Calcul avec les nombres complexes/Factorisation et linéarisation

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L'exponentielle complexe est une fonction aisée à manipuler qui est très fortement liée aux fonctions trigonométriques circulaires. Pour faire des calculs sur des expressions trigonométriques, on a alors l’idée de « passer par les complexes » pour mener le calcul sur des exponentielles complexes avant de revenir à une expression totalement réelle en sin et cos.

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L'intérêt de cette méthode apparaît pour effectuer deux opérations principales sur des expressions trigonométriques :

• la factorisation (ou le développement) : utile pour étudier le signe des expressions trigonométriques
• la linéarisation : utile pour trouver des primitives de fonctions trigonométriques « compliquées »

Factorisation des expressions trigonométriques

Formule de Moivre

Formule de Moivre

$\forall (n,x)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {R} ,~e^{i(nx)}=(e^{ix})^{n}\Leftrightarrow \cos {nx}+i\sin {nx}=(\cos {x}+i\sin {x})^{n}$

Application

Faites ces exercices : Factorisations, linéarisations.

Début d’un principe

Principe

La factorisation d'une expression trigonométrique consiste à changer l'écriture d'une combinaison linéaire d'expressions de l’ensemble $\{x\mapsto \cos(ax),x\mapsto \sin(bx)/(a,b)\in \mathbb {N} ^{2}\}$ en combinaison linéaire d'expressions de la forme $\{\cos(x)^{a},\sin(x)^{b}/(a,b)\in \mathbb {N} ^{2}\}$.

Fin du principe

À partir de la formule de Moivre, et en identifiant les parties réelles et imaginaires, on en déduit que :

Factorisation

$\forall (n,x)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {R} ,~\cos {nx}=\Re ((\cos x+i\sin x)^{n}),~\sin {nx}=\Im ((\cos x+i\sin x)^{n})$

Début de l'exemple

Exemple

$\forall x\in \mathbb {R}$, factoriser l’expression $\cos(2x)$.

• Soit $x\in \mathbb {R}$

${\begin{aligned}\cos(2x)&=\Re (e^{2ix})=\Re ((e^{ix})^{2})\\&=\Re ((\cos(x)+i\sin(x))^{2})\\&=\Re (\cos ^{2}(x)+2i\cos(x)\sin(x)-\sin ^{2}(x))\\\end{aligned}}$

On retrouve bien une expression déjà connue : $\forall x\in \mathbb {R} ,~\cos(2x)=\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)$ : on a factorisé l'expression.

Fin de l'exemple

Linéarisation des expressions trigonométriques

Puissance d'un cosinus et d'un sinus

Dérivés de la formule d'Euler

Soit $x\in \mathbb {R}$. On a, grâce à la formule d'Euler :

$\cos(x)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}$ et $\sin(x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$.
Cela implique que pour tout $n\in \mathbb {N}$ :

$\cos ^{n}(x)=\left({\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\right)^{n}$ et $\sin ^{n}(x)=\left({\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\right)^{n}$.

Application

Faites ces exercices : Factorisations, linéarisations.

Début d’un principe

Principe

La linéarisation d'une expression trigonométrique consiste à changer l'écriture d'une combinaison linéaire d'expressions de l’ensemble $\{\cos(x)^{a},\sin(x)^{b}/(a,b)\in \mathbb {N} ^{2}\}$ en combinaison linéaire d'expressions de la forme $\{x\mapsto \cos(ax),x\mapsto \sin(bx)/(a,b)\in \mathbb {N} ^{2}\}$. C'est ainsi l'opération inverse de la factorisation.

Fin du principe

Début de l'exemple

Exemple

$\forall x\in \mathbb {R}$, linéariser l’expression $\sin ^{2}(x)$.

• Soit $x\in \mathbb {R}$

${\begin{aligned}\sin ^{2}(x)&=\left({\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\right)^{2}\\&=-{\frac {1}{4}}(e^{2ix}-2+e^{-2ix})\\&=-{\frac {1}{2}}{\frac {e^{2ix}+e^{-2ix}}{2}}+{\frac {1}{2}}\\&=-{\frac {\cos(2x)}{2}}+{\frac {1}{2}}\end{aligned}}$

On retrouve bien l’expression déjà connue : $\forall x\in \mathbb {R} ,\sin ^{2}(x)={\frac {1-\cos(2x)}{2}}$ : on a linéarisé l'expression.

Fin de l'exemple