Calcul différentiel/Différentiabilité

Début de la boite de navigation du chapitre

La notion de différentiabilité généralise celle de dérivées de fonctions réelles de variable réelle.

fin de la boite de navigation du chapitre

Application différentiable en un point

Soient $f$ une application de $E$ dans $F$ et $a$ un point de $E$.

Définition : Application différentiable en un point

On dit que $f$ est différentiable au point $a$ s'il existe une application linéaire continue $L:E\to F$ telle que (avec la notation o de Landau)

$f(a+h)=f(a)+L(h)+o(\|h\|)$,

c'est-à-dire telle que l'application $\varepsilon :E\setminus \{0\}\to F$ définie par

$\forall h\in E\quad f(a+h)=f(a)+L(h)+\|h\|\varepsilon (h)$

vérifie :

$\lim _{0}\varepsilon =0$.

Si $f$ n'est pas définie sur $E$ tout entier mais seulement sur voisinage de $a$, on adopte la même définition, après avoir prolongé $f$ à $E$ de façon arbitraire (la définition ne dépend clairement pas du choix du prolongement).

Propriétés et définition

Définition : Différentielle au point a

Si $f$ est différentiable en $a$, l’application $L$ ci-dessus est unique. On la note $\mathrm {d} f_{a}$ et on l'appelle la différentielle de $f$ en $a$.

Démonstration

Soit L' une application linéaire vérifiant également la définition de la différentielle de f en a. Posons u = L – L' et montrons que u = 0 (sans utiliser l'hypothèse que L et L' sont continues, ni même le fait que la topologie de l'espace vectoriel F est issue d'une norme : on utilise seulement qu'elle est séparée). Soient s un vecteur de norme 1 dans E et V un voisinage de 0 dans F. Puisque $\lim _{h\to 0}{\frac {u(h)}{\Vert h\Vert }}=0$, il existe un rayon α > 0 tel que $\|h\|\leq \alpha \Rightarrow {\frac {u(h)}{\|h\|}}\in V$. Or par linéarité de u, $u(s)={\frac {u(\alpha s)}{\alpha }}={\frac {u(\alpha s)}{\|\alpha s\|}}\in V$. Ainsi, u(s) est dans tous les voisinages de 0 et donc u(s) = 0 par séparation de F. Par suite, u = 0 et L = L'.

 

Propriété

La différentiabilité de $f$ en $a$ implique la continuité de $f$ en $a$.

Démonstration

Cette implication résulte immédiatement de $f(a+h)=f(a)+\mathrm {d} f_{a}(h)+o(\|h\|)$ et de la continuité de $\mathrm {d} f_{a}$ en $0$.

 

Remarques

• Si $E=\mathbb {R}$ la définition du vecteur dérivé $f'(a)$ de $f$ au point $a$ est $f(a+h)=f(a)+hf'(a)+o(h)$. Dans ce cas, les notions de différentiabilité et dérivabilité se confondent donc et $\mathrm {d} f_{a}(h)=hf'(a)$. Cependant, on verra plus loin que si $E=\mathbb {R} ^{p}$, l’existence de dérivées partielles en un point n'implique pas la différentiabilité ni même la continuité en ce point.
• De même que pour les fonctions de $\mathbb {R}$ dans $\mathbb {R}$, la propriété de différentiabilité est ponctuelle.
• Si $f$ est linéaire continue alors elle est différentiable en tout point $a$ et $\mathrm {d} f_{a}=f$.

Exemples de calcul d'une différentielle

Soient $E$, $F$ et $G$ trois espaces vectoriels normés et $B:E\times F\to G$ une application bilinéaire. Si $B$ est continue alors elle est différentiable en tout point $(x,y)$ de $E\times F$, et $\mathrm {d} B_{(x,y)}{(h,k)}=B(x,k)+B(h,y)$.

