Changement de variable en calcul intégral/Intégrales contenant des fonctions trigonométriques

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Plusieurs changements de variable sont envisageables selon la fonction rationnelle trigonométrique.

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Nous étudierons d’abord trois cas particuliers dans lesquels trois changements de variable peuvent être appliqués et déterminés par les règles de Bioche. Nous étudierons ensuite le changement de variable général appliqué aux trois fonctions trigonométriques circulaires.

Trigonométrie circulaire

Fonctions rationnelles en sinus, cosinus et tangente

Méthode particulière (règles de Bioche)

Soit $f(x)$ une fraction rationnelle en $\cos(x)$, $\sin(x)$ et $\tan(x)$. L'intégrale $\int _{\alpha }^{\beta }f(x)\ \mathrm {d} x$ se ramène à l'intégrale d'une fraction rationnelle en $u$ à l'aide du changement de variable suivant : 1er cas : Si l’expression $f(x)dx$ reste invariante lorsqu’on remplace $x$ par $-x$, on pose : $u=\cos(x)$ 2e cas : Si l’expression $f(x)dx$ reste invariante lorsqu’on remplace $x$ par $\pi -x$, on pose : $u=\sin(x)$ 3e cas : Si l’expression $f(x)dx$ reste invariante lorsqu’on remplace $x$ par $x+\pi$, on pose : $u=\tan(x)$ Cas hybride : Si deux des invariances ci-dessus ont lieu alors la troisième aussi, et un meilleur changement de variable est : $u=\cos(2x)$ Si aucune invariance n'a lieu, le changement de variable approprié est : $u=\tan \left({x \over 2}\right)$

Cas général

La méthode générale du changement de variable de fonctions rationnelles trigonométriques est décrite ci-dessous.

On pose :

• $u=\tan \left({\frac {x}{2}}\right)$
• $x=2\arctan(u)$

On a alors :

$\cos(x)={\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\qquad \qquad \sin(x)={\frac {2u}{1+u^{2}}}\qquad \qquad \tan(x)={\frac {2u}{1-u^{2}}}\qquad \qquad \mathrm {d} x={\frac {2\ \mathrm {d} u}{1+u^{2}}}$

Les conditions à respecter sont :

• $u\in \mathbb {R}$
• $-\pi <x<\pi$

La forme générale d'une fonction rationnelle en sinus, cosinus et tangente est la suivante :

$f(x)=R(\sin(x),\cos(x),\tan(x))$

La forme générale de l'intégrale indéfinie d'une fonction rationnelle en sinus, cosinus et tangente est :

$\int {R(\sin(x),\cos(x),\tan(x))dx}$

En appliquant la méthode générale du changement de variable de la fonction rationnelle, l'expression de l'intégrale indéfinie de la fonction $f$est :

$\int {R\left(\sin(x),\cos(x),\tan(x)\right)dx}=\int {f}\left({\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}},{\frac {2u}{1+u^{2}}},{\frac {2u}{1-u^{2}}}\right){\frac {2du}{1+u^{2}}}$

Fonctions polynômes en sinus et cosinus

Première forme : produit de fonctions trigonométriques élevées à des puissances entières

La forme générale d'un produit de fonctions trigonométriques élevées à des puissances entières est la suivante :

$f(x)=P(\sin(x),\cos(x))=\sin ^{p}(x)\cos ^{q}(x)$

La condition à respecter est :

• Les constantes $p$ et $q$ doivent être des nombres entiers supérieurs ou égaux à 0.

L'intégrale indéfinie de la fonction $f$ s'écrit sous la forme : $F(x)=\int {P(\sin(x),\cos(x))dx}=\int {\sin ^{p}(x)\cos ^{q}(x)dx}$

Le changement de variable à appliquer est décrit par les conditions suivantes :

• Si $p$ est impaire, alors on pose $u=\cos(x)$
• Si $q$ est impaire, alors on pose $u=\sin(x)$
• Si $p$ et $q$ sont toutes les deux impaires, alors on a le choix entre 3 solutions de changement de variable :
  • $u=\cos(x)$
  • $u=\sin(x)$
  • $u=\cos(2x)$
• Si $p$ et $q$ sont toutes les deux paires, alors il faut linéariser l'expression avant de calculer son intégrale

Deuxième forme : produit de fonctions trigonométriques composées de fonctions linéaires

Les différentes formes d'un produit de fonctions trigonométriques composées de fonctions linéaires sont les suivantes :

• $f(x)=\cos(px)\sin(qx)$
• $f(x)=\cos(px)\cos(qx)$
• $f(x)=\sin(px)\sin(qx)$

La condition à respecter est :

• Les constantes $p$ et $q$ doivent être des nombres réels.

