Champ magnétique, magnétostatique/Calculs classiques

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Méthodes de calcul du champ magnétique

Calcul direct

Début d’un principe

Méthode de calcul direct du champ magnétique

Lorsqu'on dispose d'une distribution de courants qu’il est facile de paramétrer (par exemple une spire circulaire), on peut faire le calcul du champ magnétique en calculant l'intégrale explicitement :

• Choix du repère (cartésien, cylindrique, sphérique)
• Simplification de l’expression de ${\vec {B}}$ par utilisation des symétries et invariances
• Expression du champ élémentaire créé par une portion infinitésimale de la distribution avec la loi de Biot et Savart. Cette portion élémentaire doit être choisie judicieusement pour simplifier les calculs (voir exemples).
• Intégration finale

Fin du principe

Théorème d'Ampère

Début d’un principe

Application d'Ampère au calcul du champ magnétique

Lorsqu'on dispose de distributions très symétriques ou infinies, il est souvent plus simple d’utiliser le théorème d'Ampère pour calculer le champ magnétique engendré par la distribution :

• Simplification de l’expression de ${\vec {B}}$ par utilisation des symétries et invariances
• Choix du contour d'Ampère fermé (en fonction de ${\vec {B}}$ et de la distribution), puis orientation du contour.
• Application de la formule

Fin du principe

Calculs de champs magnétiques classiques

Faites ces exercices : Calculs de champs.

Les quelques calculs présentés ici sont les calculs de base de la magnétostatique. Il est très important de savoir les refaire sans aucun doute. Ce n'est toutefois que la base et d'autres calculs classiques dont le principe est également à connaître sont laissés en exercice.

Segment de courant

Début d’un théorème

Segment de courant

On dispose d'un segment parallèle à l’axe z parcouru par un courant i. D'un point M de l'espace distant du segment d'une distance d, on voit les extrémités basse et haute du segment sous leurs angles respectifs $\alpha _{1}$ et $\alpha _{2}$ par rapport à l'horizontale. Le champ magnétostatique ${\vec {B}}$ engendré en M vaut ${\vec {B}}(M)={\frac {\mu _{0}I}{4\pi d}}(\sin(\alpha _{2})-\sin(\alpha _{1})){\vec {u}}_{\theta }$

Fin du théorème

Début d'une démonstration

Démonstration

• Tout plan contenant le segment est plan de symétrie de la distribution donc ${\vec {B}}$ est suivant ${\vec {u}}_{\theta }$.
• Le champ créé en M par une longueur infinitésimale $\mathrm {d} l$ au point P du segment vaut :

${\begin{aligned}d{\vec {B}}&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {i~\mathrm {d} {\vec {l}}\wedge {\vec {u}}_{r}}{r^{2}}}\\&={\frac {\mu _{0}i}{4\pi r^{2}}}(\mathrm {d} z~{\vec {u}}_{z})\wedge (\cos(\alpha ){\vec {u}}_{y}+\sin(\alpha ){\vec {u}}_{z})\\&={\frac {\mu _{0}i}{4\pi r^{2}}}~\mathrm {d} z\cos(\alpha ){\vec {u}}_{\theta }\end{aligned}}$

• Ensuite, on choisit la variable suivant laquelle on va intégrer. Ici, une intégration suivant $\alpha ~$ s'avérera aisée. Comme on veut intégrer suivant $~\alpha$, on va chercher à tout exprimer en fonction de $~\alpha$ et d:
  • $z=d~\tan(\alpha )$ donc $\mathrm {d} z=d.{\frac {\mathrm {d} \alpha }{\cos ^{2}(\alpha )}}$
  • $r={\frac {d}{\cos(\alpha )}}$
• Après remplacement, on obtient $\mathrm {d} {\vec {B}}={\frac {\mu _{0}i}{4\pi d}}\cos(\alpha )~\mathrm {d} \alpha ~{\vec {u}}_{\theta }$
• Enfin, on intègre pour $\alpha ~$ entre $\alpha _{1}~$ et $~\alpha _{2}$ : ${\vec {B}}={\frac {\mu _{0}i}{4\pi d}}(\sin(\alpha _{2})-\sin(\alpha _{1})){\vec {u}}_{\theta }$
• Dans le cas limite, on retrouve bien l’expression du champ créé par un fil infini (voir en dessous).