En effet :

• l'application $(h,k)\mapsto B(x,k)+B(h,y)$ est linéaire continue ;
• $B(x+h,y+k)-B(x,y)-\left(B(x,k)+B(h,y)\right)=B(h,k)$ ;
• avec les notations du § suivant, $\|B(h,k)\|\leq |\!|\!|B|\!|\!|\ \|h\|\ \|k\|\leq |\!|\!|B|\!|\!|\max(\|h\|,\|k\|)^{2}=|\!|\!|B|\!|\!|\ \|(h,k)\|^{2}=o(\|(h,k)\|)$.

Ceci s'applique par exemple :

• pour $G=\mathbb {R}$, $E=F=$ un espace euclidien, muni de son produit scalaire $\langle \cdot ,\cdot \rangle$, et $B=$ ce produit scalaire. En effet, cette application bilinéaire $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ est continue (comme toute application multilinéaire sur un espace vectoriel normé de dimension finie ou, plus explicitement ici, par l'inégalité de Cauchy-Schwarz : $|\!|\!|\langle \cdot ,\cdot \rangle |\!|\!|=1$). On trouve donc : $\mathrm {d} \langle \cdot ,\cdot \rangle _{(x,y)}{(h,k)}=\langle x,k\rangle +\langle h,y\rangle$ ;
• $E=F=G=\mathbb {R} ^{3}$ et $B=$ le produit vectoriel. Donc de même, $\mathrm {d} \land _{(x,y)}{(h,k)}=x\land k+h\land y$.

Plus généralement (et par le même raisonnement), soient $E_{1},\dots ,E_{n},G$ des e.v.n. et $M:E_{1}\times \dots \times E_{n}\to G$ une application multilinéaire. Si $M$ est continue alors elle est différentiable en tout point $x=(x_{1},\dots ,x_{n})$ et $\mathrm {d} M_{x}(h)=\sum _{k=1}^{n}M(x_{1},\dots ,x_{k-1},h_{k},x_{k+1},\dots ,x_{n})$.

Rappels sur les applications linéaires continues

Dans la suite on aura besoin du théorème suivant, démontré dans la leçon sur les espaces vectoriels normés :

Début d’un théorème

Théorème

Soit $L:E\to F$ une application linéaire. Les assertions suivantes sont équivalentes :

• $L$ est continue ;
• $L$ est continue en $0$ ;
• $L$ est bornée sur la boule unité ;
• $\exists k\geq 0\quad \forall x\in E\quad \|L(x)\|\leq k\|x\|$.

Fin du théorème

Si $L$ est continue, le plus petit réel $k\geq 0$ tel que $\forall x\in E\quad \|L(x)\|\leq k\|x\|$ est égal à $\sup _{\|x\|\leq 1}\|L(x)\|$. On l'appelle la norme de l'application linéaire $L$, ou norme de $L$ subordonnée (à la norme sur $E$), et on le note $\|L\|$ ou $|\!|\!|L|\!|\!|$.

Plus généralement, si $E_{1},\dots ,E_{n}$ sont des espaces vectoriels normés, on définit, pour toute application $n$-linéaire continue $L:E_{1}\times \dots \times E_{n}\to F$, un réel $|\!|\!|L|\!|\!|$ vérifiant $\|L(x_{1},\dots ,x_{n})\|\leq |\!|\!|L|\!|\!|\|x_{1}\|\dots \|x_{n}\|$.

Si $E_{1},\dots ,E_{n}$ sont de dimension finie, toute application $n$-linéaire $L:E_{1}\times \dots \times E_{n}\to F$ est continue (on peut le démontrer par exemple par récurrence sur n ; pour le cas n = 1, voir Espaces vectoriels normés/Dimension finie#Équivalence des normes et conséquences).

