Calcul différentiel/Exercices/Courbes paramétrées
Exercice 1
modifierSoit un réel .
- Étudier et tracer la courbe paramétrée .
- Pour , on note et les points d'intersection de la tangente à cette courbe au point avec, respectivement, et . Calculer la distance .
http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00112.pdf exercice 1, question 1.
-
- On peut se limiter à par périodicité, puis se restreindre à car est le symétrique de par rapport à , puis à car est le symétrique de par rapport à , puis à car est le symétrique de par rapport à la droite .
- s'annule en et vaut en .
- et . Quand croît de à , décroît et croît.
- Au voisinage de , donc il s'agit d'un point de rebroussement de première espèce à tangente horizontale.
- donc la tangente au point a pour équation : , soit . Par conséquent, et donc .
Exercice 2
modifierSoit un réel .
- Un cercle , de rayon , roule sans glisser sur l'axe . On note le point de contact entre et et le centre du cercle ( et sont donc mobiles). est un point donné de (mobile, mais solidaire de ). Déterminer un paramétrage par de la courbe décrite par le point .
- Étudier et tracer la courbe paramétrée .
http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00112.pdf exercice 1, question 2.
- Quand augmente de , l'abscisse de et augmente de . Donc avec , c'est-à-dire
- .
-
- On peut se limiter à étudier la courbe pour car est le translaté de par , puis se restreindre à car est le symétrique de par rapport à .
- s'annule en et vaut (donc tangente horizontale) en .
- et . Quand croît de à , et croissent.
- Au voisinage de , donc il s'agit d'un point de rebroussement de première espèce à tangente verticale.
Exercice 3
modifier1. On considère
- .
Dans les deux cas suivants, établir le double tableau de variations et tracer la courbe associée :
- .
2. Étudier et tracer la courbe paramétrée
- .
En donner une équation cartésienne.
1. a) est l'image de par la symétrie orthogonale par rapport à l'axe . On peut donc restreindre à . Puis, est l'image de par la symétrie orthogonale par rapport à l'axe . On peut donc même restreindre à .
Sur cet intervalle, , d'où le tableau de variations suivant :
La tangente en a pour pente , et la tangente en est verticale (car ).
Courbe sous google.com (c'est à peu de chose près la lemniscate de Gerono).
1. b) http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00112.pdf exercice 1, question 3.
2. http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00112.pdf exercice 1, question 4.
donc , soit encore : .
Exercice 4
modifierConstruire les courbes paramétrées :
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- .
Pour les questions 1 à 8, voir aussi http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00112.pdf exercice 2.
- On étudie pour . Calculons les dérivées logarithmiques pour :
et
donc
et .
Par continuité, ces égalités sont encore vraies pour .
On en déduit le tableau de variations suivant :
Quand , donc au point limite , la tangente est horizontale.
Quand , donc la courbe a deux branches paraboliques de direction horizontale.
Quand , et donc la courbe a une asymptote d'équation .
Quand , et donc le point singulier est un point de rebroussement de première espèce à tangente verticale.
Il y a nécessairement un point d'inflexion sur la branche parabolique qui part du point limite. Calculons-le. La courbure s'annule lorsque les dérivées logarithmiques de et sont égales, c'est-à-dire soit, après simplification : donc . - . En calculant les limites aux bornes, on aboutit au tableau suivant :
Quand , donc asymptote d'équation .
Quand , et donc branche parabolique de direction .
Au point limite , la tangente a pour pente . - est l'image de par la symétrie orthogonale par rapport à la droite . On peut donc restreindre à .
Sur cet intervalle, ; ; , d'où le tableau de variations suivant :
Quand , et , d'où une branche parabolique de direction .
Quand , et , d'où une branche parabolique de direction . - est l'image de par la symétrie orthogonale par rapport à la droite . On peut donc restreindre à .
Sur cet intervalle, , d'où le tableau de variations suivant :
- On étudie pour .
.
Il n'y a donc pas de point singulier, et au point , la tangente est horizontale.
La courbe coupe l'axe des abscisses en , avec une tangente de pente , et l'axe des ordonnées en , avec une tangente de pente .
donne un point limite à tangente de pente .
donne une asymptote horizontale.
La position de la courbe par rapport à cette asymptote est donnée par le signe de , donc la courbe est au-dessus si et en dessous sinon.
donne deux branches paraboliques de direction verticale car .
