Calcul différentiel/Exercices/Courbes paramétrées

Courbes paramétrées
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Exercices no7
Leçon : Calcul différentiel
Chapitre du cours : Sous-variétés de ℝn

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Examen
Exo suiv. :Courbes et surfaces dans ℝ3
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Calcul différentiel/Exercices/Courbes paramétrées
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Exercice 1

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Soit un réel  .

  1. Étudier et tracer la courbe paramétrée  .
  2. Pour  , on note   et   les points d'intersection de la tangente à cette courbe au point   avec, respectivement,   et  . Calculer la distance  .

Exercice 2

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Soit un réel  .

  1. Un cercle  , de rayon  , roule sans glisser sur l'axe  . On note   le point de contact entre   et   et   le centre du cercle   (  et   sont donc mobiles).   est un point donné de   (mobile, mais solidaire de  ). Déterminer un paramétrage par   de la courbe décrite par le point  .
  2. Étudier et tracer la courbe paramétrée  .

Exercice 3

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1. On considère

 
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Wikipédia possède un article à propos de « Courbes de Lissajous ».
 .

Dans les deux cas suivants, établir le double tableau de variations et tracer la courbe associée :

 .

2. Étudier et tracer la courbe paramétrée

 
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Wikipédia possède un article à propos de « Lemniscate de Bernoulli ».
 .

En donner une équation cartésienne.

Exercice 4

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Construire les courbes paramétrées :

  1.   ;
  2.   ;
  3.   ;
  4.   ;
  5.   ;
  6.   ;
  7.   ;
  8.   ;
  9.   ;
  10.  .

Exercice 5

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Soit un réel  .

  1. Trouver les trajectoires orthogonales à la famille des cercles de rayon   et centrés sur  .
  2. Étudier et tracer la courbe paramétrée  .

Exercice 6

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Wikipédia possède un article à propos de « Rayon de courbure ».
 
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Wikipédia possède un article à propos de « Développante ».
 
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Wikipédia possède un article à propos de « Développée ».

En un point   d'une courbe paramétrée, le rayon de courbure est donné par
  et le centre de courbure est le point   qui est à distance   de  ,

tel que la droite   est normale à la tangente  , et placé dans l'intérieur de la courbe.

La développée est l'ensemble des centres de courbure.

  1. Déterminer le rayon de courbure en tout point de :
    1. l'astroïde   ;
    2. la cycloïde   ;
    3. la lemniscate  .
  2. Déterminer la développante de la cycloïde qui passe par le milieu d'une arche.
  3. Déterminer la développée de l'ellipse d'équation  , dont la paramétrisation naturelle est donnée par
     .

Exercice 7

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1. Trouver les droites à la fois tangentes et normales à la courbe paramétrée  .

2. La normale en un point M de la parabole   recoupe cette parabole en N. La parallèle en M à la tangente en N coupe en un point P la parallèle en N à la tangente en M. Déterminer le lieu de P et le tracer.

Exercice 8

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L'orthoptique d'une courbe   est le lieu des points du plan d'où l'on peut mener (au moins) deux tangentes à  , orthogonales. Soient  . Déterminer l'orthoptique de :

  1. l'astroïde   ;
  2. la courbe   ;
  3. l'ellipse d'équation  . (Indication : étant donné un point  , chercher la condition sur   pour que la droite passant par   et de coefficient directeur   soit tangente à l'ellipse.)

« Orthoptique », sur mathcurve.com

Exercice 9

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Soit   le cercle de centre   et de rayon  .

  1. Donner un paramétrage de la développante   de   passant par le point  .
  2. Soit   la translatée de   par le vecteur  . Justifier que :
    •   et   sont tangentes ;
    • le point de tangence appartient à l'axe vertical   d'équation  .
    • la tangente est horizontale.
  3. Soit   la courbe symétrique de   par rapport à  . Justifier que   et   sont tangentes.
  4. Quel est l'intérêt mécanique de cette propriété ?

Exercice 10

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Soit un réel  . On note :

  •   l'intersection de   et de la tangente en   ;
  •   le projeté orthogonal de   sur  .
  1. Trouver les courbes telles que   ;
  2. Trouver les courbes telles que  .

Exercice 11

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Tracer la courbe d'équation polaire  .

Exercice 12

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Wikipédia possède un article à propos de « Spirale logarithmique ».

Soit   une spirale logarithmique, c'est-à-dire une courbe d'équation polaire   ( ).

  1. Soit  . Que dire de l'angle   entre   et la tangente à   en   ? Montrer que cette propriété caractérise les spirales logarithmiques.
  2. Calculer l'abscisse curviligne le long de  .
  3. En déduire qu'on peut former un engrenage avec deux spirales logarithmiques isométriques.
  4. Si l'on fait rouler une spirale logarithmique sur une droite, quelle est la trajectoire du centre ?

Exercice 13

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Wikipédia possède un article à propos de « Repère de Frenet ».

On considère un point mobile   de vitesse   et d'accélération   non colinéaires. On note  ,   et   l'abscisse curviligne ( ).

  1. Exprimer   comme combinaison linéaire de   et  .
  2. En déduire que  , et démontrer que  .
  3. En déduire qu'il existe un vecteur unitaire   et un réel   (rayon de courbure) tels que  .
  4. Exprimer   comme combinaison linéaire de   et  .
  5. On pose   (produit vectoriel). Démontrer que   est une base orthonormée directe.

Exercice 14

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  1. Représenter graphiquement la parabole  .
  2. Calculer l'équation cartésienne et l'équation paramétrique de la tangente à   au point  .

Exercice 15

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  1. En quels points la courbe d'équation   a-t-elle une tangente parallèle à l'axe des   ou celui des   ?
  2. À partir de ces informations, dessiner l'allure de la courbe.

Exercice 16

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Dans les quatre cas suivants, trouver une paramétrisation rationnelle de la courbe :

  •   ;
  •   (lemniscate de Bernoulli) ;
  •   (folium de Descartes) ;
  •  .

Exercice 17

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Étude locale.

  1. Déterminez la nature, au point correspondant à la valeur   du paramètre, des courbes paramétrées suivantes :
    1.   ;
    2.   ;
    3.   ;
    4.  .
  2. Déterminez les points d'inflexion de la courbe  .

Exercice 18

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On souhaite tracer la courbe paramétrée par

 .
  1. Calculer   et établir le double tableau de variations sur  .
  2. Étude locale au voisinage du point de paramètre   : préciser un vecteur dirigeant la tangente en ce point, et le comportement local (point d'inflexion ? rebroussement de première espèce ? de deuxième espèce ?).
  3. Étude de la branche infinie quand   : déterminer une droite asymptote.
  4. Étude de la branche infinie quand   : déterminer une droite asymptote et étudier la position de la courbe par rapport à cette droite (au-dessus ou en dessous ?).
  5. Tracer la courbe.

Exercice 19

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On considère la courbe paramétrée plane déterminée par

 .
  1. Déterminer une valeur de   correspondant à un point singulier.
  2. Calculer, pour tout réel  , le déterminant  .
  3. Calculer   et  . En déduire qu'il existe un point d'inflexion dans  .

Liens externes

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Wikipédia possède un article à propos de « WIMS ».