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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Champ magnétique, magnétostatique : Dipôle magnétique Champ magnétique, magnétostatique/Dipôle magnétique », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Définition
Un dipôle magnétique est une boucle de courant dont on considère le champ à grande distance.
Définition
Le
moment magnétique
m
→
{\displaystyle {\vec {\mathfrak {m}}}}
d'une boucle parcourue par un courant
I , de surface
a orientée en accord avec I par un vecteur normal
n
→
{\displaystyle {\vec {n}}}
, est défini par
m
→
=
a
I
n
→
{\displaystyle {\vec {\mathfrak {m}}}=aI{\vec {n}}}
Champ créé à grande distance par un dipôle magnétique
modifier
Début d’un principe
Dispositif
On dispose d'une spire circulaire de centre O , de rayon R , d'axe (Ox) , parcourue par un courant i.
Fin du principe
On veut calculer le champ magnétique créé en un point M à grande distance de la spire :
O
M
→
=
r
u
→
r
{\displaystyle {\overrightarrow {OM}}=r{\vec {u}}_{r}}
r
≫
R
{\displaystyle r\gg R~}
Soit P un point courant de la spire, repéré par l'angle
φ
{\displaystyle \varphi }
entre
u
→
y
{\displaystyle {\vec {u}}_{y}}
et
O
P
→
{\displaystyle {\overrightarrow {OP}}}
. Le champ magnétique créé en M par un élément
d
l
→
{\displaystyle \mathrm {d} {\vec {l}}}
de spire placé en P vaut :
d
B
→
(
M
)
=
μ
0
i
4
π
d
l
→
∧
P
M
→
P
M
3
{\displaystyle \mathrm {d} {\vec {B}}(M)={\frac {\mu _{0}i}{4\pi }}{\frac {\mathrm {d} {\vec {l}}\wedge {\overrightarrow {PM}}}{PM^{3}}}}
.
avec :
d
l
→
=
d
O
P
→
=
d
φ
0
−
R
sin
(
φ
)
R
cos
(
φ
)
{\displaystyle \mathrm {d} {\vec {l}}=\mathrm {d} {\overrightarrow {OP}}=\mathrm {d} \varphi ~{\begin{array}{|l}0\\-R\sin(\varphi )\\R\cos(\varphi )\\\end{array}}}
P
M
→
=
O
M
→
−
O
P
→
=
r
cos
(
θ
)
r
sin
(
θ
)
−
R
cos
(
φ
)
−
R
sin
(
φ
)
{\displaystyle {\overrightarrow {PM}}={\overrightarrow {OM}}-{\overrightarrow {OP}}=~{\begin{array}{|l}r\cos(\theta )\\r\sin(\theta )-R\cos(\varphi )\\-R\sin(\varphi )\\\end{array}}}
P
M
3
=
|
|
P
M
→
|
|
3
=
(
R
2
+
r
2
−
2
r
R
sin
(
θ
)
cos
(
φ
)
)
3
2
{\displaystyle PM^{3}=||{\overrightarrow {PM}}||^{3}=(R^{2}+r^{2}-2rR\sin(\theta )\cos(\varphi ))^{\frac {3}{2}}}
donc
1
P
M
3
=
1
r
3
(
1
−
2
R
r
sin
(
θ
)
cos
(
φ
)
+
R
2
r
2
)
−
3
2
{\displaystyle {\frac {1}{PM^{3}}}={\frac {1}{r^{3}}}\left(1-2{\frac {R}{r}}\sin(\theta )\cos(\varphi )+{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\right)^{-{\frac {3}{2}}}}
