Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur les racines n-ièmes
Exercice 6-1
modifier1° Soit . Écrire la représentation trigonométrique de .
- Résoudre dans : .
2° Déterminer par la méthode algébrique les nombres complexes tel que , puis les nombres complexes tels que .
3° En déduire et .
- Les racines quatrièmes de sont et .
- avec , et donc .
avec ( ), et donc . - et (cf. Valeurs trigonométriques exactes).
Exercice 6-2
modifier1° Soit , nombre complexe différent de , de module , d'argument .
- a) Calculer le module et un argument de .
- b) En déduire le module et un argument de tel que .
2° Résoudre dans : .
1° a) (de module et d'argument si et si ).
- b) (de module et d'argument si et si ).
2° . Les solutions sont donc , et .
Exercice 6-3
modifier1° Résoudre, dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation .
2° Mettre le polynôme sous la forme d'un produit de trois polynômes à coefficients réels.
- avec . Le six solutions sont donc et .
- et donc .
Exercice 6-4
modifier1° Déterminer, sous forme trigonométrique, les solutions complexes de l’équation :
- .
2° En utilisant les racines cubiques de l'unité, écrire les solutions de cette équation sous forme algébrique.
3° Déduire des questions précédentes les valeurs de :
- et , puis de
- et .
- .
- L'une des solutions est donc les deux autres sont
et
. - et . Par conséquent,
- et (cf. Valeurs trigonométriques exactes).
Exercice 6-5
modifier1° Résoudre, dans le corps des nombres complexes, l'équation . Donner les solutions sous forme trigonométrique puis algébrique.
2° désignant un nombre complexe différent de , calculer au moyen des seuls et :
- .
3° Donner les solutions de l'équation .
- avec .
- .
- avec et et .
Exercice 6-6
modifier1° Résoudre dans l'équation .
- On précisera le module et l'argument des racines et on présentera leurs images dans le plan complexe.
2° Calculer la somme des racines et interpréter géométriquement ce résultat en introduisant l'isobarycentre de leurs images.
- (Rappel : l'isobarycentre d'un ensemble de points est le point vérifiant .)
3° Résoudre dans l'équation :
- .
- (On se ramènera à l'équation précédente, en calculant une somme de la forme .)
- avec . Le cinq solutions sont donc et . Elles forment un pentagone régulier pointe en bas sur le cercle unité.
- La somme des racines est le produit de l'une d'entre elles par la somme des 5 racines cinquièmes de l'unité, qui vaut . Elle est donc nulle, c'est-à-dire que l'isobarycentre des images est (le point d'affixe ).
- pour . Cette somme est nulle si et seulement si et , c'est-à-dire et . Les quatre solutions sont donc et .
Exercice 6-7
modifier1° Écrire sous forme trigonométrique les racines cubiques du nombre complexe .
2° Pour nombre réel quelconque, on pose :
- .
- a) Calculer les réels et en fonction de .
- b) Déterminer l'ensemble (C) des points de coordonnées quand décrit .
3° Montrer que les solutions de l'équation :
- sont les affixes de trois points de (C).
1° Les racines cubiques de sont , et .
2° a) et .
- b) (C) est le cercle de rayon dont le centre a pour coordonnées .
3° .
Exercice 6-8
modifier1° Exprimer les racines complexes de l'équation en fonction des nombres , où .
2° Quelle est la nature du polygone dont les sommets Ak ont pour affixe ?
- Déterminer l'isobarycentre des points Ak.
3° En déduire une équation du second degré à coefficients entiers satisfaite par . Résoudre cette équation ; calculer et .
4° À tout nombre complexe , différent de , on associe . Calculer en fonction de .
5° À l'aide des résultats précédents, résoudre dans l'équation . Que remarque-t-on ?
6° Expliquer ce dernier résultat en déterminant l'ensemble des points dont l'affixe est telle que .
- .
- C'est un pentagone régulier, d'isobarycentre (le point d'affixe ).
- Cf. Approche géométrique des nombres complexes/Exercices/Sur la trigonométrie#Exercice 4-5.
- .
- Cette équation n'est que de degré 4 (les s'éliminent) et ses solutions sont pour , c'est-à-dire et , imaginaires purs.
- Cf. Approche géométrique des nombres complexes/Exercices/Sur les modules et arguments#Exercice 1-4.
Exercice 6-9
modifier- Donner, suivant les valeurs de , le module et l'argument de .
- Résoudre dans l'équation .
- a pour module et argument (modulo ) :
- .
Exercice 6-10
modifierSoit .
- Calculer le module et m'argument ( ) de .
- En déduire les valeurs des racines cubiques de , sous forme polaire.
- et .
- Les trois racines cubiques de sont donc .