Cinématique des fluides/Description du mouvement

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La cinématique des fluides regroupe les méthodes qui permettent la description du mouvement du fluide sans se préoccuper des causes du mouvement. En mécanique des fluides, et plus généralement en mécanique des milieux continus, on distingue deux descriptions distinctes :

• la description lagrangienne ; elle est souvent difficile à mettre en œuvre en mécanique des fluides et est généralement réservée à l'étude des solides peu déformables ;
• la description eulérienne est souvent la description choisie en mécanique des fluides.

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Faites ces exercices : Comparaison Euler - Lagrange.

Champ des vitesses

Prenons l'exemple d'une course de Formule 1. On peut assimiler un fluide à un ensemble de voitures qui se suivent, une seule voiture constituant une particule fluide. La configuration initiale serait la situation au départ de la course ; la configuration actuelle serait la situation à un instant donné de la course.

Il faut décrire toute la course, décrire le mouvement de toutes les voitures. Pour cela, deux solutions sont possibles. Soit on met une caméra sur chaque voiture (approche lagrangienne), soit on pose des caméras régulièrement le long de la piste (approche eulérienne). Si on a besoin d’identifier la voiture, dans le premier cas, on sait que la caméra x est sur la voiture qui est partie en xième position (mouvement rigide, approche lagrangienne). Dans le deuxième cas, il suffit de chercher devant quelle caméra passe la voiture (mouvement fluide, approche eulérienne).

Description lagrangienne

Position

Dans le cadre de la description lagrangienne, on suit donc une particule fluide dans son mouvement et on regarde sa position à un instant $t$. La particule est identifiée par sa position initiale située au point $M_{0}$ à l'instant $t=0$. ${\overrightarrow {r_{0}}}$ est le vecteur position initiale, il ne dépend pas du temps :

${\overrightarrow {r_{0}}}={\overrightarrow {OM_{0}}}={\begin{pmatrix}x_{0}\\y_{0}\\z_{0}\end{pmatrix}}$.

On cherche à définir toutes les positions de toutes les particules à chaque instant $t$ matérialisées par le point $M$.

Les inconnues de Lagrange sont les coordonnées, à l'instant $t$, de la position

${\overrightarrow {r}}({\overrightarrow {r_{0}}},t)={\overrightarrow {OM}}={\begin{pmatrix}x({\overrightarrow {r_{0}}},t)\\y({\overrightarrow {r_{0}}},t)\\z({\overrightarrow {r_{0}}},t)\end{pmatrix}}$,

plus simplement notée

${\overrightarrow {r}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$.

Les coordonnées de Lagrange sont le vecteur position initiale ${\overrightarrow {r_{0}}}$ et le temps $t$ : la seule variable est donc le temps, les dérivées partielles ou totales sont ainsi identiques (les dérivées partielles n'ont pas vraiment de sens).

Trajectoire

La trajectoire de la particule fluide est directement fournie par la fonction ${\overrightarrow {r}}({\overrightarrow {r_{0}}},t)$.

Vitesse

Par définition, la vitesse instantanée de la particule fluide est le rapport de la distance parcourue sur la durée lorsque cette durée tend vers 0. Autrement dit, la vitesse est la dérivée de la position.

${\overrightarrow {v}}({\overrightarrow {r}}_{0},t)={\underset {\delta t\rightarrow 0}{\mathrm {lim} }}{\frac {{\overrightarrow {r}}({\overrightarrow {r}}_{0},t+\delta t)-{\overrightarrow {r}}({\overrightarrow {r}}_{0},t)}{\delta t}}={\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {r}}}{\mathrm {d} t}}({\overrightarrow {r}}_{0},t)$

