Cinématique des fluides/Dérivée particulaire

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La notion de dérivée particulaire, parfois nommée dérivée convective, introduite au chapitre n°2 pour exprimer l'accélération, peut être étendue à plusieurs autres grandeurs caractéristiques du fluide en mouvement. Il existe plusieurs façons de l’utiliser et de l'exprimer. Le tableau ci-dessous rassemble les résultats détaillés plus bas. Cet outil permettra d'établir les équations fondamentales de la mécanique des fluides découlant des principes de conservation de la masse, de conservation de la quantité de mouvement et de conservation de l'énergie.

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	Grandeur scalaire	Grandeur vectorielle
Dérivée particulaire	${\frac {\mathrm {d} \kappa }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial \kappa }{\partial t}}+({\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }})\kappa$	${\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {\psi }}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial {\overrightarrow {\psi }}}{\partial t}}+({\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }})\,{\overrightarrow {\psi }}$
Dérivée particulaire d'une intégrale de volume	${\begin{alignedat}{2}{\frac {\mathrm {d} \mathrm {K} }{\mathrm {d} t}}\ &=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\left({\frac {\partial \kappa }{\partial t}}+{\overrightarrow {\nabla }}\cdot \left(\kappa ~{\overrightarrow {v}}\right)\right)\mathrm {d} V\\&=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\left({\frac {\mathrm {d} \kappa }{\mathrm {d} t}}+\kappa \ {\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {v}}\right)\mathrm {d} V\\\end{alignedat}}$	${\begin{alignedat}{2}{\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {\Psi }}}{\mathrm {d} t}}&=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\left({\frac {\partial {\overrightarrow {\psi }}}{\partial t}}+{\overrightarrow {\mathrm {div} }}\left({\overrightarrow {\psi }}\otimes {\vec {v}}\right)\right)\mathrm {d} V\\&=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\left({\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {\psi }}}{\mathrm {d} t}}+{\overrightarrow {\psi }}\left({\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {v}}\right)\right)\mathrm {d} V\\\end{alignedat}}$

Grandeur scalaire

Dérivée particulaire

Pour toute variable d'Euler à valeur scalaire la différentielle totale d'une fonction $\kappa =\kappa ({\vec {r}},t)$ peut se détailler de la façon suivante :

$\mathrm {d} \kappa ={\frac {\partial \kappa }{\partial t}}~\mathrm {d} t+{\frac {\partial \kappa }{\partial x}}~\mathrm {d} x+{\frac {\partial \kappa }{\partial y}}~\mathrm {d} y+{\frac {\partial \kappa }{\partial z}}~\mathrm {d} z$.

La dérivée particulaire est la dérivée totale de la fonction par rapport au temps. Elle est définie par ː

${\frac {\mathrm {d} \kappa }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial \kappa }{\partial t}}+{\frac {\partial \kappa }{\partial x}}~{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial \kappa }{\partial y}}~{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial \kappa }{\partial z}}~{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}$.

Cet outil est utilisé dès lors que l'on choisi d'utiliser une description eulérienne. Dans ce cas,

${\overrightarrow {v}}({\overrightarrow {r}},t)={\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\\{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\\{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}\end{pmatrix}}$.

La dérivée particulaire s'exprime alors ː

${\frac {\mathrm {d} \kappa }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial \kappa }{\partial t}}+v_{x}{\frac {\partial \kappa }{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial \kappa }{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial \kappa }{\partial z}}$.

Elle s'écrit de façon condensée comme suit.

${\frac {\mathrm {d} \kappa }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial \kappa }{\partial t}}+({\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }})\kappa$

• La partie en ${\frac {\partial }{\partial t}}$ représente la variation locale de la grandeur.
• ${\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}$ est l'opérateur advection ː $\ ({\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }})\kappa =v_{x}{\frac {\partial \kappa }{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial \kappa }{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial \kappa }{\partial z}}$. Cette partie de l'expression représente la contribution advective ou convective, c'est-à-dire la variation de la grandeur due au déplacement du fluide.

Dérivée particulaire d'une intégrale de volume

On étudie une grandeur scalaire $\mathrm {K}$ de densité volumique $\kappa ={\frac {\mathrm {d} \mathrm {K} }{\mathrm {d} V}}$.

Il pourrait s'agir par exemple :

• de la masse afin d'appliquer le principe de conservation de la masse à un volume de fluide ;
• de l'énergie afin d'appliquer le principe de conservation de l'énergie à un volume de fluide.

