Calcul différentiel/Différentiabilité

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Différentiabilité
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Chapitre no 2
Leçon : Calcul différentiel
Chap. préc. :Limites et continuité
Chap. suiv. :Jacobien

Exercices :

Différentiabilité
Exercices :Continuité et différentiabilité de fonctions de Rp dans Rq
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Calcul différentiel/Différentiabilité
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La notion de différentiabilité généralise celle de dérivées de fonctions réelles de variable réelle.

Application différentiable en un pointModifier

Soient   une application de   dans   et   un point de  .


Si   n'est pas définie sur   tout entier mais seulement sur voisinage de  , on adopte la même définition, après avoir prolongé   à   de façon arbitraire (la définition ne dépend clairement pas du choix du prolongement).

Propriétés et définitionModifier

Remarques
  • Si   la définition du vecteur dérivé   de   au point   est  . Dans ce cas, les notions de différentiabilité et dérivabilité se confondent donc et  . Cependant, on verra plus loin que si  , l’existence de dérivées partielles en un point n'implique pas la différentiabilité ni même la continuité en ce point.
  • De même que pour les fonctions de   dans  , la propriété de différentiabilité est ponctuelle.
  • Si   est linéaire continue alors elle est différentiable en tout point   et  .
Exemples de calcul d'une différentielle
Soient  ,   et   trois espaces vectoriels normés et   une application bilinéaire. Si   est continue alors elle est différentiable en tout point   de  , et  .
En effet :
  • l'application   est linéaire continue ;
  •   ;
  • avec les notations du § suivant,  .
Ceci s'applique par exemple :
  • pour  ,   un espace euclidien, muni de son produit scalaire  , et   ce produit scalaire. En effet, cette application bilinéaire   est continue (comme toute application multilinéaire sur un espace vectoriel normé de dimension finie ou, plus explicitement ici, par l'inégalité de Cauchy-Schwarz :  ). On trouve donc :   ;
  •   et   le produit vectoriel. Donc de même,  .
Plus généralement (et par le même raisonnement), soient   des e.v.n. et   une application multilinéaire. Si   est continue alors elle est différentiable en tout point   et  .

Rappels sur les applications linéaires continuesModifier

Dans la suite on aura besoin du théorème suivant, démontré dans la leçon sur les espaces vectoriels normés :

Début d’un théorème
Fin du théorème

Si   est continue, le plus petit réel   tel que   est égal à  . On l'appelle la norme de l'application linéaire  , ou norme de   subordonnée (à la norme sur  ), et on le note   ou  .

Plus généralement, si   sont des espaces vectoriels normés, on définit, pour toute application  -linéaire continue  , un réel   vérifiant  .

Si   sont de dimension finie, toute application  -linéaire   est continue (on peut le démontrer par exemple par récurrence sur n ; pour le cas n = 1, voir Espaces vectoriels normés/Dimension finie#Équivalence des normes et conséquences).

CompositionModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème


Trois applications du théorème
  • Sur un espace   euclidien, la différentielle de l'application   est donnée (voir supra) par  , c'est-à-dire :  .
  • De même, la différentielle au point   de l'application   de   dans lui-même est  .
  • Notons   la norme euclidienne de  . L'application   est dérivable en tout  . Ainsi, en tout point   de  , la différentielle de la norme euclidienne est donnée par  .

Opérations algébriquesModifier

Le lemme suivant est immédiat mais très utile, entre autres pour analyser une fonction à valeurs dans  .

Début d'un lemme
Fin du lemme

Les propriétés suivantes généralisent les règles usuelles correspondantes pour les fonctions numériques. Elles se déduisent immédiatement du lemme et du théorème de composition ci-dessus, et du calcul général précédent de la différentielle d'une application continue linéaire ou bilinéaire.