Composition

Début d’un théorème

Théorème

Soient $E$, $F$ et $G$ trois espaces vectoriels normés. Si $f:E\to F$ est différentiable en $a$ et $g:F\to G$ est différentiable en $b:=f(a)$ alors $g\circ f$ est différentiable en $a$ et

$\mathrm {d} (g\circ f)_{a}=\mathrm {d} g_{b}\circ \mathrm {d} f_{a}$.

Fin du théorème

Démonstration

Notons $L=\mathrm {d} f_{a}$ et $M=\mathrm {d} g_{b}$. Alors :

• $M$ et $L$ sont linéaires continues, en particulier : $M(k)=O(\|k\|)$ et $L(h)=O(\|h\|)$ (avec la notation O de Landau) ;
• $f(a+h)=f(a)+L(h)+o(\|h\|)$ ;
• $g(b+k)=g(b)+M(k)+o(\|k\|)$.

Par conséquent :

• $M\circ L$ est linéaire continue ;
• $(g\circ f)(a+h)=g(b)+M\left[L(h)+o(\|h\|)\right]+o\left[\|L(h)+o(\|h\|)\|\right]=g(b)+(M\circ L)(h)+M\left[o(\|h\|)\right]+o\left[\|L(h)+o(\|h\|)\|\right]$ ;
• $M\left[o(\|h\|)\right]=O\left[\|o(\|h\|)\|\right]=o(\|h\|)$ et $o\left[\|L(h)+o(\|h\|)\|\right]=o\left[\|O(\|h\|)\|\right]=o(\|h\|)$.

Remarque

Dans cet énoncé et sa preuve, il n'est pas indispensable que G soit un espace vectoriel normé : il suffit que ce soit un espace vectoriel topologique séparé.

 

Trois applications du théorème

• Sur un espace $E$ euclidien, la différentielle de l'application $\pi :=\langle \cdot ,\cdot \rangle \circ \Delta :x\mapsto \langle x,x\rangle$ est donnée (voir supra) par $\mathrm {d} \pi _{x}=\mathrm {d} \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\Delta (x)}\circ \mathrm {d} \Delta _{x}=\mathrm {d} \langle \cdot ,\cdot \rangle _{(x,x)}\circ \Delta$, c'est-à-dire : $\mathrm {d} \pi _{x}(h)=\langle x,h\rangle +\langle h,x\rangle =2\langle x,h\rangle$.
• De même, la différentielle au point $A$ de l'application $M\mapsto M^{3}$ de $\mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )$ dans lui-même est $H\mapsto HA^{2}+AHA+A^{2}H$.
• Notons $N(x)=\|x\|=R(\pi (x))$ la norme euclidienne de $x\in E$. L'application $R:t\mapsto {\sqrt {t}}$ est dérivable en tout $t>0$. Ainsi, en tout point $x\neq 0$ de $E$, la différentielle de la norme euclidienne est donnée par $\mathrm {d} N_{x}(h)=\left(\mathrm {d} R_{\pi (x)}\circ \mathrm {d} \pi _{x}\right)(h)={\dfrac {1}{2{\sqrt {\langle x,x\rangle }}}}\times 2\langle x,h\rangle ={\dfrac {\langle x,h\rangle }{\|x\|}}$.

Opérations algébriques

Le lemme suivant est immédiat mais très utile, entre autres pour analyser une fonction à valeurs dans $\mathbb {R} ^{q}$.

Début d'un lemme

Lemme

Une application $f:x\mapsto f(x)=(f_{1}(x),\dots ,f_{q}(x))$ (à valeurs dans un produit de $q$ espaces vectoriels normés) est différentiable en un point $a$ si et seulement si chacune de ses composantes $f_{i}$ (pour $i$ de $1$ à $q$) l'est, et alors, $\mathrm {d} f_{a}(h)=(\mathrm {d} (f_{1})_{a}(h),\dots ,\mathrm {d} (f_{q})_{a}(h))$.

Fin du lemme

Les propriétés suivantes généralisent les règles usuelles correspondantes pour les fonctions numériques. Elles se déduisent immédiatement du lemme et du théorème de composition ci-dessus, et du calcul général précédent de la différentielle d'une application continue linéaire ou bilinéaire.