Première expression : théorème de transport de Reynolds

Pour un volume de contrôle $V$ de surface frontière $S$, la valeur totale prise par la grandeur est donnée par

$\mathrm {K} =\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\kappa ~\mathrm {d} V$.

où $\mathrm {d} V$ est un élément de volume de fluide se déplaçant à la vitesse ${\overrightarrow {v}}$.

La variation de la grandeur $\mathrm {K}$ dans le temps tient compte ː

• La variation de la grandeur $\kappa$ dans le temps,
• de la variation par convection ː flux entrant et sortant du volume.

${\frac {\mathrm {d} \mathrm {K} }{\mathrm {d} t}}=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}{\frac {\partial \kappa }{\partial t}}~\mathrm {d} V+\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}\kappa ~{\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {d} S}}$

Cette expression est nommée théorème de transport de Reynolds.

Démonstration

Illustration et notations utilisées

À l'instant $t$, le volume de contrôle est noté $V$. Le mouvement du fluide entraîne ce volume vers le volume $V'$ à l'instant $t+\delta t$.

$\mathrm {K} (t)=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\kappa ({\vec {r}},t)~\mathrm {d} V$

${\frac {\mathrm {d} \mathrm {K} }{\mathrm {d} t}}=\lim _{\delta t\to 0}\left[{\frac {\int _{V'}\kappa ({\vec {r}},t+\delta t)~\mathrm {d} V-\int _{V}\kappa ({\vec {r}},t)~\mathrm {d} V}{\delta t}}\right]$

${\frac {\mathrm {d} \mathrm {K} }{\mathrm {d} t}}=\lim _{\delta t\to 0}{\frac {1}{\delta t}}\left[\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{\delta V_{3}}\kappa ({\vec {r}},t+\delta t)~\mathrm {d} V+\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V_{2}}\kappa ({\vec {r}},t+\delta t)~\mathrm {d} V-\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V_{2}}\kappa ({\vec {r}},t)~\mathrm {d} V-\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{\delta V_{1}}\kappa ({\vec {r}},t)~\mathrm {d} V\right]$

${\frac {\mathrm {d} \mathrm {K} }{\mathrm {d} t}}=\underbrace {\lim _{\delta t\to 0}{\frac {1}{\delta t}}\left[\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V_{2}}\kappa ({\vec {r}},t+\delta t)~\mathrm {d} V-\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V_{2}}\kappa ({\vec {r}},t)~\mathrm {d} V\right]} _{(A)}+\lim _{\delta t\to 0}{\frac {1}{\delta t}}\underbrace {\left[\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{\delta V_{3}}\kappa ({\vec {r}},t+\delta t)~\mathrm {d} V-\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{\delta V_{1}}\kappa ({\vec {r}},t)~\mathrm {d} V\right]} _{(b)}$

Pour la limite $(A)$

$A=\lim _{\delta t\to 0}\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V_{2}}{\frac {\kappa (x,t+\delta t)-\kappa (x,t)}{\delta t}}~\mathrm {d} V=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V_{2}}{\frac {\partial \kappa }{\partial t}}~\mathrm {d} V$.

Pour l'intégrale $(b)$, l'élément de volume sur le domaine $\delta V_{1}$ vaut $\mathrm {d} V=-{\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {d} S}}~\delta t$, tandis que sur le domaine $\delta V_{3}$, $\mathrm {d} V={\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {d} S}}~\delta t$.

$b=\int \!\!\!\!\!\int _{S_{3}}\kappa ({\vec {r}},t+\delta t)~\mathrm {d} S~{\vec {v}}\cdot {\vec {n}}~\delta t+\int \!\!\!\!\!\int _{S_{1}}\kappa ({\vec {r}},t)~\mathrm {d} S~{\vec {v}}\cdot {\vec {n}}~\delta t$

$b=\int \!\!\!\!\!\int _{S_{3}}\kappa ({\vec {r}},t)~\mathrm {d} S~{\vec {v}}\cdot {\vec {n}}~\delta t+\int \!\!\!\!\!\int _{S_{3}}(\kappa ({\vec {r}},t+\delta t)-\kappa ({\vec {r}},t))~\mathrm {d} S~{\vec {v}}\cdot {\vec {n}}~\delta t+\int \!\!\!\!\!\int _{S_{1}}\kappa ({\vec {r}},t)~\mathrm {d} S~{\vec {v}}\cdot {\vec {n}}~\delta t$

