Champ électrostatique, potentiel/Potentiel
Potentiel électrostatique créé par une distribution de charges discrète dans le vide
modifierOn se place dans un référentiel galiléen.
Énergie potentielle électrostatique
modifierOn considère une charge q₁ en un point O fixe, générant dans l'espace un champ électrostatique .
Une charge q₂, soumise à une force électrostatique due à , se déplace alors d'un point A (on pose rA=OA) à un point B (on pose rB=OB).
La force de Coulomb est une force conservative, tout comme l'interaction gravitationnelle. Le travail de entre A et B vaut donc
On pose l'énergie potentielle électrostatique d'une charge q₂ placée à la distance r d'une charge q₁. Elle est définie à une constante c₁ près.
On obtient alors , ce qui traduit bien le côté conservatif de .
Potentiel électrostatique créé par une charge ponctuelle dans le vide
modifierOn définit alors le potentiel électrostatique.
Soit une particule de charge q₁ immobile placée en O. On dit que le potentiel électrostatique créé par q₁ en un point M vaut , où c est une constante.
c=0 pour avoir VO nul à l'infini.
L'énergie potentielle électrostatique d'une charge q₂ placée en un point M où le potentiel vaut VO(M) est alors
Travail de la force électrostatique
modifierLe travail de la force électrostatique au cours du déplacement de q₂ entre deux points A et B vaut
Généralisation à n charges ponctuelles dans le vide
modifierTout comme le champ électrostatique, le potentiel électrostatique obéit au principe de superposition. Soient n particules A₁, A₂, ..., An, immobiles dans l'espace, de charges respectives q₁, q₂, ... qn.
Le potentiel électrostatique créé par cette distribution est la somme des potentiels électrostatiques créés par chacune des particules : .
Potentiel électrostatique créé par une distribution continue de charges fixes dans le vide
modifierLe principe de superposition, applicable au potentiel V, permet également de calculer le potentiel électrostatique créé par une distribution continue.
Distribution linéique de charges
modifierSoit une distribution de charges réparties sur un arc Γ telle qu'en un point courant P de Γ, la densité de charge linéique vaille λ(P). Le potentiel électrostatique en un point M vaut alors
Distribution surfacique de charges
modifierSoit une distribution de charges réparties sur une surface Σ telle qu'en un point courant P de Σ, la densité de charge surfacique vaille σ(P). Le potentiel électrostatique en un point M vaut alors
Distribution volumique de charges
modifierRelations avec le champ électrostatique
modifier
Pour un déplacement élémentaire : .
Or, V est une fonction d'état donc
Donc
Topographie du potentiel
modifierSurface équipotentielle
modifierUne surface équipotentielle est une surface de l'espace sur laquelle le potentiel est constant.
Symétries du potentiel
modifierSoient un plan de l'espace, M un point de l'espace et M' le symétrique de M par rapport à
- Si П est un plan de symétrie de la distribution,
- Si П* est un plan d'antisymétrie de la distribution,
- Si la distribution est invariante par translation suivant un axe, z par exemple, alors V(x,y,z)=V(x,y)
- Si la distribution est invariante par rotation autour d'un axe θ, alors V(r,θ,z)=V(r,z).