Propriété

Soient $f,g:E\to F$ différentiables en $a\in E$. Alors :

1. la somme $f+g$ est différentiable en $a$ et $\mathrm {d} (f+g)_{a}=\mathrm {d} f_{a}+\mathrm {d} g_{a}$ ;
2. pour tout scalaire $\lambda \in K$, $\lambda f$ est différentiable en $a$ et $\mathrm {d} (\lambda f)_{a}=\lambda \mathrm {d} f_{a}$ ;
3. si $F=K$ :
   • le produit $fg$ est différentiable en $a$ et $\mathrm {d} (fg)_{a}=f(a)\mathrm {d} g_{a}+g(a)\mathrm {d} f_{a}$,
   • si $f(a)\neq 0$, l'inverse $1/f$ est différentiable en $a$ et $\mathrm {d} (1/f)_{a}=-{\frac {\mathrm {d} f_{a}}{(f(a))^{2}}}$,
   • si $g(a)\neq 0$, le quotient $f/g$ est différentiable en $a$ et $\mathrm {d} (f/g)_{a}={\frac {g(a)\mathrm {d} f_{a}-f(a)\mathrm {d} g_{a}}{(g(a))^{2}}}$.

Début de l'exemple

Exemple

Dans l'espace euclidien usuel $\mathbb {R} ^{n}$, l'inversion $h$, de $\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}$ dans lui-même, définie par

$h(x)={\frac {x}{\|x\|^{2}}}$,

est différentiable et (d'après le dernier point ci-dessus, joint à la section précédente)

$\mathrm {d} h_{x}(h)={\frac {\mathrm {d\,id} _{x}(h)}{\|x\|^{2}}}-x{\frac {\mathrm {d} \langle \cdot ,\cdot \rangle _{(x,x)}(h,h)}{\|x\|^{4}}}={\frac {h}{\|x\|^{2}}}-{\frac {2\langle x,h\rangle }{\|x\|^{4}}}x$.

Fin de l'exemple

Différentielles des fonctions de R^p dans R^q

• Soient $f:E\to F$ et $a$ un point de $E$. On appelle dérivée de $f$ au point $a$ suivant un vecteur $h\in E$ le vecteur dérivé en $0$ (s'il existe) de la fonction $\mathbb {R} \to F,\ t\mapsto f(a+th)$ :

  $Df_{a}(h):=\lim _{t\to 0}{\frac {f(a+th)-f(a)}{t}}\in F$.

Si $f$ admet une différentielle en $a$ alors elle admet une dérivée en $a$ suivant n'importe quel vecteur $h$, et $Df_{a}(h)=\mathrm {d} f_{a}(h)$.

• Dans le cas $E=\mathbb {R} ^{p}$ et $h=e_{j}$ (le $j$-ème vecteur de la base canonique de $\mathbb {R} ^{p}$), la dérivée au point $a$ suivant ce vecteur s'appelle la $j$-ème dérivée partielle de $f$ au point $a$ :

  ${\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(a):=Df_{a}(e_{j})={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[x\mapsto f(a_{1},\dots ,a_{j-1},x,a_{j+1},\dots ,a_{p})\right]_{x=a_{j}}$.

Si $f:\mathbb {R} ^{p}\to F$ admet une différentielle en $a$ alors elle admet des dérivées partielles en ce point, et

$\forall h\in \mathbb {R} ^{p}\quad \mathrm {d} f_{a}(h)=\sum _{j=1}^{p}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(a)h_{j}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a)&\dots &{\frac {\partial f}{\partial x_{p}}}(a)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}h_{1}\\\vdots \\h_{p}\end{pmatrix}}$.