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Différentielles des fonctions de Rp dans RqModifier

  • Soient   et   un point de  . On appelle dérivée de   au point   suivant un vecteur   le vecteur dérivé en   (s'il existe) de la fonction   :
     .
Si   admet une différentielle en   alors elle admet une dérivée en   suivant n'importe quel vecteur  , et  .
  • Dans le cas   et   (le  -ème vecteur de la base canonique de  ), la dérivée au point   suivant ce vecteur s'appelle la  -ème dérivée partielle de   au point   :
     .
Si   admet une différentielle en   alors elle admet des dérivées partielles en ce point, et
 .
  • Lorsque de plus  , le lemme de la section précédente permet de développer un peu plus la différentielle au point   (si elle existe) de l'application
     
sous forme matricielle :
 ,
  est la matrice jacobienne de   au point   :
 .

Voici un exemple de calcul : la fonction   est différentiable en tout point et sa matrice jacobienne s'écrit :  .

Remarques importantes :

De ce qui précède, si f est différentiable en un point a alors f admet des dérivées partielles en ce point mais la réciproque est fausse : On considère la fonction f :   définie par   si   et   si  . On a   et de même   : les différentielles partielles existent bien, cependant les nombres 0 et 1 ont des antécédents dans tout voisinage V de l'origine ce qui prouve la discontinuité et donc la non-différentiabilité de f en ce point.

La différentiabilité d'une fonction en un point n'entraîne pas la continuité des dérivées partielles en ce point : la fonction   si  , prolongée par  , est différentiable en   avec   et  , cependant la fonction   n'a pas de limite en  .

Théorèmes d'égalité et d'inégalité des accroissements finisModifier

L'expression « accroissement fini » provient d'une époque où en calcul différentiel on faisait une distinction entre les accroissements infinitésimaux dx et les accroissements « finis » x1 - x0.

On rappelle le théorème des accroissements finis pour les fonctions à valeurs réelles : Si une fonction continue   est dérivable sur  , alors il existe   tel que  .

Le segment de départ   est ici supposé réel, mais on peut très facilement étendre ensuite le résultat à un segment d'un espace vectoriel normé, en le paramétrant et en appliquant le théorème de composition ci-dessus. L'égalité obtenue s'écrit alors :  .

Augmenter la dimension de l'espace d'arrivée est en revanche impossible, comme le montre l'exemple de l'exercice 11.

On conserve cependant la propriété suivante :

Début d’un théorème
Fin du théorème


On en déduit immédiatement, en cascade, trois corollaires :




Condition suffisante de différentiabilité d'une fonction définie sur un produitModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème


En effet, le cas général se déduit du cas  , or plus généralement (si   sont, comme  , des espaces vectoriels normés) :

Début d'un lemme
Fin du lemme


Remarque : en scrutant la preuve, on voit que l'une des   dérivées partielles (la première,  , dans la preuve ci-dessus) n'a pas besoin d'être continue en  , ni même définie ailleurs qu'au point  . Cf. (en) Tom Apostol, Mathematical Analysis, 2e éd., p. 357 , théorème 12.11 (en dimension finie).

Application deux fois différentiable, différentielle secondeModifier

Soit f : U   E   F une fonction différentiable en un point a   U. Il se peut que la fonction df : x   dfx soit définie dans un voisinage V   U avec a   V et différentiable en a. Sa différentielle d(df)a se note alors d2fa et s’appelle la différentielle seconde ou d'ordre 2 de f en a : dfa+h = dfa +d2fa(h) +‖h‖E ε(h) avec  . Il faut noter que d2fa    (E,  (E, F)) autrement dit, pour tout h   E on a d2fa(h)    (E, F). L'application (h, k)   d2fa(h)(k) est linéaire à la fois en h et en k. Les espaces  (E,  (E, F)) et  (E, E; F) (l'espace des applications bilinéaires continues de E × E dans F) sont isomorphes si bien que d2fa s'identifie à un élément de  (E, E; F). En effet, l’application L :  (E,  (E, F))    (E, E; F)) définie par L(f)(h, k) = f(h)(k) est une application linéaire bijective, sa réciproque L-1 :  (E, E; F))    (E,  (E, F)) étant définie par L-1(g)(h)(k) = g(h, k). On notera donc par abus d'écriture d2fa(h)(k) = d2fa(h, k).