La méthode à appliquer pour calculer l'intégrale de ces fonctions est la linéarisation : transformer un produit de fonctions trigonométriques en une somme de fonctions trigonométriques.

Rappels :

• $\cos(p)\sin(q)={1 \over 2}[\sin(p+q)+\sin(q-p)]$
• $\cos(p)\cos(q)={1 \over 2}[\cos(p+q)+\cos(p-q)]$
• $\sin(p)\sin(q)={1 \over 2}[\cos(p-q)-\cos(p+q)]$

Trigonométrie hyperbolique

Fonctions rationnelles en sinus, cosinus et tangente hyperboliques

Méthode particulière (principe des règles de Bioche)

Soit $f(x)=R(\sinh(x),\cosh(x),\tanh(x))$ une fraction rationnelle en $\cosh(x)$, $\sinh(x)$ et $\tanh(x)$. L'intégrale :$\int _{\alpha }^{\beta }f(x)\ \mathrm {d} x$ se ramène à l'intégrale d'une fraction rationnelle en $u$ à l'aide du changement de variable suivant : 1er cas : Si $R(-u,v)=-R(u,v)$, on pose : $u=\cosh(x)$ 2e cas : Si $R(u,-v)=-R(u,v)$, on pose : $u=\sinh(x)$ 3e cas : Si $R(-u,-v)=R(u,v)$, on pose : $u=\tanh(x)$

Cas général

La méthode générale du changement de variable de fonctions rationnelles trigonométriques hyperboliques est décrite ci-dessous.

On pose :

• $u=\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)$
• $x=2\operatorname {argth} (u)$

On a alors :

$\cosh(x)={\frac {1+u^{2}}{1-u^{2}}}\qquad \qquad \sinh(x)={\frac {2u}{1-u^{2}}}\qquad \qquad \tanh(x)={\frac {2u}{1+u^{2}}}\qquad \qquad \mathrm {d} x={\frac {2\ \mathrm {d} u}{1-u^{2}}}$

La forme générale d'une fonction rationnelle en sinus, cosinus et tangente hyperboliques est la suivante : $f(x)=R(\sinh(x),\cosh(x),\tanh(x))$

La forme générale de l'intégrale indéfinie d'une fonction rationnelle en sinus, cosinus et tangente hyperboliques est :

$\int {R(\sinh(x),\cosh(x),\tanh(x))dx}$

En appliquant la méthode générale du changement de variable de la fonction rationnelle, l'expression de l'intégrale indéfinie de la fonction $f$est : $\int {R\left(\sinh(x),\cosh(x),\tanh(x)\right)dx}=\int {f}\left({\frac {1+u^{2}}{1-u^{2}}},{\frac {2u}{1-u^{2}}},{\frac {2u}{1+u^{2}}}\right){\frac {2du}{1-u^{2}}}$

Fonctions polynômes en sinus et cosinus hyperboliques

La forme générale d'une fonction polynôme en sinus et cosinus hyperboliques est la suivante :

$f(x)=P(\sinh(x),\cosh(x))=\sinh ^{p}(x)\cosh ^{q}(x)$

La condition à respecter est :

• Les constantes $p$ et $q$ doivent être des nombres entiers supérieurs ou égaux à 0.

L'intégrale indéfinie de la fonction $f$ s'écrit sous la forme : $F(x)=\int {P(\sinh(x),\cosh(x))dx}=\int {\sinh ^{p}(x)\cosh ^{q}(x)dx}$

Le changement de variable à privilégier et permettant de calculer l'intégrale d'une fonction polynôme en sinus et cosinus hyperboliques est le suivant : $u=\exp(x)$

Rappels :

• $\sinh(x)={e^{x}-e^{-x} \over 2}$
• $\cosh(x)={e^{x}+e^{-x} \over 2}$