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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Changement de variable en calcul intégral : Intégrale contenant deux racines carrées de polynômes du premier degré Changement de variable en calcul intégral/Intégrale contenant deux racines carrées de polynômes du premier degré », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Intégrales de fonctions de la forme :
∫
α
β
f
(
x
,
x
+
a
,
b
−
x
)
d
x
a
+
b
>
0
{\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f\left(x,\,{\sqrt {x+a}},\,{\sqrt {b-x}}\right)\,\mathrm {d} x\qquad a+b>0}
On pose :
x
=
b
−
a
2
−
b
+
a
2
cos
(
2
θ
)
{\displaystyle x={\frac {b-a}{2}}-{\frac {b+a}{2}}\cos(2\theta )}
On a alors :
x
+
a
=
(
a
+
b
)
sin
2
θ
b
−
x
=
(
a
+
b
)
cos
2
θ
{\displaystyle x+a=(a+b)\sin ^{2}\theta \qquad b-x=(a+b)\cos ^{2}\theta }
Début de l'exemple
Exemple
Calculer :
∫
0
1
d
x
x
+
1
+
3
−
x
−
2
{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{{\sqrt {x+1}}+{\sqrt {3-x}}-2}}}
On pose :
x
=
3
−
1
2
−
3
+
1
2
cos
(
2
θ
)
=
1
−
2
cos
(
2
θ
)
d
x
=
4
sin
(
2
θ
)
d
θ
{\displaystyle x={\frac {3-1}{2}}-{\frac {3+1}{2}}\cos(2\theta )=1-2\cos(2\theta )\qquad \mathrm {d} x=4\sin(2\theta )\,\mathrm {d} \theta }
On a donc :
∫
0
1
d
x
x
+
1
+
3
−
x
−
2
=
∫
π
6
π
4
4
sin
(
2
θ
)
d
θ
2
−
2
cos
(
2
θ
)
+
2
+
2
cos
(
2
θ
)
−
2
=
∫
π
6
π
4
4
sin
(
2
θ
)
d
θ
4
sin
2
θ
+
4
cos
2
θ
−
2
=
∫
π
6
π
4
2
sin
(
2
θ
)
d
θ
sin
θ
+
cos
θ
−
1
=
2
∫
π
6
π
4
sin
(
2
θ
)
d
θ
2
sin
(
θ
+
π
4
)
−
1
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{{\sqrt {x+1}}+{\sqrt {3-x}}-2}}&=\int _{\frac {\pi }{6}}^{\frac {\pi }{4}}{\frac {4\sin(2\theta )\,\mathrm {d} \theta }{{\sqrt {2-2\cos(2\theta )}}+{\sqrt {2+2\cos(2\theta )}}-2}}\\&=\int _{\frac {\pi }{6}}^{\frac {\pi }{4}}{\frac {4\sin(2\theta )\,\mathrm {d} \theta }{{\sqrt {4\sin ^{2}\theta }}+{\sqrt {4\cos ^{2}\theta }}-2}}\\&=\int _{\frac {\pi }{6}}^{\frac {\pi }{4}}{\frac {2\sin(2\theta )\,\mathrm {d} \theta }{\sin \theta +\cos \theta -1}}=2\int _{\frac {\pi }{6}}^{\frac {\pi }{4}}{\frac {\sin(2\theta )\,\mathrm {d} \theta }{{\sqrt {2}}\sin \left(\theta +{\frac {\pi }{4}}\right)-1}}.\end{aligned}}}
Posons :
y
=
θ
+
π
4
{\displaystyle y=\theta +{\frac {\pi }{4}}}
On obtient alors :
sin
(
2
θ
)
=
sin
(
2
y
−
π
2
)
=
−
cos
(
2
y
)
=
2
sin
2
y
−
1
=
(
2
sin
y
−
1
)
(
2
sin
y
+
1
)
{\displaystyle \sin(2\theta )=\sin \left(2y-{\frac {\pi }{2}}\right)=-\cos(2y)=2\sin ^{2}y-1=\left({\sqrt {2}}\sin y-1\right)\left({\sqrt {2}}\sin y+1\right)}
donc
∫
0
1
d
x
x
+
1
+
3
−
x
−
2
=
2
∫
5
π
12