En faisant un développement limité à l’ordre 1 en
R
r
{\displaystyle {\frac {R}{r}}}
, on obtient :
1
P
M
3
≈
1
r
3
(
1
+
3
R
r
sin
(
θ
)
cos
(
φ
)
)
{\displaystyle {\frac {1}{PM^{3}}}\approx {\frac {1}{r^{3}}}\left(1+3{\frac {R}{r}}\sin(\theta )\cos(\varphi )\right)}
On calcule le produit vectoriel :
d
l
→
∧
P
M
→
=
d
φ
R
2
sin
2
(
φ
)
+
R
2
cos
2
(
φ
)
−
r
R
cos
(
φ
)
sin
(
θ
)
r
R
cos
(
θ
)
cos
(
φ
)
r
R
cos
(
θ
)
sin
(
φ
)
{\displaystyle \mathrm {d} {\vec {l}}\wedge {\overrightarrow {PM}}=\mathrm {d} \varphi ~{\begin{array}{|l}R^{2}\sin ^{2}(\varphi )+R^{2}\cos ^{2}(\varphi )-rR\cos(\varphi )\sin(\theta )\\rR\cos(\theta )\cos(\varphi )\\rR\cos(\theta )\sin(\varphi )\\\end{array}}}
On reprend l’expression de
d
B
→
(
M
)
{\displaystyle \mathrm {d} {\vec {B}}(M)}
:
d
B
→
(
M
)
=
μ
0
i
d
φ
4
π
r
3
(
1
+
3
R
r
sin
(
θ
)
cos
(
φ
)
)
R
2
sin
2
(
φ
)
+
R
2
cos
2
(
φ
)
−
r
R
cos
(
φ
)
sin
(
θ
)
r
R
cos
(
θ
)
cos
(
φ
)
r
R
cos
(
θ
)
sin
(
φ
)
=
μ
0
i
d
φ
4
π
r
3
(
R
2
−
r
R
cos
(
φ
)
sin
(
θ
)
)
(
1
+
3
R
r
sin
(
θ
)
cos
(
φ
)
)
r
R
cos
(
θ
)
cos
(
φ
)
+
3
R
2
sin
(
θ
)
cos
(
θ
)
cos
2
(
φ
)
r
R
cos
(
θ
)
sin
(
φ
)
+
3
R
2
sin
(
θ
)
cos
(
θ
)
cos
(
φ
)
sin
(
φ
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} {\vec {B}}(M)&={\frac {\mu _{0}i~\mathrm {d} \varphi }{4\pi r^{3}}}\left(1+3{\frac {R}{r}}\sin(\theta )\cos(\varphi )\right)~{\begin{array}{|l}R^{2}\sin ^{2}(\varphi )+R^{2}\cos ^{2}(\varphi )-rR\cos(\varphi )\sin(\theta )\\rR\cos(\theta )\cos(\varphi )\\rR\cos(\theta )\sin(\varphi )\\\end{array}}\\&={\frac {\mu _{0}i~\mathrm {d} \varphi }{4\pi r^{3}}}~{\begin{array}{|l}(R^{2}-rR\cos(\varphi )\sin(\theta ))\left(1+3{\frac {R}{r}}\sin(\theta )\cos(\varphi )\right)\\rR\cos(\theta )\cos(\varphi )+3R^{2}\sin(\theta )\cos(\theta )\cos ^{2}(\varphi )\\rR\cos(\theta )\sin(\varphi )+3R^{2}\sin(\theta )\cos(\theta )\cos(\varphi )\sin(\varphi )\\\end{array}}\end{aligned}}}
Il est maintenant grand temps d'intégrer cette expression pour
φ
{\displaystyle \varphi }
variant entre 0 et
2
π
{\displaystyle 2\pi }
. Sachant que :
∫
0
2
π
cos
(
φ
)
d
φ
=
∫
0
2
π
sin
(
φ
)
d
φ
=
0
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\cos(\varphi )~\mathrm {d} \varphi =\int _{0}^{2\pi }\sin(\varphi )~\mathrm {d} \varphi =0}
∫
0
2
π
cos
(
φ
)
sin
(
φ
)
d
φ
=
0
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\cos(\varphi )\sin(\varphi )~\mathrm {d} \varphi =0}
∫
0
2
π
sin
2
(
φ
)
d
φ
=
∫
0
2
π
cos
2
(
φ
)
d
φ
=
π
