Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur les racines n-ièmes

Sur les racines n-ièmes
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Exercices no6
Leçon : Calcul avec les nombres complexes

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Sur la trigonométrie
Exo suiv. :Sur les applications géométriques
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Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur les racines n-ièmes
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Exercice 6-1Modifier

 Soit  . Écrire la représentation trigonométrique de  .

Résoudre dans   :  .

 Déterminez par la méthode algébrique les nombres complexes   tel que  , puis les nombres complexes   tels que  .

 En déduire   et  .

Exercice 6-2Modifier

 Soit  , nombre complexe différent de  , de module  , d'argument  .

a)  Calculez le module et un argument de  .
b)  En déduire le module et un argument de   tel que  .

 Résoudre dans   :  .

Exercice 6-3Modifier

 Résoudre, dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation  .

 Mettre le polynôme   sous la forme d'un produit de trois polynômes à coefficients réels.

Exercice 6-4Modifier

 Déterminez, sous forme trigonométrique, les solutions complexes de l’équation :

 .

 En utilisant les racines cubiques de l'unité, écrire les solutions de cette équation sous forme algébrique.

 Déduire des questions précédentes les valeurs de :

  et  , puis de
  et  .

Exercice 6-5Modifier

 Résoudre, dans le corps des nombres complexes, l'équation  . Donner les solutions sous forme trigonométrique puis algébrique.

   désignant un nombre complexe différent de  , calculer au moyen des seuls   et   :

 .

 Donner les solutions de l'équation  .

Exercice 6-6Modifier

 Résoudre dans   l'équation  .

On précisera le module et l'argument des racines et on présentera leurs images dans le plan complexe.

 Calculez la somme des racines et interprétez géométriquement ce résultat en introduisant l'isobarycentre de leurs images.

(Rappel : l'isobarycentre d'un ensemble de points   est le point   vérifiant  .)

 Résoudre dans   l'équation :

 .
(On se ramènera à l'équation précédente, en calculant une somme de la forme  .)

Exercice 6-7Modifier

 Écrire sous forme trigonométrique les racines cubiques du nombre complexe  .

 Pour   nombre réel quelconque, on pose :

 .
a)  Calculez les réels   et   en fonction de  .
b)  Déterminez l'ensemble (C) des points   de coordonnées   quand   décrit  .

 Montrez que les solutions de l'équation :

 
sont les affixes de trois points de (C).

Exercice 6-8Modifier

 Exprimez les racines complexes   de l'équation   en fonction des nombres  , où  .

 Quelle est la nature du polygone dont les sommets Ak ont pour affixe   ?

Déterminez l'isobarycentre des points Ak.

 En déduire une équation du second degré à coefficients entiers satisfaite par  . Résoudre cette équation ; calculez   et  .

 À tout nombre complexe  , différent de  , on associe  . Calculez   en fonction de  .

 À l'aide des résultats précédents, résoudre dans   l'équation  . Que remarquez-vous ?

 Expliquez ce dernier résultat en déterminant l'ensemble des points dont l'affixe   est telle que  .

Exercice 6-9Modifier

  1. Donner, suivant les valeurs de  , le module et l'argument de  .
  2. Résoudre dans   l'équation  .

Exercice 6-10Modifier

Soit  .

  1. Calculer le module et m'argument ( ) de  .
  2. En déduire les valeurs des racines cubiques de  , sous forme polaire.