• Lorsque de plus $F=\mathbb {R} ^{q}$, le lemme de la section précédente permet de développer un peu plus la différentielle au point $a$ (si elle existe) de l'application

  $f:\mathbb {R} ^{p}\mapsto \mathbb {R} ^{q},\ {\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{p}\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}f_{1}(x_{1},\dots ,x_{p})\\\vdots \\f_{q}(x_{1},\dots ,x_{p})\end{pmatrix}}$

sous forme matricielle :

$\mathrm {d} f_{a}(h)=J_{f}(a){\begin{pmatrix}h_{1}\\\vdots \\h_{p}\end{pmatrix}}$,

où $J_{f}(a)$ est la matrice jacobienne de $f$ au point $a$ :

$J_{f}(a):={\begin{pmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(a)&\dots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{p}}}(a)\\\vdots &&\vdots \\{\dfrac {\partial f_{q}}{\partial x_{1}}}(a)&\dots &{\dfrac {\partial f_{q}}{\partial x_{p}}}(a)\end{pmatrix}}\in M_{q,p}(\mathbb {R} )$.

Voici un exemple de calcul : la fonction $f:\mathbb {R} ^{2}\mapsto \mathbb {R} ^{3},\ {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}\sin x\\x^{2}+y\\y\mathrm {e} ^{x}\end{pmatrix}}$ est différentiable en tout point et sa matrice jacobienne s'écrit : $J_{f}(x,y)={\begin{pmatrix}{\cos x}&0\\2x&1\\ye^{x}&e^{x}\end{pmatrix}}$.

Remarques importantes :

De ce qui précède, si f est différentiable en un point a alors f admet des dérivées partielles en ce point mais la réciproque est fausse : On considère la fonction f : $\mathbb {R} ^{2}\mapsto \mathbb {R}$ définie par $f(x,y)=0$ si $xy=0$ et $f(x,y)=1$ si $xy\neq 0$. On a ${\dfrac {\partial f}{\partial x}}(0,0)=\lim _{h\rightarrow 0}{\dfrac {f(h,0)}{h}}=0$ et de même ${\dfrac {\partial f}{\partial y}}(0,0)=\lim _{h\rightarrow 0}{\dfrac {f(0,h)}{h}}=0$ : les différentielles partielles existent bien, cependant les nombres 0 et 1 ont des antécédents dans tout voisinage V de l'origine ce qui prouve la discontinuité et donc la non-différentiabilité de f en ce point.

La différentiabilité d'une fonction en un point n'entraîne pas la continuité des dérivées partielles en ce point : la fonction $f:(x,y)\mapsto y+x^{2}\sin(1/x)$ si $(x,y)\neq (0,0)$, prolongée par $f(0,0)=0$, est différentiable en $(0,0)$ avec ${\dfrac {\partial f}{\partial x}}(0,0)=0$ et ${\dfrac {\partial f}{\partial y}}(0,0)=1$, cependant la fonction $(x,y)\mapsto {\dfrac {\partial f}{\partial x}}(x,y)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)$ n'a pas de limite en $(0,0)$.

Théorèmes d'égalité et d'inégalité des accroissements finis

L'expression « accroissement fini » provient d'une époque où en calcul différentiel on faisait une distinction entre les accroissements infinitésimaux dx et les accroissements « finis » x₁ - x₀.

On rappelle le théorème des accroissements finis pour les fonctions à valeurs réelles : Si une fonction continue $f:\left[a,b\right]\to \mathbb {R}$ est dérivable sur $\left]a,b\right[$, alors il existe $c\in \left]a,b\right[$ tel que $f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)$.

Le segment de départ $\left[a,b\right]$ est ici supposé réel, mais on peut très facilement étendre ensuite le résultat à un segment d'un espace vectoriel normé, en le paramétrant et en appliquant le théorème de composition ci-dessus. L'égalité obtenue s'écrit alors : $f(b)-f(a)=\mathrm {d} f_{c}(b-a)$.

Augmenter la dimension de l'espace d'arrivée est en revanche impossible, comme le montre l'exemple de l'exercice 11.