Fin de la démonstration

Fil infini

Début d’un théorème

Fil infini

On suppose que l’axe (Oz) est un fil conducteur parcouru par un courant I orienté vers les z croissants. En un point M de l'espace séparé de (Oz) d'une distance r, le champ magnétostatique ${\vec {B}}$ vaut ${\vec {B}}(M)={\frac {\mu _{0}I}{2\pi r}}{\vec {u}}_{\theta }$

Fin du théorème

Remarque

On peut également obtenir le champ magnétique à la distance d d'un fil infini en faisant tendre $~\alpha _{1}$ vers $-{\frac {\pi }{2}}$ et $~\alpha _{2}$ vers ${\frac {\pi }{2}}$ dans l’expression du segment de courant.

Avec le théorème d'Ampère

Début d’un théorème

Fil infini

Prenons le cas d'un conducteur filiforme rectiligne infini parcouru par un courant $I$. Les coordonnées adaptées à ce problème sont les coordonnées cylindriques.

Fin du théorème

Début d'une démonstration

Démonstration

On cherche à calculer par le théorème d'Ampère le champ magnétique autour d'un fil infini

Invariances et symétries

• Les symétries sont :
  • Tout plan passant par l’axe $(Oz)$ est plan de symétrie pour la distribution : ainsi, le champ magnétique est perpendiculaire à ce plan.
• Les invariances sont :
  • La distribution est invariante par translation suivant $(Oz)$.
  • La distribution est invariante par rotation de $\theta$ autour de $(Oz)$.

Donc ${\vec {B}}=B(r){\vec {u}}_{\theta }$

Contour d'Ampère

• On considère un cercle d'axe $(Oz)$, contenant le fil et de rayon $r$. Le sens de rotation implique que le sens positif est suivant l’axe $(Oz)$.

On applique le théorème d'Ampère

• ${\begin{aligned}\oint _{C}{\vec {B}}.\mathrm {d} {\vec {l}}&=\int _{\theta }^{2\pi }B.r.d\theta \\&=B.2.\pi .r\\&=\mu _{0}I\end{aligned}}$.
• D'où :${\vec {B}}(r)={\frac {\mu _{0}I}{2.\pi .r}}{\vec {u}}_{\theta }$

Fin de la démonstration

Champ d'une spire circulaire

Début d’un théorème

Spire circulaire de courant

On dispose d'une spire circulaire, de rayon R et d'axe de révolution (Oz). Soit M un point de (Oz). De M, on voit la spire sous un certain angle $\alpha$ par rapport à l'axe. Le champ magnétique ${\vec {B}}$ en M vaut ${\vec {B}}(M)={\frac {\mu _{0}I}{2R}}\sin ^{3}(\alpha ){\vec {u}}_{z}$

Fin du théorème

Ce résultat est parfois considéré comme un résultat de cours. Il est vivement conseillé de l'apprendre, et a fortiori de savoir le redémontrer.

Début d'une démonstration

Démonstration

On calcule le champ par la méthode directe en un point M de l’axe (Oz) :