Sachant que $S_{1}\cup S_{3}\rightarrow S$, on peut écrire :

$b=\underbrace {\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}\kappa ({\vec {r}},t)~\mathrm {d} S~{\vec {v}}\cdot {\vec {n}}~\delta t} _{(c)}+\underbrace {\int \!\!\!\!\!\int _{S_{3}}(\kappa ({\vec {r}},t+\delta t)-\kappa ({\vec {r}},t))~\mathrm {d} S~{\vec {v}}\cdot {\vec {n}}~\delta t} _{(d)}$.

Le passage à la limite pour la partie $(c)$ donne :

$\lim _{\delta t\to 0}{\frac {b}{\delta t}}=\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}\kappa ({\vec {r}},t)~\mathrm {d} S~{\vec {v}}\cdot {\vec {n}}$.

Le passage à la limite annule la partie $(d)$ :

$\lim _{\delta t\to 0}{\frac {c}{\delta t}}=\lim _{\delta t\to 0}\int \!\!\!\!\!\int _{S_{3}}{\frac {\kappa (x,t+\delta t)-\kappa (x,t)}{\delta t}}~\mathrm {d} S~{\vec {v}}\cdot {\vec {n}}~\delta t=\lim _{\delta t\to 0}\left(\delta t\int \!\!\!\!\!\int _{S_{3}}{\frac {\partial \kappa }{\partial t}}~\mathrm {d} S~{\vec {v}}\cdot {\vec {n}}\right)=0$

De plus, $V_{2}\rightarrow V$, on obtient ainsi ː

${\frac {\mathrm {d} \mathrm {K} }{\mathrm {d} t}}=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}{\frac {\partial \kappa }{\partial t}}~\mathrm {d} V+\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}\kappa ({\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {d} S}})$.

 

Deuxième expression : en vue de la forme conservative des équations de bilan de grandeurs scalaires

Selon le théorème de flux-divergence ː $\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\mathrm {div} \,\left(\kappa ~{\overrightarrow {v}}\right)\mathrm {d} V=\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}\kappa ~{\overrightarrow {v}}\cdot \mathrm {d} {\overrightarrow {S}}$.

L'intégrale précédente peut s’exprimer ainsi ː

${\frac {\mathrm {d} \mathrm {K} }{\mathrm {d} t}}=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}{\frac {\partial \kappa }{\partial t}}~\mathrm {d} V+\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\mathrm {div} \left(\kappa ~{\overrightarrow {v}}\right)\mathrm {d} V$,

${\frac {\mathrm {d} \mathrm {K} }{\mathrm {d} t}}=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\left({\frac {\partial \kappa }{\partial t}}+\mathrm {div} \left(\kappa ~{\overrightarrow {v}}\right)\right)\mathrm {d} V$.

En utilisant l'opérateur nabla, on obtient :

${\frac {\mathrm {d} \mathrm {K} }{\mathrm {d} t}}=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\left({\frac {\partial \kappa }{\partial t}}+{\overrightarrow {\nabla }}\cdot \left(\kappa ~{\overrightarrow {v}}\right)\right)\mathrm {d} V$.

Troisième expression : en vue de la forme non-conservative des équations de bilan de grandeurs scalaires

Etant donné que

$\mathrm {div} (\kappa {\overrightarrow {v}})=\kappa \ \mathrm {div} \ {\overrightarrow {v}}+{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}(\kappa )\cdot {\overrightarrow {v}}$ ou ${\overrightarrow {\nabla }}\cdot (\kappa {\overrightarrow {v}})=\kappa \ {\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {v}}+{\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}\kappa$,

on peut écrire

${\frac {\mathrm {d} \mathrm {K} }{\mathrm {d} t}}=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\left({\frac {\partial \kappa }{\partial t}}+{\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}\kappa +\kappa \ {\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {v}}\right)\mathrm {d} V$.

Or l'expression de la dérivée particulaire fournit ${\frac {\mathrm {d} \kappa }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial \kappa }{\partial t}}+({\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }})\kappa$, ce qui permet d'écrire ː

${\frac {\mathrm {d} \mathrm {K} }{\mathrm {d} t}}=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\left({\frac {\mathrm {d} \kappa }{\mathrm {d} t}}+\kappa \ {\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {v}}\right)\mathrm {d} V$.

