Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur les racines n-ièmes

Sur les racines n-ièmes
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Exercices no6
Leçon : Calcul avec les nombres complexes

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Sur la trigonométrie
Exo suiv. :Sur les applications géométriques
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Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur les racines n-ièmes
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Exercice 6-1

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 Soit  . Écrire la représentation trigonométrique de  .

Résoudre dans   :  .

 Déterminer par la méthode algébrique les nombres complexes   tel que  , puis les nombres complexes   tels que  .

 En déduire   et  .

Exercice 6-2

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 Soit  , nombre complexe différent de  , de module  , d'argument  .

a)  Calculer le module et un argument de  .
b)  En déduire le module et un argument de   tel que  .

 Résoudre dans   :  .

Exercice 6-3

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 Résoudre, dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation  .

 Mettre le polynôme   sous la forme d'un produit de trois polynômes à coefficients réels.

Exercice 6-4

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 Déterminer, sous forme trigonométrique, les solutions complexes de l’équation :

 .

 En utilisant les racines cubiques de l'unité, écrire les solutions de cette équation sous forme algébrique.

 Déduire des questions précédentes les valeurs de :

  et  , puis de
  et  .

Exercice 6-5

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 Résoudre, dans le corps des nombres complexes, l'équation  . Donner les solutions sous forme trigonométrique puis algébrique.

   désignant un nombre complexe différent de  , calculer au moyen des seuls   et   :

 .

 Donner les solutions de l'équation  .

Exercice 6-6

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 Résoudre dans   l'équation  .

On précisera le module et l'argument des racines et on présentera leurs images dans le plan complexe.

 Calculer la somme des racines et interpréter géométriquement ce résultat en introduisant l'isobarycentre de leurs images.

(Rappel : l'isobarycentre d'un ensemble de points   est le point   vérifiant  .)

 Résoudre dans   l'équation :

 .
(On se ramènera à l'équation précédente, en calculant une somme de la forme  .)

Exercice 6-7

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 Écrire sous forme trigonométrique les racines cubiques du nombre complexe  .

 Pour   nombre réel quelconque, on pose :

 .
a)  Calculer les réels   et   en fonction de  .
b)  Déterminer l'ensemble (C) des points   de coordonnées   quand   décrit  .

 Montrer que les solutions de l'équation :

 
sont les affixes de trois points de (C).

Exercice 6-8

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 Exprimer les racines complexes   de l'équation   en fonction des nombres  , où  .

 Quelle est la nature du polygone dont les sommets Ak ont pour affixe   ?

Déterminer l'isobarycentre des points Ak.

 En déduire une équation du second degré à coefficients entiers satisfaite par  . Résoudre cette équation ; calculer   et  .

 À tout nombre complexe  , différent de  , on associe  . Calculer   en fonction de  .

 À l'aide des résultats précédents, résoudre dans   l'équation  . Que remarque-t-on ?

 Expliquer ce dernier résultat en déterminant l'ensemble des points dont l'affixe   est telle que  .

Exercice 6-9

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  1. Donner, suivant les valeurs de  , le module et l'argument de  .
  2. Résoudre dans   l'équation  .

Exercice 6-10

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Soit  .

  1. Calculer le module et m'argument ( ) de  .
  2. En déduire les valeurs des racines cubiques de  , sous forme polaire.