Applications techniques des nombres complexes/Exercices/Factorisations, linéarisations
Pour le cours correspondant à ces exercices, voir Approche géométrique des nombres complexes/Apports à la trigonométrie.
Linéarisation
modifierLinéarisation
modifierLinéariser .
Solution
Revoir le cours indiqué ci-dessus.
Calcul de primitive
modifierTrouver une primitive de la fonction définie sur .
Pour démarrer
- La première erreur à ne pas faire est de dire que l'intégrale d'un produit est le produit des intégrales. Ceci est totalement faux.
- La présence d'exposants élevés sur les fonctions trigonométriques empêche tout espoir de parvenir à ses fins par une salve d'intégrations par parties.
- L’idée est alors de linéariser l’expression pour transformer des produits en sommes de termes simples
- Il est ensuite facile d'intégrer chacun des termes et de sommer.
Solution
avec .
Or et (cf. cours indiqué ci-dessus) .
Donc et
Calculs explicites de sommes
modifierSomme 1
modifierSoit .
Exprimer sans symbole de sommation.
Solution
Cette somme est égale à si et à sinon : cf. Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur la trigonométrie#Exercice 5-4.
Somme 2
modifierSoit .
Exprimer sans symbole de sommation.
Solution
- 1° étape : On linéarise l’expression à sommer :
- 2° étape : On remplace :
- 3° étape : On réutilise la question précédente pour conclure :
Finalement :
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