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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Changement de variable en calcul intégral : Intégrale contenant deux racines carrées de polynômes du premier degré Changement de variable en calcul intégral/Intégrale contenant deux racines carrées de polynômes du premier degré », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Intégrales de fonctions de la forme :
∫
α
β
f
(
x
,
x
+
a
,
b
−
x
)
d
x
a
+
b
>
0
{\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f\left(x,\,{\sqrt {x+a}},\,{\sqrt {b-x}}\right)\,\mathrm {d} x\qquad a+b>0}
On pose :
x
=
b
−
a
2
−
b
+
a
2
cos
(
2
θ
)
{\displaystyle x={\frac {b-a}{2}}-{\frac {b+a}{2}}\cos(2\theta )}
On a alors :
x
+
a
=
(
a
+
b
)
sin
2
θ
b
−
x
=
(
a
+
b
)
cos
2
θ
{\displaystyle x+a=(a+b)\sin ^{2}\theta \qquad b-x=(a+b)\cos ^{2}\theta }
Intégrales de fonctions de la forme :
∫
α
β
f
(
x
,
x
+
a
,
x
+
b
)
d
x
a
>
b
{\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f\left(x,\,{\sqrt {x+a}},\,{\sqrt {x+b}}\right)\,\mathrm {d} x\qquad a>b}
On pose :
x
=
a
−
b
2
cosh
(
2
θ
)
−
a
+
b
2
{\displaystyle x={\frac {a-b}{2}}\cosh(2\theta )-{\frac {a+b}{2}}}
On a alors :
x
+
a
=
(
a
−
b
)
cosh
2
θ
x
+
b
=
(
a
−
b
)
sinh
2
θ
{\displaystyle x+a=(a-b)\cosh ^{2}\theta \qquad x+b=(a-b)\sinh ^{2}\theta }
Intégrales de fonctions de la forme :
∫
α
β
f
(
x
,
a
−
x
,
b
−
x
)
d
x
a
>
b
{\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f\left(x,\,{\sqrt {a-x}},\,{\sqrt {b-x}}\right)\,\mathrm {d} x\qquad a>b}
On pose :
x
=
b
−
a
2
cosh
(
2
θ
)
+
b
+
a
2
{\displaystyle x={\frac {b-a}{2}}\cosh(2\theta )+{\frac {b+a}{2}}}
On a alors :
a
−
x
=
(
a
−
b
)
cosh
2
θ
b
−
x
=
(
a
−
b
)
sinh
2
θ
{\displaystyle a-x=(a-b)\cosh ^{2}\theta \qquad b-x=(a-b)\sinh ^{2}\theta }