Calcul différentiel/Exercices/Équations différentielles non linéaires

Équations différentielles non linéaires
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Exercices no5
Leçon : Calcul différentiel
Chapitre du cours : Équations différentielles

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Équations différentielles linéaires
Exo suiv. :Examen
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Calcul différentiel/Exercices/Équations différentielles non linéaires
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désignera un intervalle réel et un ouvert de .

Exercice 1Modifier

Soit  . On suppose que l'intervalle   est compact et que pour tout  , l'application   est bornée (ce qui est le cas si elle est continue). Montrer l'équivalence entre :

  1.   est localement lipschitzienne par rapport à sa deuxième variable ;
  2.   ;
  3.  .

Exercice 2Modifier

Soient   un espace de Banach,   un ouvert de  ,   une fonction localement lipschitzienne par rapport à sa seconde variable et continue, et   une solution maximale de l'équation différentielle  .

  1. Montrer que si   est fini et si   est bornée au voisinage de  , alors   admet au point   une limite   et le couple   appartient à la frontière de  .
  2. En déduire que si   et si   est inclus dans un compact de  , alors  .

Exercice 3Modifier

Soient   une fonction continue, et   une solution de   telle que  .

Montrer que  .

Exercice 4Modifier

Soit   de classe C1 et bornée. Pour   on note   la solution de

 .

  1. Montrer que cette solution est définie sur  .
  2. Montrer que  .

Exercice 5Modifier

Soit   une solution d'une équation différentielle  . Démontrer que si   est de classe Cp alors   est de classe Cp+1.

Exercice 6Modifier

Référence : exo7.emath.fr/ficpdf/fic00053.pdf, Équations différentielles (énoncés : M. Queffélec, V. Mayer, T. Tahani, F. Sarkis ; corrections : F. Sarkis), exercice 3.

Soit  . On considère le problème de Cauchy  .

  1. Montrez qu'il existe une unique solution maximale   et qu'elle est globale (c'est-à-dire définie sur  ).
  2. Calculer la solution dans le cas  .
  3. Étudier la régularité de cette solution.

Exercice 7Modifier

Référence : exo7.emath.fr/ficpdf/fic00053.pdf, Équations différentielles (énoncés : M. Queffélec, V. Mayer, T. Tahani, F. Sarkis ; corrections : F. Sarkis), exercice 4.

Soit   donnée par :   si   et  . On s'intéresse à l'équation différentielle  .

  1. Le théorème de Cauchy-Lipschitz local s'applique-t-il ?
  2. Soit   une solution sur un intervalle ne contenant pas  . On pose  . Traduire l'équation différentielle sur   par une équation différentielle sur   et résoudre cette dernière.
  3. Que peut-on en déduire sur l'existence et l'unicité des solutions   du problème de Cauchy   ?

Exercice 8Modifier

Référence : Frédéric Paulin, « Topologie, analyse et calcul différentiel », , p. 260, lemme 7.22

Soient   deux solutions de l'équation différentielle  . On suppose que   est  -lipschitzienne par rapport à sa seconde variable sur la réunion des graphes de   et  . Démontrer que  .

On utilisera le lemme suivant, qui est un exercice sur les propriétés de l'intégrale :

pour tous   et  , si une fonction continue   vérifie  , alors  .

Exercice 9Modifier

On considère le problème de Cauchy

 .
  1. Montrer que la solution maximale est unique et globale.
  2. Pour quelles valeurs de   est-elle constante ?
  3. Soit  . Déterminer le comportement (monotonie ? limites ?) de la solution maximale du problème de Cauchy.
  4. Étudier de même le problème de Cauchy  .

Exercice 10Modifier

On considère le problème de Cauchy

 .
  1. Montrer que la solution maximale est unique.
  2. Pour quelles valeurs de   est-elle constante ?
  3. Comment la solution maximale   de   se déduit-elle de la solution maximale   du problème de Cauchy ci-dessus ?
  4. Comment la solution maximale   du problème de Cauchy ci-dessus pour chaque   se déduit-elle de celle pour chaque   ? On supposera donc désormais  .
  5. Soit   la solution maximale. Montrer que   est (strictement) positive et croissante et en déduire   et  .
  6. Par le calcul, retrouver ces résultats et donner   et  .
  7. La fonction   est-elle lipschitzienne sur   ?
  8. On considère maintenant le problème de Cauchy non autonome
     .
    1. Montrer que la solution maximale est encore unique et qu'elle est C.
    2. On suppose toujours  . Soit   la solution maximale. Montrer que   et en déduire que  .

Exercice 11Modifier

  1. Résoudre  .
  2. La fonction   est-elle lipschitzienne sur un voisinage à gauche ou à droite de   ?

Exercice 12Modifier

Wikipédia possède un article à propos de « Équations de prédation de Lotka-Volterra ».

I. Soient  . On considère le système

 
  1. Montrer que la solution maximale   est unique.
  2. Résoudre le problème de Cauchy pour  .
  3. Résoudre le problème de Cauchy pour  .
  4. En déduire que si   alors  .
  5. On considère  . Toujours dans le cas  , montrer que la fonction   est constante et en déduire que la solution maximale   est globale.

II.  On suppose toujours  .

  1. Déterminer les signes de   et   selon la zone de   dans laquelle se trouve  .
  2. On suppose par exemple que   et  . Montrer qu'il existe un premier instant   tel que   et qu'alors,   et  .
  3. Montrer qu'il existe un premier instant   tel que   et qu'alors,   et  .
  4. Montrer qu'il existe un premier instant   tel que   et qu'alors,   et  .
  5. Montrer qu'il existe un premier instant   tel que   et qu'alors,   et  .
  6. Montrer enfin qu'il existe un premier instant   tel que   et qu'alors,  .
  7. Vérifier que l'application   est injective et en déduire que   est  -périodique.

III.  Calculer les valeurs moyennes de   et   sur une période.

Exercice 13Modifier

Wikipédia possède un article à propos de « Pendule simple ».

On s'intéresse au problème de Cauchy (scalaire d'ordre 2) :

 .
  1. L'exprimer sous forme vectorielle d'ordre 1 et montrer qu'il a une unique solution maximale,  .
  2. Déterminer les solutions stationnaires.
  3. On considère  . Montrer que   est constante.
  4. On suppose dans la suite   et  , donc  .
    1. Montrer que   est impaire.
    2. Montrer que si  , il existe   tel que  .
    3. Montrer que si  , la solution est périodique.
    4. Décrire la solution si  .

Exercice 14Modifier

Soient   une fonction continue impaire et  . On considère le problème de Cauchy

 .
  1. Justifier que ce problème a une unique solution maximale, qu'on note encore  .
  2. Montrer que   est définie sur  .
  3. Montrer que si   s'annule en un point alors elle est partout nulle. En déduire que   est de signe constant.
  4. Montrer que   est encore solution. En déduire que   est paire.

Exercice 15Modifier

Soit  . On considère le problème de Cauchy  .

  1. Montrer que ce problème a une solution maximale, définie sur un intervalle ouvert  .
  2. Déterminer les points d'équilibre du problème, c'est-à-dire tous les points   tels que  .
  3. Étudier la solution du problème de Cauchy   :
    • Montrer que   est bornée sur   ; en déduire que   ;
    • Est-elle monotone ? a-t-elle une limite quand   ? et si oui, laquelle ? ou alors est-elle oscillante comme   ?