-{\frac {5}{3}},0\right)$ et de rayon ${\frac {4}{3}}$ car

$(x-1)^{2}+y^{2}=4((x+1)^{2}+y^{2})\Leftrightarrow \left(x+{\frac {5}{3}}\right)^{2}+y^{2}={\frac {16}{9}}$.

 

Exercice 7-2

1°  Quel est l'ensemble des nombres complexes $z$ vérifiant $|z-1|=|{\bar {z}}+1|$ ?

Expliquer géométriquement le résultat trouvé, en associant à tout point $M$ du plan euclidien son affixe $z$.

2°  Soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$. Déterminer l’ensemble des nombres complexes $z$ vérifiant $\left(z-1\right)^{n}=\left({\bar {z}}+1\right)^{n}$.

Solution

1. $|z-1|^{2}=|{\bar {z}}+1|^{2}\Leftrightarrow \left(z-1\right)\left({\bar {z}}-1\right)=\left({\bar {z}}+1\right)\left(z+1\right)\Leftrightarrow z+{\bar {z}}=0\Leftrightarrow z\in \mathrm {i} \mathbb {R}$, qui correspond à la médiatrice des points $A$ d'affixe $1$ et $B$ d'affixe $-1$ ($|z-1|=MA$ et $|{\bar {z}}+1|=|z+1|=MB$).
2. $\left(z-1\right)^{n}=\left({\bar {z}}+1\right)^{n}\Leftrightarrow z\in \mathrm {i} \mathbb {R} {\text{ et }}\left(z-1\right)^{n}=(-1)^{n}\left(z-1\right)^{n}$ donc l'ensemble des solutions est $\mathrm {i} \mathbb {R}$ si $n$ est pair, et $\varnothing$ si $n$ est impair.

 

Exercice 7-3

Dans le plan euclidien muni d'un repère orthonormé d'origine $O$, soient :

• $M$ d'affixe $z=a+b\mathrm {i} \quad \left(a,b\right)\in \mathbb {R} ^{2}$ ;
• $M'$ le symétrique de $M$ par rapport à la droite d'équation $y=x$ ;
• $M''$ le symétrique de $M'$ par rapport à la droite d'équation $x=0$.

1°  En fonction de $a$ et $b$, calculer $z'$ et $z''$, affixes respectives de $M'$ et $M''$, puis le rapport ${\frac {z''}{z}}$.

2°  En déduire une mesure de l'angle $\left({\widehat {{\overrightarrow {OM}},\,{\overrightarrow {OM''}}}}\right)$ et la valeur du rapport ${\frac {OM''}{OM}}$.

3°  Pouvait-on prévoir géométriquement ces résultats ?

Solution

1. $z'=b+a\mathrm {i}$ et $z''=-b+a\mathrm {i} =z\mathrm {i}$.
2. Par conséquent, $\left({\widehat {{\overrightarrow {OM}},\,{\overrightarrow {OM''}}}}\right)={\frac {\pi }{2}}$ et $OM''=OM$.
3. La composée des deux symétries axiales est bien une rotation, de centre l'intersection des axes et d'angle le double de l'angle entre ces axes.

 

Exercice 7-4

Soit $z=\cos \varphi +\mathrm {i} \sin \varphi ,\qquad \varphi$ réel.

1°  Rappeler quel est l'ensemble décrit par l'image de $z$ quand $\varphi$ décrit $\left[0,2\pi \right[$.

2°  Calculer le module de ${\frac {1+x\mathrm {i} }{1-x\mathrm {i} }}$, pour $x$ réel.

Démontrer que si $z$ est différent de $-1$, il peut s'écrire ${\frac {1+x\mathrm {i} }{1-x\mathrm {i} }}$.

Calculer $x$ en fonction de $\varphi$.

3°  En fonction de $\varphi$, calculer le module et un argument de $z+1$.

4°  Déterminer l'ensemble décrit par l'image de $z+1$ quand $\varphi$ décrit $\left[0,2\pi \right[$.

