Calcul avec les nombres complexes/Formules de base

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Binôme de Newton

L'ensemble $\mathbb {C}$ des nombres complexes est un corps. Ainsi, on peut écrire la formule du binôme de Newton.

Début d’un théorème

Théorème

Soit $(a,b)\in \mathbb {C}$, soit $n\in \mathbb {N}$. $(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}b^{n-k}$

Fin du théorème

Début d'une démonstration

Démonstration

Les éléments a et b commutent car $\mathbb {C}$ est un corps commutatif. La démonstration est alors la même que dans un anneau commutatif.

Fin de la démonstration

Formule de Bernoulli

Début d’un théorème

Théorème

Soit $(a,b)\in \mathbb {C} ^{2}$, soit $n\in \mathbb {N} ^{*}$. $a^{n}-b^{n}=(a-b)\cdot \sum _{k=0}^{n-1}a^{k}b^{n-1-k}$

Fin du théorème

Début d'une démonstration

Démonstration

Soit $(a,b)\in \mathbb {C} ^{2}$ :

${\begin{aligned}(a-b)\cdot \sum _{k=0}^{n-1}a^{k}b^{n-1-k}&=\sum _{k=0}^{n-1}a^{k+1}b^{n-1-k}-\sum _{k=0}^{n-1}a^{k}b^{n-k}\\&=\sum _{k=1}^{n}a^{k}b^{n-k}-\sum _{k=0}^{n-1}a^{k}b^{n-k}\\&=a^{n}-b^{n}\end{aligned}}$

Fin de la démonstration

Somme géométrique

Début d’un théorème

Théorème

Soit $z\in \mathbb {C}$, soit $(m,n)\in \mathbb {N} ^{2}$ tels que $m\leq n$.

• si $z=1$, $\sum _{k=m}^{n}z^{k}=n-m+1$
• si $z\not =1$, $\sum _{k=m}^{n}z^{k}={\frac {z^{n+1}-z^{m}}{z-1}}$

Fin du théorème

Début d'une démonstration

Démonstration

Soit $z\in \mathbb {C} \backslash \{1\}$, soit $(m,n)\in \mathbb {N} ^{2}$ tels que $m\leq n$.

${\begin{aligned}\sum _{k=m}^{n}z^{k}&=z^{m}\cdot \sum _{k=0}^{n-m}z^{k}\\&={\frac {z^{m}}{z-1}}\cdot (z-1)\sum _{k=0}^{n-m}z^{k}1^{n-m-k}\\&={\frac {z^{m}}{z-1}}(z^{n-m+1}-1)\\&={\frac {z^{n+1}-z^{m}}{z-1}}\\\end{aligned}}$

Fin de la démonstration