${\overrightarrow {v}}({\overrightarrow {r}}_{0},t)={\begin{pmatrix}{\underset {\delta t\rightarrow 0}{\mathrm {lim} }}{\frac {x({\overrightarrow {r}}_{0},t+\delta t)-x({\overrightarrow {r}}_{0},t)}{\delta t}}\\{\underset {\delta t\rightarrow 0}{\mathrm {lim} }}{\frac {y({\overrightarrow {r}}_{0},t+\delta t)-y({\overrightarrow {r}}_{0},t)}{\delta t}}\\{\underset {\delta t\rightarrow 0}{\mathrm {lim} }}{\frac {z({\overrightarrow {r}}_{0},t+\delta t)-z({\overrightarrow {r}}_{0},t)}{\delta t}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}({\overrightarrow {r}}_{0},t)\\{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}({\overrightarrow {r}}_{0},t)\\{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}({\overrightarrow {r}}_{0},t)\end{pmatrix}}$

Le champ des vitesses lagrangiennes est l'ensemble des vitesses pour les différents points de départ ${\overrightarrow {r_{0}}}$ et à chaque instant $t$. Par commodité, les coordonnées seront implicites et on écrira :

${\overrightarrow {v}}={\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {r}}}{\mathrm {d} t}}={\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\\{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\\{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}\end{pmatrix}}$.

Accélération

Par définition, l'accélération instantanée est le rapport de la variation de vitesse sur la durée étudiée lorsque cette durée tend vers 0. Autrement dit, l'accélération est la dérivée de la vitesse et donc la dérivée seconde de la position.

${\overrightarrow {a}}({\overrightarrow {r}}_{0},t)={\underset {\delta t\rightarrow 0}{\mathrm {lim} }}{\frac {{\overrightarrow {v}}({\overrightarrow {r}}_{0},t+\delta t)-{\overrightarrow {v}}({\overrightarrow {r}}_{0},t)}{\delta t}}={\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {v}}}{\mathrm {d} t}}({\overrightarrow {r}}_{0},t)$

${\overrightarrow {a}}={\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {v}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}{\overrightarrow {r}}}{\mathrm {d} t^{2}}}={\begin{pmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\mathrm {d} v_{x}}{\mathrm {d} t}}\\{\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}\\{\frac {\mathrm {d} v_{z}}{\mathrm {d} t}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}\\{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} t^{2}}}\\{\frac {\mathrm {d} ^{2}z}{\mathrm {d} t^{2}}}\end{pmatrix}}$.

Les rapports des différentielles – aussi nommé dérivée totale – sur celle du temps sont égaux aux dérivées partielles par rapport au temps car la position dépend que du temps et de la position initiale.

De manière générale, la méthode de Lagrange est peu employée pour la résolution analytique de problèmes de mécanique des fluides car elle s'avère souvent plus difficile à mettre en œuvre.

Description eulérienne

Plus pratique, cette approche est très utilisée en mécanique des fluides, ainsi qu'en mécanique des milieux continus pour de grandes déformations. Pour une position donnée, on observe ce qui rentre et ce qui sort à chaque instant.

Position

La position de la particule fluide étudiée est caractérisée par ses coordonnées dans le système de coordonnées utilisées. Par exemple, en coordonnées cartésiennes :

${\overrightarrow {r}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$.

Vitesse

La définition de la vitesse est la même que précédemment. Pour déterminer la vitesse, il faut tout de même suivre la particule pendant une durée $\delta t$ qui tend vers 0. Sa position initiale est la position ${\overrightarrow {r}}$ à un instant $t$. Sa position finale est ${\overrightarrow {r}}+\delta {\overrightarrow {r}}$ légèrement décalée de $\delta {\overrightarrow {r}}$, distance parcourue pendant la durée $\delta t$. Ces distances et durée étant infinitésimales, on les note comme des différentielles.

