En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Changement de variable en calcul intégral : Intégrales contenant des fonctions trigonométriques Changement de variable en calcul intégral/Intégrales contenant des fonctions trigonométriques », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Nous étudierons d’abord trois cas particuliers auxquels trois changements de variable peuvent être appliqués, déterminés par les règles de Bioche. Nous étudierons ensuite un changement de variable qui fonctionne dans tous les cas mais qui produit généralement des calculs plus compliqués que ceux obtenus à partir des règles de Bioche.
L'intégrale se ramène à l'intégrale d'une fraction rationnelle en à l'aide du changement de variable suivant :
1er cas : Si l’expression reste invariante lorsqu’on remplace par , on pose :
2e cas : Si l’expression reste invariante lorsqu’on remplace par , on pose :
3e cas : Si l’expression reste invariante lorsqu’on remplace par , on pose :
Cas hybride : Si deux des invariances ci-dessus ont lieu alors la troisième aussi, et un meilleur changement de variable est :
Si aucune invariance n'a lieu, le changement de variable approprié est :
L'astuce permettant de se souvenir de ces règles est de se rappeler que le type d’invariance de l’expression est le même que celui de l’expression venant en égalité à .
C’est-à-dire que :
On pose u = cos x lorsque l'expression f(x) dx est, comme cos x, invariante quand on remplace x par –x.
On pose u = sin x lorsque l'expression f(x) dx est, comme sin x, invariante quand on remplace x par π – x.
On pose u = tan x lorsque l'expression f(x) dx est, comme tan x, invariante quand on remplace x par x + π.
Nous allons donner un exemple pour chacun des trois cas.
Exemple pour le premier cas.
Calculer :
.
La fonction f : x ↦ (tan x)/(1 + cos x) est impaire (car tan est impaire et cos est paire), donc f(x) dx est paire car
.
On utilise donc le changement de variable u = cos x. Soit
et
.
On a alors :
.
L'intégrande impliquant des fonctions trigonométriques a été réduit à une fraction rationnelle, qui peut être intégrée en utilisant la décomposition en éléments simples :
Exemple pour le deuxième cas.
Calculer :
.
On a :
.
On pose donc .
Soit
et
.
Il faut faire disparaître le cos x du dénominateur. On y arrive ainsi :
Quand les règles de Bioche ne s’appliquent pas, on peut recourir à un changement de variable qui marche dans tous les cas. Mais attention, si les règles de Bioche s’appliquent, elles donnent généralement un calcul plus simple. Par conséquent, il faut éviter de se contenter de ce changement de variable sous prétexte qu’il marche dans tous les cas.
On pose
.
On a alors :
et toutes les fonctions trigonométriques disparaissent de l’intégrale.