Solution

1. L'image de $z$ décrit le cercle unité.
2. Soit $\theta =\arctan x$. Le complexe ${\frac {1+x\mathrm {i} }{1-x\mathrm {i} }}={\frac {1+\mathrm {i} \tan \theta }{1-\mathrm {i} \tan \theta }}=\operatorname {e} ^{2\mathrm {i} \theta }$ est de module $1$.
   Si $z\neq -1$ alors $\theta :={\frac {\varphi }{2}}\not \equiv {\frac {\pi }{2}}{\bmod {\pi }}$ donc $x:=\tan \theta =\tan {\frac {\varphi }{2}}$ est bien défini, et $z={\frac {1+x\mathrm {i} }{1-x\mathrm {i} }}$.
3. $z+1=1+\cos \varphi +\mathrm {i} \sin \varphi =2\cos {\frac {\varphi }{2}}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \varphi /2}$ (de module $2\left|\cos {\frac {\varphi }{2}}\right|$ et d'argument ${\frac {\varphi }{2}}$ ou ${\frac {\varphi }{2}}+\pi$, selon le signe de $\cos {\frac {\varphi }{2}}$).
4. D'après la question 1, l'image de $z+1$ décrit le cercle de rayon $1$ dont le centre a pour affixe $1$.

 

Exercice 7-5

Soient, dans le plan complexe :

• $B$ et $C$ d'affixes respectives $b$ et $c$ ;
• $B'$ l'image de $B$ par la rotation de centre $O$, d'angle $-{\frac {\pi }{2}}$ ;
• $C'$ l’image de $C$ par la rotation de centre $O$, d'angle ${\frac {\pi }{2}}$.

1°  En fonction de $b$ et $c$, exprimer les affixes de $B'$ et $C'$.

2°  Déterminer l'affixe du milieu $M$ de $\left[B',C'\right]$.

3°  Déterminer l'affixe du point $K$ tel que ${\overrightarrow {OK}}={\overrightarrow {BC}}$.

4°  Démontrer que $(OM)$, médiane du triangle $\left(O,B',C'\right)$, est une hauteur de $\left(O,B,C\right)$, et que $2OM=BC$.

Solution

1. $b'=-\mathrm {i} b$ et $c'=\mathrm {i} c$.
2. ${\frac {b'+c'}{2}}=\mathrm {i} {\frac {c-b}{2}}$.
3. $k=c-b$.
4. L'affixe de $2{\overrightarrow {OM}}$ est $\mathrm {i} \left(c-b\right)$.

 

Exercice 7-6

Le plan complexe étant rapporté au repère orthonormal $(0;\,{\vec {i}},\,{\vec {j}})$, on considère :

• le point $M$ d'affixe $z=x+\mathrm {i} y$, $x$ et $y$ réels ;
• le point $M'$ d'affixe $z'=x+4\mathrm {i} y$ ;
• le point $A$ d'affixe $-7$ ;
• le point $B$ d'affixe $5$.

1°  Quelles conditions doit vérifier $z$ pour que l'on ait $M\neq A$ et $M'\neq B$ ?

Dans les questions suivantes, ces conditions sont supposées remplies.

2°  Montrer que $(AM)$ est parallèle à $(BM')$ si, et seulement si, ${\frac {z+7}{z'-5}}\in \mathbb {R} ^{*}$.

En déduire l'ensemble $D$ des points $M$ tels que les droites $(AM)$ et $(BM')$ soient parallèles.

3°  Déterminer, de la même manière, l'ensemble $E$ des points $M$ tels que les droites $(AM)$ et $(BM')$ soient perpendiculaires.

