Calcul avec les nombres complexes/Représentation géométrique
Pour comprendre les nombres complexes, il faut pouvoir les visualiser dans un espace que nous connaissons au préalable. Le problème est que ces nombres complexes n'ont pas de représentation physique, nous ne pouvons par exemple les ordonner sur une règle, chose facile à faire pour les nombres réels.
Néanmoins, le plan complexe (appelé aussi plan d'Argand ou plan d'Argand-Cauchy) permet de résoudre ce problème.
Affixe d’un point du plan
modifierDans le plan muni d’un repère orthonormé, on associe au point M de coordonnées
son affixe, le nombre complexe . M est appelé image de
On a ainsi une correspondance entre les nombres complexes et les points du plan, qui permet de représenter géométriquement les nombres complexes :
- la partie réelle du nombre complexe est l'abscisse de son image ;
- sa partie imaginaire est l'ordonnée de son image.
Graphiquement, on obtient :
Dans le graphique ci-contre, on assimile les nombres complexes à leurs images. Par exemple :
le point de coordonnées et son affixe, le nombre complexe .
Affixe d’un vecteur
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Propriétés de l'affixe
modifierAffixe d’un vecteur
modifierDans la figure ci-contre, on a les points et .
L'affixe d’un vecteur est : .
En effet, les coordonnées de sont :
.
Affixe d’un milieu
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Toujours dans la figure ci-contre dont les points et ont pour coordonnées respectives et .
, l'affixe du milieu du vecteur est : .
Les coordonnées de sont :
.
Parallélisme et alignement
modifierDeux droites et sont parallèles si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires, c'est-à-dire s'il existe un réel (non nul) tel que , ce qui équivaut à : .