Calcul différentiel/Exercices/Courbes paramétrées

Courbes paramétrées
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Exercices no7
Leçon : Calcul différentiel

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Examen
Exo suiv. :Courbes et surfaces dans ℝ3
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Calcul différentiel/Exercices/Courbes paramétrées
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Exercice 1Modifier

Soit un réel  .

  1. Étudier et tracer la courbe paramétrée  .
  2. Pour  , on note   et   les points d'intersection de la tangente à cette courbe au point   avec, respectivement,   et  . Calculer la distance  .

Exercice 2Modifier

Soit un réel  .

  1. Un cercle  , de rayon  , roule sans glisser sur l'axe  . On note   le point de contact entre   et   et   le centre du cercle   (  et   sont donc mobiles).   est un point donné de   (mobile, mais solidaire de  ). Déterminer un paramétrage par   de la courbe décrite par le point  .
  2. Étudier et tracer la courbe paramétrée  .

Exercice 3Modifier

1. On considère

Wikipédia possède un article à propos de « Courbes de Lissajous ».
 .

Dans les deux cas suivants, établir le double tableau de variations et tracer la courbe associée :

 .

2. Étudier et tracer la courbe paramétrée

Wikipédia possède un article à propos de « Lemniscate de Bernoulli ».
 .

En donner une équation cartésienne.

Exercice 4Modifier

Construire les courbes paramétrées :

  1.   ;
  2.   ;
  3.   ;
  4.   ;
  5.   ;
  6.   ;
  7.   ;
  8.   ;
  9.   ;
  10.  .

Exercice 5Modifier

Soit un réel  .

  1. Trouver les trajectoires orthogonales à la famille des cercles de rayon   et centrés sur  .
  2. Étudier et tracer la courbe paramétrée  .

Exercice 6Modifier

Wikipédia possède un article à propos de « Rayon de courbure ».
Wikipédia possède un article à propos de « Développante ».
Wikipédia possède un article à propos de « Développée ».

En un point   d'une courbe paramétrée, le rayon de courbure est donné par
  et le centre de courbure est le point   qui est à distance   de  ,

tel que la droite   est normale à la tangente  , et placé dans l'intérieur de la courbe.

La développée est l'ensemble des centres de courbure.

  1. Déterminer le rayon de courbure en tout point de :
    1. l'astroïde   ;
    2. la cycloïde   ;
    3. la lemniscate  .
  2. Déterminer la développante de la cycloïde qui passe par le milieu d'une arche.
  3. Déterminer la développée de l'ellipse d'équation  , dont la paramétrisation naturelle est donnée par
     .

Exercice 7Modifier

1. Trouver les droites à la fois tangentes et normales à la courbe paramétrée  .

2. La normale en un point M de la parabole   recoupe cette parabole en N. La parallèle en M à la tangente en N coupe en un point P la parallèle en N à la tangente en M. Déterminer le lieu de P et le tracer.

Exercice 8Modifier

L'orthoptique d'une courbe   est le lieu des points du plan d'où l'on peut mener (au moins) deux tangentes à  , orthogonales. Soient  . Déterminer l'orthoptique de :

  1. l'astroïde   ;
  2. la courbe   ;
  3. l'ellipse d'équation  . (Indication : étant donné un point  , chercher la condition sur   pour que la droite passant par   et de coefficient directeur   soit tangente à l'ellipse.)

« Orthoptique », sur mathcurve.com

Exercice 9Modifier

Soit   le cercle de centre   et de rayon  .

  1. Donner un paramétrage de la développante   de   passant par le point  .
  2. Soit   la translatée de   par le vecteur  . Justifier que :
    •   et   sont tangentes ;
    • le point de tangence appartient à l'axe vertical   d'équation  .
    • la tangente est horizontale.
  3. Soit   la courbe symétrique de   par rapport à  . Justifier que   et   sont tangentes.
  4. Quel est l'intérêt mécanique de cette propriété ?

Exercice 10Modifier

Soit un réel  . On note :

  •   l'intersection de   et de la tangente en   ;
  •   le projeté orthogonal de   sur  .
  1. Trouver les courbes telles que   ;
  2. Trouver les courbes telles que  .