π
2
(
1
+
2
sin
y
)
d
y
=
2
[
y
−
2
cos
y
]
5
π
12
π
2
=
2
(
π
2
−
5
π
12
−
2
cos
π
2
+
2
cos
5
π
12
)
=
π
−
5
π
6
−
0
+
2
2
3
−
1
2
2
=
π
6
+
3
−
1.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{{\sqrt {x+1}}+{\sqrt {3-x}}-2}}&=2\int _{\frac {5\pi }{12}}^{\frac {\pi }{2}}\left(1+{\sqrt {2}}\sin y\right)\,\mathrm {d} y=2\left[y-{\sqrt {2}}\cos y\right]_{\frac {5\pi }{12}}^{\frac {\pi }{2}}\\&=2\left({\frac {\pi }{2}}-{\frac {5\pi }{12}}-{\sqrt {2}}\cos {\frac {\pi }{2}}+{\sqrt {2}}\cos {\frac {5\pi }{12}}\right)\\&=\pi -{\frac {5\pi }{6}}-0+2{\sqrt {2}}\,{\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\\&={\frac {\pi }{6}}+{\sqrt {3}}-1.\end{aligned}}}
Fin de l'exemple
Dans cet exemple, les calculs se sont effectués avec une déconcertante facilité. Toutefois, comme le changement de variable étudié fait apparaître des fonctions trigonométriques, il pourra éventuellement être nécessaire de faire appel aux techniques du chapitre sur les changements de variables dans les expressions trigonométriques.
Intégrales de fonctions de la forme :
∫
α
β
f
(
x
,
x
+
a
,
x
+
b
)
d
x
a
>
b
{\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f\left(x,\,{\sqrt {x+a}},\,{\sqrt {x+b}}\right)\,\mathrm {d} x\qquad a>b}
On pose :
x
=
a
−
b
2
cosh
(
2
θ
)
−
a
+
b
2
{\displaystyle x={\frac {a-b}{2}}\cosh(2\theta )-{\frac {a+b}{2}}}
On a alors :
x
+
a
=
(
a
−
b
)
cosh
2
θ
x
+
b
=
(
a
−
b
)
sinh
2
θ
{\displaystyle x+a=(a-b)\cosh ^{2}\theta \qquad x+b=(a-b)\sinh ^{2}\theta }
Intégrales de fonctions de la forme :
∫
α
β
f
(
x
,
a
−
x
,
b
−
x
)
d
x
a
>
b
{\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f\left(x,\,{\sqrt {a-x}},\,{\sqrt {b-x}}\right)\,\mathrm {d} x\qquad a>b}
On pose :
x
=
b
−
a
2
cosh
(
2
θ
)
+
b
+
a
2
{\displaystyle x={\frac {b-a}{2}}\cosh(2\theta )+{\frac {b+a}{2}}}
On a alors :
a
−
x
=
(
a
−
b
)
cosh
2
θ
b
−
x
=
(
a
−
b
)
sinh
2
θ
{\displaystyle a-x=(a-b)\cosh ^{2}\theta \qquad b-x=(a-b)\sinh ^{2}\theta }
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{{\sqrt {x+1}}+{\sqrt {3-x}}-2}}&=2\int _{\frac {5\pi }{12}}^{\frac {\pi }{2}}\left(1+{\sqrt {2}}\sin y\right)\,\mathrm {d} y=2\left[y-{\sqrt {2}}\cos y\right]_{\frac {5\pi }{12}}^{\frac {\pi }{2}}\\&=2\left({\frac {\pi }{2}}-{\frac {5\pi }{12}}-{\sqrt {2}}\cos {\frac {\pi }{2}}+{\sqrt {2}}\cos {\frac {5\pi }{12}}\right)\\&=\pi -{\frac {5\pi }{6}}-0+2{\sqrt {2}}\,{\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\\&={\frac {\pi }{6}}+{\sqrt {3}}-1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/070a4feece19264c146100a8192118bd7c31729a)