On conserve cependant la propriété suivante :

Début d’un théorème

Inégalité des accroissements finis pour les fonctions à valeurs vectorielles

Soient deux réels $a<b$, et deux fonctions continues $f:\left[a,b\right]\to F$ et $g:\left[a,b\right]\to \mathbb {R}$, dérivables sur $\left]a,b\right[$.

Si

$\forall t\in \left]a,b\right[\quad \|f'(t)\|\leq g'(t)$

alors

$\|f(b)-f(a)\|\leq g(b)-g(a).$

Fin du théorème

Démonstration

Soient $\varepsilon >0$, $u\in \left]a,b\right[$, $\varphi :\left[u,b\right]\to \mathbb {R} ,\ t\mapsto \|f(t)-f(a)\|-g(t)-\varepsilon t$, et $c\in \left[u,b\right]$ un point en lequel la fonction $\varphi$ (continue) atteint son minimum. Montrons par l'absurde que $c=b$.

Si au contraire $\left]c,b\right[$ était non vide, il contiendrait des réels $t$ tels que

$\left\|{\frac {f(t)-f(c)}{t-c}}\right\|-{\frac {\varepsilon }{2}}<\|f'(c)\|\leq g'(c)<{\frac {g(t)-g(c)}{t-c}}+{\frac {\varepsilon }{2}}$

et l'on aurait alors

$\|f(t)-f(c)\|<g(t)-g(c)+\varepsilon (t-c)$ donc (par inégalité triangulaire) $\varphi (t)<\varphi (c)$,

ce qui contredirait le choix de $c$.

On a donc bien $c=b$, en particulier $\varphi (b)\leq \varphi (u)$, c'est-à-dire

$\|f(b)-f(a)\|\leq \|f(u)-f(a)\|+g(b)-g(u)+\varepsilon (b-u)$.

On conclut par passage à la limite quand $u\to a^{+}$ et $\varepsilon \to 0^{+}$.

Remarques

• $\varphi$ est en fait strictement décroissante.
• Comme cette démonstration le prouve, le théorème ne nécessite que l'existence de dérivée à droite pour les fonctions $g$ et $f$.
• On peut de plus supposer seulement que ces dérivées à droite existent (et satisfont l'inégalité) sur le complémentaire d'un ensemble dénombrable, comme dans le cas où $f$ est à valeurs réelles.

 

On en déduit immédiatement, en cascade, trois corollaires :

Corollaire 1

Soient deux réels $a<b$, une fonction continue $f:\left[a,b\right]\to F$ dérivable sur $\left]a,b\right[$ et un réel $M$ tel que

$\forall t\in \left]a,b\right[\quad \|f'(t)\|\leq M$.

Alors,

$\|f(b)-f(a)\|\leq M(b-a)$.

Corollaire 2

Soit $f:E\to F$ une application continue sur un segment $\left[a,b\right]\subset E$ et différentiable en tout point de $\left]a,b\right[$. Alors,

$\|f(b)-f(a)\|\leq \left(\sup _{x\in \left]a,b\right[}|\!|\!|\mathrm {d} f_{x}|\!|\!|\right)\|b-a\|$.

Corollaire 3

Soit $f:\Omega \to F$ une application différentiable, $\Omega$ étant un ouvert connexe de $E$.

Si $\mathrm {d} f=0$ alors $f$ est constante.

Condition suffisante de différentiabilité d'une fonction définie sur un produit

Début d’un théorème

Théorème

Si les dérivées partielles d'une application $f:\mathbb {R} ^{p}\to \mathbb {R} ^{q}$ sont définies au voisinage d'un point $a$ et continues en ce point, alors $f$ est différentiable au point $a$.