Solution

1. $z\neq -7{\text{ et }}z'\neq 5\Leftrightarrow z\notin \{-7,5\}$.
2. ${\overrightarrow {AM}}$ est colinéaire à ${\overrightarrow {BM'}}$ si et seulement si ${\begin{vmatrix}x+7&x-5\\y&4y\end{vmatrix}}=0$, c'est-à-dire $3y\left(x+11\right)=0$.
   $D$ est donc l'union des deux droites d'équations $x=-11$ et $y=0$.
3. De même, $(AM)\perp (BM')\Leftrightarrow {\frac {z+7}{\mathrm {i} \left(z'-5\right)}}\in \mathbb {R} ^{*}\Leftrightarrow 0={\begin{vmatrix}x+7&-4y\\y&x-5\end{vmatrix}}=x^{2}+2x-35+4y^{2}=\left(x+1\right)^{2}+4y^{2}-36$.
   $E$ est donc l'ellipse d'équation ${\frac {\left(x+1\right)^{2}}{6^{2}}}+{\frac {y^{2}}{3^{2}}}=1$, de sommets $\left(5,0\right)$, $\left(-7,0\right)$, $\left(-1,3\right)$ et $\left(-1,-3\right)$.

 

Exercice 7-7

Soit ${\mathcal {P}}$ un plan orienté muni d'un repère orthonormal direct $(O;\,{\vec {e}}_{1},\,{\vec {e}}_{2})$. À tout point $M$ de ${\mathcal {P}}$ on associe son affixe complexe $m$.

Soient $1$, $\mathrm {j}$ et $\mathrm {j} ^{2}$ les racines cubiques de l'unité, où $\mathrm {j} =\cos {\frac {2\pi }{3}}+\mathrm {i} \sin {\frac {2\pi }{3}}$.

On se propose d'étudier la propriété (E) suivante, relative à un triplet $(A,\,B,\,C)$ de points de ${\mathcal {P}}$ :

(E) : Les affixes $a,\,b,\,c$ des points $A,\,B,\,C$ satisfont :

$a+b\mathrm {j} +c\mathrm {j} ^{2}=0$.

1°  Soit $T_{\vec {v}}$ une translation de vecteur ${\vec {v}}$ définie dans ${\mathcal {P}}$.

Montrer que si le triplet $(A,\,B,\,C)$ a la propriété (E), il en est de même de $\left(T_{\vec {v}}(A),\,T_{\vec {v}}(B),\,T_{\vec {v}}(C)\right)$.

2°  Soit un triangle équilatéral dont les sommets $A,\,B,\,C$ sont disposés de sorte qu'une mesure de l'angle $\left({\widehat {{\overrightarrow {AB}},\,{\overrightarrow {AC}}}}\right)$ soit ${\frac {\pi }{3}}$.

Montrer que $(A,\,B,\,C)$ a la propriété (E).

3°  Caractériser géométriquement la propriété (E).

Solution

1°  Soit $v$ l'affixe de ${\vec {v}}$. $\left(a+v\right)+\left(b+v\right)\mathrm {j} +\left(c+v\right)\mathrm {j} ^{2}=a+b\mathrm {j} +c\mathrm {j} ^{2}+v\left(1+\mathrm {j} +\mathrm {j} ^{2}\right)=a+b\mathrm {j} +c\mathrm {j} ^{2}$.

2° et 3°  Voir Approche géométrique des nombres complexes/Apports à la géométrie#Triangle équilatéral.

 

Exercice 7-8

Déterminer l'ensemble des points du plan euclidien dont l'affixe $z$ vérifie :

$\left|\left(1+\mathrm {i} \right){\bar {z}}-2\mathrm {i} \right|=2$.

Solution

$\left|\left(1+\mathrm {i} \right){\bar {z}}-2\mathrm {i} \right|=\left|1+\mathrm {i} \right|\left|{\bar {z}}-{\frac {2\mathrm {i} }{1+\mathrm {i} }}\right|={\sqrt {2}}\left|{\bar {z}}-\left(1+\mathrm {i} \right)\right|={\sqrt {2}}\left|z-\left(1-\mathrm {i} \right)\right|$ est égal à $2$ si et seulement si le point d'affixe $z$ appartient au cercle de rayon ${\frac {2}{\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}$ dont le centre a pour coordonnées $\left(1,-1\right)$.