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\sin ^{2}(\varphi )~\mathrm {d} \varphi =\int _{0}^{2\pi }\cos ^{2}(\varphi )~\mathrm {d} \varphi =\pi }
Il vient ainsi :
B
→
(
M
)
=
μ
0
i
4
π
r
3
2
π
R
2
−
3
π
R
2
sin
2
(
θ
)
3
π
R
2
sin
(
θ
)
cos
(
θ
)
0
=
μ
0
i
4
π
r
3
π
R
2
2
−
3
sin
2
(
θ
)
3
sin
(
θ
)
cos
(
θ
)
0
=
μ
0
m
4
π
r
3
3
cos
2
(
θ
)
−
1
3
sin
(
θ
)
cos
(
θ
)
0
{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {B}}(M)&={\frac {\mu _{0}i}{4\pi r^{3}}}~{\begin{array}{|l}2\pi R^{2}-3\pi R^{2}\sin ^{2}(\theta )\\3\pi R^{2}\sin(\theta )\cos(\theta )\\0\\\end{array}}\\&={\frac {\mu _{0}i}{4\pi r^{3}}}\pi R^{2}~{\begin{array}{|l}2-3\sin ^{2}(\theta )\\3\sin(\theta )\cos(\theta )\\0\\\end{array}}\\&={\frac {\mu _{0}{\mathfrak {m}}}{4\pi r^{3}}}~{\begin{array}{|l}3\cos ^{2}(\theta )-1\\3\sin(\theta )\cos(\theta )\\0\\\end{array}}\\\end{aligned}}}
Lignes de champ d'un dipôle magnétique
Début d’un théorème
Champ magnétique dipolaire
Dans un repère polaire, le champ magnétique dipolaire créé par une boucle de courant de moment magnétique
m
{\displaystyle {\mathfrak {m}}}
vaut
B
→
(
M
)
=
μ
0
m
4
π
r
3
(
2
cos
(
θ
)
u
→
r
+
sin
(
θ
)
u
→
θ
)
{\displaystyle {\vec {B}}(M)={\frac {\mu _{0}{\mathfrak {m}}}{4\pi r^{3}}}(2\cos(\theta ){\vec {u}}_{r}+\sin(\theta ){\vec {u}}_{\theta })}
Fin du théorème
Remarque
On remarquera la ressemblance importante avec le dipôle électrostatique , tant dans la forme des équations que dans les lignes de champ engendrées.
Magnetostatique
Electrostatique
B
→
(
M
)
=
μ
0
m
4
π
r
3
(
2
cos
(
θ
)
u
→
r
+
sin
(
θ
)
u
→
θ
)
E
→
(
M
)
=
p
4
π
ε
0
r
3
(
2
cos
(
θ
)
u
→
r
+
sin
(
θ
)
u
→
θ
)
μ
0
m
p
ε
0
{\displaystyle {\begin{array}{|c|c|}{\textrm {Magnetostatique}}&{\textrm {Electrostatique}}\\\hline \displaystyle {{\vec {B}}(M)={\frac {\mu _{0}{\mathfrak {m}}}{4\pi r^{3}}}(2\cos(\theta ){\vec {u}}_{r}+\sin(\theta ){\vec {u}}_{\theta })}&\displaystyle {{\vec {E}}(M)={\frac {p}{4\pi \varepsilon _{0}r^{3}}}(2\cos(\theta ){\vec {u}}_{r}+\sin(\theta ){\vec {u}}_{\theta })}\\\hline \mu _{0}{\mathfrak {m}}&\displaystyle {\frac {p}{\varepsilon _{0}}}\\\end{array}}}
Il faut bien garder en tête que cette expression n'est qu'une approximation valable à grande distance du dipôle uniquement.
Efforts exercés sur un dipôle rigide
modifier
On considère un dipôle magnétique disposé dans un champ magnétique extérieur
B
→
{\displaystyle {\vec {B}}}
.
Début d’un théorème
Efforts exercés sur un dipôle dans un champ magnétique extérieur
Fin du théorème