La courbe s'auto-intersecte au point ( ). - , d'où le tableau suivant :
Quand , donc asymptote .
Quand , donc asymptote .
est un point d'inflexion à tangente verticale.
On peut préciser la position de la courbe par rapport à ses asymptotes, soit par développement limité, soit par factorisation de polynômes :- Si :
- d.l. en posant avec : et ;
- factorisation : .
- Si :
- d.l. en posant avec : et ;
- factorisation : .
- Si :
- d.l. en posant avec : ;
- factorisation : .
- Si :
- On étudie pour .
donc le point est singulier (rebroussement de première espèce à tangente verticale car ), et deux autres points remarquables sont (tangente verticale), (tangente horizontale).
donne deux branches paraboliques de direction horizontale.
Quand , donne une asymptote .
La position de la courbe par rapport à cette asymptote est donnée par le signe de , donc la courbe est en dessous si et au-dessus sinon (en particulier : au-dessus pour les deux points remarquables correspondant à et ). - .
Deux branches paraboliques de direction verticale quand .
Point singulier avec rebroussement de deuxième espèce pour , avec tangente .
La courbe repasse par ce point pour , avec tangente . - La courbe est définie pour non nul et .
, et est du signe de . En calculant les limites aux bornes, on aboutit au tableau suivant, avec :
La courbe a donc pour asymptotes l'axe des abscisses (quand , et ) et la verticale (quand , et ). La quatrième branche infinie est aussi asymtotique : quand , donc l'asymptote a pour équation et la courbe est au-dessus. - .
- Point singulier pour : .
. Donc rebroussement de première espèce, vecteur tangent . - Branches infinies quand : . Courbe en-dessous de l'asymptote quand et au-dessus quand .
- Branches infinies quand : donc branches paraboliques de direction verticale. Plus précisément, donc parabole asymptote , et courbe au-dessus quand et en dessous en .
- Point singulier pour : .
Exercice 5
modifierSoit un réel .
- Trouver les trajectoires orthogonales à la famille des cercles de rayon et centrés sur .
- Étudier et tracer la courbe paramétrée .
- Cherchons les solutions sous la forme . Au point , la courbe est orthogonale au cercle (de centre et de rayon ) si et seulement si le vecteur dérivé est colinéaire au rayon , c'est-à-dire si . Or une primitive de est (cf. Changement de variable en calcul intégral/Exercices/Changement de variable facile#Exercice 2-10). Les courbes solutions sont donc :
- .
- On peut restreindre l'intervalle d'étude à par périodicité, puis à par symétrie par rapport à (via ), puis à par symétrie par rapport à (via ). , donc est asymptote. Sur , et , donc et sont croissantes et le vecteur s'annule pour donc le point est singulier. Pour étudier la courbe quand , posons avec . Ainsi, et donc est un point de rebroussement de première espèce, à demi-tangente verticale, dirigée vers le bas.
Voir aussi http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00112.pdf exercice 1, question 5, ainsi que l'exercice 10 ci-dessous.
Exercice 6
modifierEn un point d'une courbe paramétrée, le rayon de courbure est donné par
et le centre de courbure est le point qui est à distance de ,
tel que la droite est normale à la tangente , et placé dans l'intérieur de la courbe.
La développée est l'ensemble des centres de courbure.
- Déterminer le rayon de courbure en tout point de :
- l'astroïde ;
- la cycloïde ;
- la lemniscate .
- Déterminer la développante de la cycloïde qui passe par le milieu d'une arche.
- Déterminer la développée de l'ellipse d'équation , dont la paramétrisation naturelle est donnée par
- .
- .
- Astroïde :
- ,
- ,
- ,
- ,
- .
- Cycloïde : ,
- ,
- ,
- .
- Lemniscate
- ,
- ,
- ,
- ,
- . Remarque : .
- Astroïde :
- Prenons, comme origine de l'abscisse curviligne , le point (sommet de la première arche) et étudions la développante pour (donc et ). Elle est paramétrée par
- avec, puisque :
- et , donc
- .
- Par translation temporelle et spatiale, on retrouve donc la même cycloïde :
- .
-
- et un vecteur unitaire normal pointant vers l'intérieur est ,
- donc a pour coordonnées :
- ,
- .
