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Les nombres complexes respectent les règles valables pour les quatre opérations sur les nombres réels (addition, soustraction, multiplication et division).
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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Calcul avec les nombres complexes : Opérations sous forme algébrique Calcul avec les nombres complexes/Opérations sous forme algébrique », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
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Propriété
Deux
nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs
parties réelles sont égales et leurs
parties imaginaires sont égales .
Ceci signifie, pour deux nombres complexes
z
1
=
x
1
+
i
y
1
{\displaystyle z_{1}=x_{1}+\mathrm {i} y_{1}}
z
2
=
x
2
+
i
y
2
{\displaystyle z_{2}=x_{2}+\mathrm {i} y_{2}}
z
1
=
z
2
{\displaystyle z_{1}=z_{2}}
{
x
1
=
x
2
y
1
=
y
2
{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}=x_{2}\\y_{1}=y_{2}\end{cases}}}
Propriété
Pour
additionner deux nombres complexes sous forme algébrique, on additionne :
leurs parties réelles entre elles leurs parties imaginaires entre elles Pour
z
1
=
x
1
+
i
y
1
{\displaystyle z_{1}=x_{1}+\mathrm {i} y_{1}}
z
2
=
x
2
+
i
y
2
{\displaystyle z_{2}=x_{2}+\mathrm {i} y_{2}}
z
1
+
z
2
=
(
x
1
+
x
2
)
+
i
(
y
1
+
y
2
)
{\displaystyle z_{1}+z_{2}=(x_{1}+x_{2})+\mathrm {i} (y_{1}+y_{2})}
Début de l'exemple
Addition de deux nombres complexes
Soient
z
1
=
−
2
+
5
i
{\displaystyle z_{1}=-2+5\mathrm {i} }
et
z
2
=
1
−
3
i
{\displaystyle z_{2}=1-3\mathrm {i} }
.
On a :
z
1
+
z
2
=
(
−
2
+
5
i
)
+
(
1
−
3
i
)
=
(
−
2
+
1
)
+
i
(
5
−
3
)
=
−
1
+
2
i
.
{\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}+z_{2}&=(-2+5\mathrm {i} )+(1-3\mathrm {i} )\\&=(-2+1)+\mathrm {i} (5-3)\\&=-1+2\mathrm {i} .\end{aligned}}}
Fin de l'exemple
Début de l'exemple
Soustraction de deux nombres complexes
Soient
z
1
=
−
2
+
5
i
{\displaystyle z_{1}=-2+5\mathrm {i} }
et
z
2
=
1
−
3
i
{\displaystyle z_{2}=1-3\mathrm {i} }
.
On a :
z
1
−
z
2
=
(
−
2
+
5
i
)
−
(
1
−
3
i
)
=
(
−
2
−
1
)
+
i
(
5
−
(
−
3
)
)
=
−
3
+
8
i
.
{\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}-z_{2}&=(-2+5\mathrm {i} )-(1-3\mathrm {i} )\\&=(-2-1)+\mathrm {i} (5-(-3))\\&=-3+8\mathrm {i} .\end{aligned}}}
Fin de l'exemple
Propriété
La
multiplication de deux nombres complexes se fait en appliquant la règle de
distributivité de la multiplication sur l'addition.
Pour
z
1
=
x
1
+
i
y
1
{\displaystyle z_{1}=x_{1}+\mathrm {i} y_{1}}
z
2
=
x
2
+
i
y
2
{\displaystyle z_{2}=x_{2}+\mathrm {i} y_{2}}
z
1
×
z
2
=
(
x
1
+
i
y
1
)
×
(
x
2
+
i
y
2
)
=
(
x
1
x
2
)
+
(
i
2
y
1
y
2
)
+
i
(
x
1
y
2
+
y
1
x
2
)
{\displaystyle z_{1}\times z_{2}=(x_{1}+\mathrm {i} y_{1})\times (x_{2}+\mathrm {i} y_{2})=(x_{1}x_{2})+(\mathrm {i} ^{2}y_{1}y_{2})+\mathrm {i} (x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2})}
On sait de plus que
i
2
=
−
1
{\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}
Donc
z
1
×
z
2
=
(
x
1
x
2
)
−
(
y
1
y
2
)
+
i
(
x
1
y
2
+
y
1
x
2
)
{\displaystyle z_{1}\times z_{2}=(x_{1}x_{2})-(y_{1}y_{2})+\mathrm {i} (x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2})}
Cette formule n'a pas à être retenue par cœur : il est plus facile de refaire le calcul dans chaque exemple.
Début de l'exemple
Multiplication de deux nombres complexes
Soient
z
1
=
−
2
+
5
i
{\displaystyle z_{1}=-2+5\mathrm {i} }
et
z
2
=
1
−
3
i
{\displaystyle z_{2}=1-3\mathrm {i} }
.
On a
z
1
×
z
2
=
(
−
2
+
5
i
)
×
(
1
−
3
i
)
=
(
−
2
×
1
)
+
i
2
(
5
×
−
3
)
+
i
(
−
2
×
−
3
+
1
×
5
)
=
−
2
+
15
+
i
(
6
+
5
)
=
13
+
11
i
.
{\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}\times z_{2}&=(-2+5\mathrm {i} )\times (1-3\mathrm {i} )\\&=(-2\times 1)+\mathrm {i} ^{2}(5\times -3)+\mathrm {i} (-2\times -3+1\times 5)\\&=-2+15+\mathrm {i} (6+5)=13+11\mathrm {i} .\end{aligned}}}
Fin de l'exemple
La propriété de i que nous allons voir ici est assez simple mais il ne faut pas l'oublier pour les calculs par la suite.