• Tout plan contenant (Oz) est plan d'antisymétrie de la distribution donc ${\vec {B}}(M)$ est suivant ${\vec {u}}_{z}$
• La distribution est invariante par rotation autour de (Oz) donc, en coordonnées cylindriques, ${\vec {B}}={\vec {B}}(r,z)$. En particulier, sur l'axe, ${\vec {B}}(M)=B(z){\vec {u}}_{z}$
• Le champ créé en M par une longueur infinitésimale de longueur dl située en P vaut $\mathrm {d} {\vec {B}}_{reel}={\frac {\mu _{0}I}{4\pi d^{2}}}~(\mathrm {d} {\vec {l}}\wedge {\vec {u}})$. En réalité, la seule composante utile de ce champ élémentaire est la composante suivant ${\vec {z}}$, comme le champ final ${\vec {B}}(M)$ est suivant ${\vec {z}}$. Comme $\Vert \mathrm {d} {\vec {l}}\wedge {\vec {u}}\Vert =\sin({\frac {\pi }{2}})~\mathrm {d} l=~\mathrm {d} l$ , on considère $\mathrm {d} B={\frac {\mu _{0}I}{4\pi d^{2}}}\sin(\alpha )~\mathrm {d} l$, norme de la projection de $\mathrm {d} {\vec {B}}_{reel}$ sur (Oz).
• On souhaite une expression en fonction de $\alpha ~$ : on remarque que $d={\frac {R}{\sin(\alpha )}}$ et on remplace : $\mathrm {d} B={\frac {\mu _{0}I}{4\pi R^{2}}}\mathrm {d} l~\sin ^{3}(\alpha )$
• Enfin, on intègre pour $l~$ compris entre 0 et $2\pi R$ (qui donnera le bon résultat car $\alpha ~$ est constant) : $B(M)=\int _{0}^{2\pi R}{\frac {\mu _{0}I}{4\pi R^{2}}}~\sin ^{3}(\alpha )~\mathrm {d} l={\frac {\mu _{0}I}{2R}}\sin ^{3}(\alpha )$

Fin de la démonstration

Nappe de courant

Début d’un théorème

Nappe de courant

Soit une distribution surfacique de courants uniformes ${\vec {j}}_{s}=j_{s}{\vec {u_{y}}}$ circulant dans le plan $(yOz)$. Cette distribution peut être considérée comme la superposition d'une infinité de fils infinis parallèles les uns aux autres. Les coordonnées adaptées à ce problème sont les coordonnées cartésiennes.

Fin du théorème

Début d'une démonstration

Démonstration

On cherche à calculer par le théorème d'Ampère le champ magnétique autour de ce plan

Étude des symétries : le plan $(xOy)$ est un plan de symétrie pour la distribution de courant, le champ magnétique lui est donc orthogonal.

Étude des invariances : la nappe de courant étant infinie, il y a invariance par translation dans le plan $(Oy)$ et dans le plan $(Oz)$, le champ ne dépendra donc que de la distance $x$ au plan $(yOz)$.

Donc ${\vec {B}}=B(x){\vec {u}}_{z}$

Contour d'Ampère : on considère un contour rectangulaire fermé constitué de deux segments parallèles à l’axe $(Ox)$ et deux segments de longueur $l$ parallèles à l’axe $(Oz)$ et situés à une distance $x$ et $-x$.

On applique le théorème d'Ampère

${\begin{aligned}\mu _{0}.I_{enlace}&=\oint _{ABCD}{\vec {B}}.\mathrm {d} {\vec {l}}\\&=\underbrace {\int _{A}^{B}{\vec {B}}.\mathrm {d} {\vec {l}}} _{=0}+\int _{B}^{C}{\vec {B}}.\mathrm {d} {\vec {l}}+\underbrace {\int _{C}^{D}{\vec {B}}.\mathrm {d} {\vec {l}}} _{=0}+\int _{D}^{A}{\vec {B}}.\mathrm {d} {\vec {l}}\\&=-B(x)l+B(-x)l\end{aligned}}$.

Il reste à calculer la valeur du courant :

${\begin{aligned}I_{enlace}=\int _{0}^{l}{\vec {j}}_{s}.\mathrm {d} {\vec {l}}=j_{s}l\end{aligned}}$.

On obtient donc :

$-B(x)l+B(-x)l=\mu _{0}j_{s}l$

$-2B(x)=\mu _{0}j_{s}$

$B(x)={\frac {-\mu _{0}j_{s}}{2}}$.

Finalement :$B(x)={\frac {-\mu _{0}j_{s}}{2}}=-{\frac {\mu _{0}}{2}}{\vec {j}}_{s}\wedge {\vec {u}}_{x}$

Fin de la démonstration

Remarque

Le champ est uniforme des deux côtés de la nappe de courant. Si l'on note ${\vec {B}}_{+}={\vec {B}}(x>0)$ et ${\vec {B}}_{-}={\vec {B}}(x<0)$ on peut remarquer que : ${\vec {B}}_{+}-{\vec {B}}_{-}=\mu _{0}j_{s}{\vec {u_{z}}}=\mu _{0}{\vec {j_{s}}}\wedge {\vec {u_{x}}}$