- Ceci constitue une paramétrisation de la développée de l'ellipse.
Exercice 7
modifier1. Trouver les droites à la fois tangentes et normales à la courbe paramétrée .
Cherchons distincts et non nuls (on examinera à part le point singulier) tels que la tangente en soit normale en , c'est-à-dire tels que soit colinéaire à et orthogonal à .
donc la condition est :
et , ce qui équivaut (en simplifiant la première équation par ) à
et , ou encore :
et .
est la solution positive de l'équation , c'est-à-dire .
Variante : cherchons distincts et non nuls tels que la tangente en , d'équation , soit égale à la normale en , d'équation . Ces deux équations représentent la même droite si et seulement si les deux triplets de coefficients et sont proportionnels, c'est-à-dire (en simplifiant la deuxième équation par ) :
et , ou encore :
et .
est une racine positive du polynôme , donc .
Finalement, que ce soit par la première méthode ou par la variante, il y a donc deux solutions : avec , d'où , et les deux droites (symétriques par rapport à , comme la courbe) ont pour équation : .
Examinons maintenant le point singulier , (rebroussement de première espèce). La tangente et la normale ce point sont et , qui ne touchent la courbe qu'en ce point donc ne donnent pas de solution supplémentaire.
2. La normale en un point M de la parabole recoupe cette parabole en N. La parallèle en M à la tangente en N coupe en un point P la parallèle en N à la tangente en M. Déterminer le lieu de P et le tracer.
Notons respectivement , et les coordonnées de M, N et P.
N se déduit de M par :
- donc
- .
Puis P s'en déduit par :
soit
donc
- et
- .
Le lieu de P est donc la courbe d'équation
Exercice 8
modifierL'orthoptique d'une courbe est le lieu des points du plan d'où l'on peut mener (au moins) deux tangentes à , orthogonales. Soient . Déterminer l'orthoptique de :
- l'astroïde ;
- la courbe ;
- l'ellipse d'équation . (Indication : étant donné un point , chercher la condition sur pour que la droite passant par et de coefficient directeur soit tangente à l'ellipse.)
1°) http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00112.pdf exercice 3, question 1 : .
2°) donc la tangente a pour pente .
- Cela est encore valable au point singulier car en posant , on trouve .
- Si , une tangente orthogonale aura pour pente . Calculons le point d'intersection des tangentes (orthogonales) aux points et , pour et .
- La première tangente a pour équation :
- , en posant pour simplifier les notations, donc .
- Le point d'intersection vérifie donc :
- avec comme nouveau paramètre . On a ainsi paramétré la courbe orthoptique.
3°) Une droite de pente passant par un point a pour équation donc un point de cette droite appartient à l'ellipse si et seulement si
- ,
- ce qui se réécrit
- .
- La droite est tangente à l'ellipse si cette équation en a une racine double, c'est-à-dire si son discriminant est nul.
- Donc .
- Lorsque , cette équation en a deux solutions complexes. Le point appartient alors à l'orthoptique de l'ellipse si et seulement si ces deux solutions ont pour produit (ce qui implique qu'elles sont réelles et distinctes), c'est-à-dire si , ou encore :
- .
- Lorsque , l'une des deux tangentes à l'ellipse issues de est verticale, donc l'autre lui est orthogonale si et seulement si , ce qui, à nouveau, équivaut à .
- Lorsque , cette équation en a deux solutions complexes. Le point appartient alors à l'orthoptique de l'ellipse si et seulement si ces deux solutions ont pour produit (ce qui implique qu'elles sont réelles et distinctes), c'est-à-dire si , ou encore :
- L'orthoptique de l'ellipse est donc le cercle d'équation .
« Orthoptique », sur mathcurve.com
Exercice 9
modifierSoit le cercle de centre et de rayon .
- Donner un paramétrage de la développante de passant par le point .
- Soit la translatée de par le vecteur . Justifier que :
- et sont tangentes ;
- le point de tangence appartient à l'axe vertical d'équation .
- la tangente est horizontale.
- Soit la courbe symétrique de par rapport à . Justifier que et sont tangentes.
- Quel est l'intérêt mécanique de cette propriété ?
- .
- Ces trois conditions sont réunies en un point égal à un point si et seulement si :
- ;
- ;
- ,
- c'est-à-dire : et