Sachant que
i
2
=
−
1
{\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}
i
{\displaystyle \mathrm {i} }
i
−
1
=
−
i
{\displaystyle \mathrm {i} ^{-1}=-\mathrm {i} }
i
−
1
=
1
i
=
i
i
2
=
i
−
1
=
−
i
{\displaystyle \mathrm {i} ^{-1}={\frac {1}{\mathrm {i} }}={\frac {\mathrm {i} }{\mathrm {i} ^{2}}}={\frac {i}{-1}}=-\mathrm {i} }
i
0
=
+
1
{\displaystyle \mathrm {i} ^{0}=+1}
i
1
=
+
i
{\displaystyle \mathrm {i} ^{1}=+\mathrm {i} }
i
2
=
−
1
{\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}
i
3
=
i
2
×
i
=
−
i
{\displaystyle \mathrm {i} ^{3}=i^{2}\times \mathrm {i} =-\mathrm {i} }
i
4
=
i
2
×
i
2
=
+
1
{\displaystyle \mathrm {i} ^{4}=\mathrm {i} ^{2}\times \mathrm {i} ^{2}=+1}
i
5
=
i
4
×
i
=
+
i
{\displaystyle \mathrm {i} ^{5}=\mathrm {i} ^{4}\times \mathrm {i} =+\mathrm {i} }
i
6
=
i
4
×
i
2
=
−
1
{\displaystyle \mathrm {i} ^{6}=\mathrm {i} ^{4}\times \mathrm {i} ^{2}=-1}
Propriété
Soit
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
, et la division euclidienne de
n
{\displaystyle n}
par
4
{\displaystyle 4}
:
n
=
4
q
+
r
{\displaystyle n=4q+r}
.
On a :
i
n
=
i
4
q
×
i
r
=
i
r
{\displaystyle \mathrm {i} ^{n}=\mathrm {i} ^{4q}\times \mathrm {i} ^{r}=\mathrm {i} ^{r}}
Le reste r ne peut avoir que quatre valeurs différentes (0, 1, 2 et 3) et alors
i
n
{\displaystyle \mathrm {i} ^{n}}
r
=
0
⇔
i
n
=
+
1
{\displaystyle r=0\Leftrightarrow \mathrm {i} ^{n}=+1}
r
=
1
⇔
i
n
=
+
i
{\displaystyle r=1\Leftrightarrow \mathrm {i} ^{n}=+\mathrm {i} }
r
=
2
⇔
i
n
=
−
1
{\displaystyle r=2\Leftrightarrow \mathrm {i} ^{n}=-1}
r
=
3
⇔
i
n
=
−
i
{\displaystyle r=3\Leftrightarrow \mathrm {i} ^{n}=-\mathrm {i} }
La représentation des images des puissances de i dans le plan complexe sont les quatre intersections des axes avec le cercle trigonométrique.
Début de l'exemple
Division de deux nombres complexes
Soient
z
1
=
−
2
+
5
i
{\displaystyle z_{1}=-2+5\mathrm {i} }
et
z
2
=
1
−
3
i
{\displaystyle z_{2}=1-3\mathrm {i} }
.
On a
z
1
z
2
=
−
2
+
5
i
1
−
3
i
{\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {-2+5\mathrm {i} }{1-3\mathrm {i} }}}
On est ici dans une impasse car il faudrait remonter
i au numérateur, ou bien on peut passer en forme polaire et dans ce cas, les modules se divisent et les arguments se soustraient.
Fin de l'exemple
modifier
Les nombres complexes ont été inventés car ils permettent (entre autres) de résoudre toutes les équations du second degré, même celles qui ont un discriminant négatif.
Début de l'exemple
Exemple
L'équation
5
x
2
+
2
x
+
1
=
0
{\displaystyle 5x^{2}+2x+1=0}
a pour discriminant :
Δ
=
2
2
−
4
×
5
×
1
=
4
−
20
=
−
16
{\displaystyle \Delta =2^{2}-4\times 5\times 1=4-20=-16}
Elle n'a donc pas de solutions réelles. En revanche, en passant dans l’ensemble des nombres complexes, nous pouvons écrire que :
Δ
=
−
16
=
16
i
2
=
(
i
16
)
2
=
(
i
×
4
2
)
2
=
(
4
i
)
2
{\displaystyle \Delta =-16=16i^{2}=\left(\mathrm {i} {\sqrt {16}}\right)^{2}=\left(\mathrm {i} \times {\sqrt {4^{2}}}\right)^{2}={\left(4\mathrm {i} \right)}^{2}}
Nous pouvons alors résoudre l'équation avec les formules habituelles :
z
1
=
−
2
+
4
i
10
=
−
1
+
2
i
5
{\displaystyle z_{1}={\frac {-2+4\mathrm {i} }{10}}={\frac {-1+2\mathrm {i} }{5}}}
z
2
=
−
2
−
4
i
10
=
−
1
−
2
i
5
{\displaystyle z_{2}={\frac {-2-4\mathrm {i} }{10}}={\frac {-1-2\mathrm {i} }{5}}}
L'équation du second degré
5
x
2
+
2
x
+
1
=
0
{\displaystyle 5x^{2}+2x+1=0}
admet donc
z
1
=
−
1
+
2
i
5
{\displaystyle z_{1}={\frac {-1+2\mathrm {i} }{5}}}
et
z
2
=
−
1
−
2
i
5
{\displaystyle z_{2}={\frac {-1-2\mathrm {i} }{5}}}
comme solutions complexes.
Fin de l'exemple
cours sur les équations du second degré si nécessaire.
Faites ces exercices : Additions et soustractions de nombres complexes.
Vous pouvez vous référer au cours sur les équations du second degré si nécessaire.
