Champ électrostatique, potentiel/Exercices/Énergie potentielle

Énergie potentielle d'une charge ponctuelle

Soit un disque de centre O, de rayon R, perpendiculaire à l'axe (Oz). On suppose que le disque porte une densité de charge surfacique σ uniforme.

1. Calculer le potentiel électrostatique en tout point de (Oz) (distinguer les expressions pour z > 0 et z < 0).

2. Calculer le champ électrique engendré par le disque en tout point de (Oz).

3. On suppose de plus le disque muni d'une ouverture d'influence négligeable en O permettant le passage d'une particule le long de (Oz). Soit une charge ponctuelle -q (q > 0) astreinte à se déplacer suivant (Oz)

a. Calculer l'énergie potentielle E_p de la charge en fonction de z.

b. Trouver les positions d'équilibre de la charge et déterminer l'état de stabilité de chacune de ces positions.

Solution

Question 1 : Calculer le potentiel électrostatique en tout point de (Oz).

${\begin{cases}\forall z>0,~V(z)=\displaystyle {{\frac {\sigma }{2\varepsilon _{0}}}({\sqrt {R^{2}+z^{2}}}-z)}\\\forall z<0,~V(z)=\displaystyle {{\frac {\sigma }{2\varepsilon _{0}}}({\sqrt {R^{2}+z^{2}}}+z)}\end{cases}}$

Pour avoir le détail du calcul, voir les calculs classiques.

Question 2 : Calculer le champ électrique engendré par le disque en tout point de (Oz).

${\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}V$ donc $E(z)=-{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} z}}$

${\begin{cases}\displaystyle {\forall z>0,~{\vec {E}}(z)={\frac {\sigma }{2\varepsilon _{0}}}\left(1-{\frac {z}{\sqrt {R^{2}+z^{2}}}}\right){\vec {u}}_{z}}\\\displaystyle {\forall z<0,~{\vec {E}}(z)=-{\frac {\sigma }{2\varepsilon _{0}}}\left(1+{\frac {z}{\sqrt {R^{2}+z^{2}}}}\right){\vec {u}}_{z}}\end{cases}}$

Question 3. a. : Calculer l'énergie potentielle E_p de la charge en fonction de z.

$E_{p}(z)=-q\cdot V(z)$

Donc ${\begin{cases}\forall z>0,~E_{p}(z)=\displaystyle {-{\frac {q\sigma }{2\varepsilon _{0}}}({\sqrt {R^{2}+z^{2}}}-z)}\\\forall z<0,~E_{p}(z)=\displaystyle {-{\frac {q\sigma }{2\varepsilon _{0}}}({\sqrt {R^{2}+z^{2}}}+z)}\end{cases}}$

Question 3. b. : Trouver les positions d'équilibre de la charge et déterminer l'état de stabilité de chacune de ces positions.

On a une position d'équilibre pour la charge lorsque ${\frac {\mathrm {d} E_{p}}{\mathrm {d} z}}=0$

• si z > 0 : ${\frac {\mathrm {d} E_{p}}{\mathrm {d} z}}=0\Leftrightarrow {\frac {z}{\sqrt {R^{2}+z^{2}}}}=1$, ce qui n'arrive jamais
• si z < 0 : ${\frac {\mathrm {d} E_{p}}{\mathrm {d} z}}=0\Leftrightarrow -{\frac {z}{\sqrt {R^{2}+z^{2}}}}=1$, ce qui n'arrive jamais non plus...

L'allure de E_p est la suivante :

La seule position pouvant être position d'équilibre serait z=0, mais les grandeurs électrostatiques ne sont pas définies en ce point.

Finalement, il n'ya pas de position d'équilibre pour la particule.