Fin du théorème

En effet, le cas général se déduit du cas $q=1$, or plus généralement (si $E_{1},\dots ,E_{p}$ sont, comme $F$, des espaces vectoriels normés) :

Début d'un lemme

Lemme

Si les dérivées partielles d'une application $f:E_{1}\times \dots \times E_{p}\to F$ sont définies au voisinage d'un point $a$ et continues en ce point, alors $f$ est différentiable au point $a$.

Fin du lemme

Démonstration

La $j$-ème « dérivée partielle » en $a$ de $f$ désigne ici la différentielle au point $a_{j}$ de l'application $E_{j}\to F,\ x\mapsto f(x_{1},\dots ,a_{j-1},x,a_{j+1},\dots ,a_{p})$. Nous la noterons $\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)_{a}$.

Sans perte de généralité, $a=0$. Pour $h=(h_{1},\dots ,h_{p})$, soit

$R(h)=f(h)-f(0)-\sum _{j=1}^{p}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)_{0}(h_{j})$. On doit démontrer que $R(h)=o(\|h\|)$.

Pour $0\leq j\leq p$, notons $k_{j}=(h_{1},\dots ,h_{j},0,\dots ,0)$. Ainsi,

$R(h)=\sum _{j=1}^{p}R_{j}(h)$, avec

$R_{j}(h)=f(k_{j})-f(k_{j-1})-\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)_{0}(h_{j})$ donc $\left({\frac {\partial R_{j}}{\partial h_{j}}}\right)_{h}={\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)_{k_{j-1}}}-{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)_{0}}$.

Par continuité en $0$ de ${\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}$ et d'après l'inégalité des accroissements finis ci-dessus, on a donc

$R_{j}(h)=o(\|h\|)$, ce qui conclut.

 

Remarque : en scrutant la preuve, on voit que l'une des $p$ dérivées partielles (la première, ${\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}$, dans la preuve ci-dessus) n'a pas besoin d'être continue en $a$, ni même définie ailleurs qu'au point $a$. Cf. (en) Tom Apostol, Mathematical Analysis, 2^e éd., p. 357 , théorème 12.11 (en dimension finie).

Application deux fois différentiable, différentielle seconde

Soit f : U $\subset$ E $\mapsto$ F une fonction différentiable en un point a $\in$ U. Il se peut que la fonction df : x $\mapsto$ df_x soit définie dans un voisinage V $\subset$ U avec a $\in$ V et différentiable en a. Sa différentielle d(df)_a se note alors d²f_a et s’appelle la différentielle seconde ou d'ordre 2 de f en a : df_a+h = df_a +d²f_a(h) +‖h‖_E ε(h) avec $\lim _{h\rightarrow 0_{E}}\varepsilon (h)=0_{{\mathcal {L}}(E,F)}$. Il faut noter que d²f_a $\in$ ${\mathcal {L}}$(E, ${\mathcal {L}}$(E, F)) autrement dit, pour tout h $\in$ E on a d²f_a(h) $\in$ ${\mathcal {L}}$(E, F). L'application (h, k) $\mapsto$ d²f_a(h)(k) est linéaire à la fois en h et en k. Les espaces ${\mathcal {L}}$(E, ${\mathcal {L}}$(E, F)) et ${\mathcal {L}}$(E, E; F) (l'espace des applications bilinéaires continues de E × E dans F) sont isomorphes si bien que d²f_a s'identifie à un élément de ${\mathcal {L}}$(E, E; F). En effet, l’application L : ${\mathcal {L}}$(E, ${\mathcal {L}}$(E, F)) $\mapsto$ ${\mathcal {L}}$(E, E; F)) définie par L(f)(h, k) = f(h)(k) est une application linéaire bijective, sa réciproque L^-1 : ${\mathcal {L}}$(E, E; F)) $\mapsto$ ${\mathcal {L}}$(E, ${\mathcal {L}}$(E, F)) étant définie par L^-1(g)(h)(k) = g(h, k). On notera donc par abus d'écriture d²f_a(h)(k) = d²f_a(h, k).