${\overrightarrow {v}}({\overrightarrow {r}},t)={\underset {\delta t\rightarrow 0}{\mathrm {lim} }}{\frac {{\overrightarrow {r}}(t+\delta t)-{\overrightarrow {r}}(t)}{\delta t}}={\underset {\delta t\rightarrow 0}{\mathrm {lim} }}{\frac {\delta {\overrightarrow {r}}}{\delta t}}={\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {r}}}{\mathrm {d} t}}$

${\overrightarrow {v}}({\overrightarrow {r}},t)={\begin{pmatrix}v_{x}({\overrightarrow {r}},t)\\v_{y}({\overrightarrow {r}},t)\\v_{z}({\overrightarrow {r}},t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}({\overrightarrow {r}},t)\\{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}({\overrightarrow {r}},t)\\{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}({\overrightarrow {r}},t)\end{pmatrix}}$

Les inconnues d'Euler sont les vitesses des particules pour l’ensemble des points $M$ :

${\overrightarrow {v}}={\overrightarrow {v}}({\overrightarrow {r}},t)={\begin{pmatrix}v_{x}({\overrightarrow {r}},t)\\v_{y}({\overrightarrow {r}},t)\\v_{z}({\overrightarrow {r}},t)\end{pmatrix}}$.

Par la suite, on pourra utiliser la notation suivante (variables implicites) : ${\overrightarrow {v}}={\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {r}}}{\mathrm {d} t}}$, en posant $\mathrm {d} x=v_{x}\,\mathrm {d} t$, $\mathrm {d} y=v_{y}\,\mathrm {d} t$ et $\mathrm {d} z=v_{z}\,\mathrm {d} t$.

Trajectoire

Il faudra intégrer la vitesse sur l'intervalle de temps considéré pour obtenir la trajectoire de la particule.

Accélération

Tout comme pour l'étude de la vitesse, pour connaître l'accélération, il faut suivre la particule fluide pendant une durée $\delta t$ qui tend vers 0 afin d'exprimer la variation de sa vitesse. Entre les deux instants d'observation, en plus de la vitesse, la position change, ce qui complique un petit peu l'expression.

${\overrightarrow {a}}({\overrightarrow {r}},t)={\underset {\delta t\rightarrow 0}{\mathrm {lim} }}{\frac {{\overrightarrow {v}}({\overrightarrow {r}}+\delta {\overrightarrow {r}},t+\delta t)-{\overrightarrow {v}}({\overrightarrow {r}},t)}{\delta t}}$

La vitesse étant une fonction à plusieurs variables, elles-mêmes toutes fonction du temps, cette expression est celle d'une dérivée particulaire (cas particulier de dérivée totale). Elle permet de tenir compte non seulement de la variation locale de la vitesse au cours du temps mais aussi de la variation de celle-ci liée au déplacement de la particule. Cette notion sera développée au chapitre n°5.

${\overrightarrow {a}}({\overrightarrow {r}},t)={\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {v}}}{\mathrm {d} t}}({\overrightarrow {r}},t)$

L'accélération peut alors s'exprimer, en rendant les variables implicites :

${\begin{alignedat}{2}{\overrightarrow {a}}\ &={\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {v}}}{\mathrm {d} t}}\\&={\frac {\partial {\overrightarrow {v}}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\overrightarrow {v}}}{\partial x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial {\overrightarrow {v}}}{\partial y}}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial {\overrightarrow {v}}}{\partial z}}{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}\\&={\frac {\partial {\overrightarrow {v}}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\overrightarrow {v}}}{\partial x}}v_{x}+{\frac {\partial {\overrightarrow {v}}}{\partial y}}v_{y}+{\frac {\partial {\overrightarrow {v}}}{\partial z}}v_{z}\\&={\frac {\partial {\overrightarrow {v}}}{\partial t}}+({\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}){\overrightarrow {v}}\\&={\frac {\partial {\overrightarrow {v}}}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\overrightarrow {\nabla }}v^{2}+({\overrightarrow {\nabla }}\wedge {\overrightarrow {v}})\wedge {\overrightarrow {v}}.\\\end{alignedat}}$