${\frac {\mathrm {d} \mathrm {K} }{\mathrm {d} t}}=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\left({\frac {\mathrm {d} \kappa }{\mathrm {d} t}}+\kappa \ {\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {v}}\right)\mathrm {d} V$.

En bref :

${\frac {\mathrm {d} \mathrm {K} }{\mathrm {d} t}}=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}{\frac {\partial \kappa }{\partial t}}~\mathrm {d} V+\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}\kappa ({\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {d} S}})=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\left({\frac {\partial \kappa }{\partial t}}+{\overrightarrow {\nabla }}\cdot (\kappa ~{\overrightarrow {v}})\right)\mathrm {d} V=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\left({\frac {\mathrm {d} \kappa }{\mathrm {d} t}}+\kappa ({\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {v}})\right)\mathrm {d} V$

Grandeur vectorielle

Dérivée particulaire

Pour une variable d'Euler vectorielle ${\overrightarrow {\psi }}={\begin{pmatrix}\psi _{x}\\\psi _{y}\\\psi _{z}\end{pmatrix}}$, il suffit d'appliquer la relation valable pour un scalaire à chacune des coordonnées du vecteur :

${\frac {\mathrm {d} \psi _{i}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial \psi _{i}}{\partial t}}+({\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }})\,\psi _{i}$,

ce qui donne

${\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {\psi }}}{\mathrm {d} t}}={\begin{pmatrix}{\frac {\mathrm {d} \psi _{x}}{\mathrm {d} t}}\\{\frac {\mathrm {d} \psi _{y}}{\mathrm {d} t}}\\{\frac {\mathrm {d} \psi _{z}}{\mathrm {d} t}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \psi _{x}}{\partial t}}+({\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }})\,\psi _{x}\\{\frac {\partial \psi _{y}}{\partial t}}+({\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }})\,\psi _{y}\\{\frac {\partial \psi _{z}}{\partial t}}+({\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }})\,\psi _{z}\end{pmatrix}}$.

Ainsi, il vient :

${\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {\psi }}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial {\overrightarrow {\psi }}}{\partial t}}+({\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }})\,{\overrightarrow {\psi }}$.

Dérivée particulaire d'une intégrale de volume

On étudie une grandeur vectorielle ${\overrightarrow {\Psi }}={\begin{pmatrix}\Psi _{x}\\\Psi _{y}\\\Psi _{z}\end{pmatrix}}$ de densité volumique ${\overrightarrow {\psi }}={\begin{pmatrix}\psi _{x}\\\psi _{y}\\\psi _{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\mathrm {d} \Psi _{x}}{\mathrm {d} V}}\\{\frac {\mathrm {d} \Psi _{y}}{\mathrm {d} V}}\\{\frac {\mathrm {d} \Psi _{z}}{\mathrm {d} V}}\end{pmatrix}}$.

Il pourra s'agir de la quantité de mouvement afin d'appliquer le principe de conservation de la quantité de mouvement à un volume de fluide.

Première expression : en vue de la forme conservative des équations de bilan de grandeurs vectorielles

Chacune des trois composantes du vecteur ${\overrightarrow {\Psi }}$ est une grandeur scalaire à laquelle on peut appliquer le résultat obtenu précédemment :

${\frac {\mathrm {d} \mathrm {A_{i}} }{\mathrm {d} t}}=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\left({\frac {\partial a_{i}}{\partial t}}+{\overrightarrow {\nabla }}\cdot \left(a_{i}~{\overrightarrow {v}}\right)\right)\mathrm {d} V$.

On peut exprimer la variation de la grandeur vectorielle ː

${\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {\Psi }}}{\mathrm {d} t}}={\begin{pmatrix}{\frac {\mathrm {d} \Psi _{x}}{\mathrm {d} t}}\\{\frac {\mathrm {d} \Psi _{y}}{\mathrm {d} t}}\\{\frac {\mathrm {d} \Psi _{z}}{\mathrm {d} t}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\int \!\!\!\int \!\!\!\int _{V}\left({\frac {\partial \psi _{x}}{\partial t}}+\mathrm {div} \left(\psi _{x}~{\overrightarrow {v}}\right)\right)\mathrm {d} V\\\int \!\!\!\int \!\!\!\int _{V}\left({\frac {\partial \psi _{y}}{\partial t}}+\mathrm {div} \left(\psi _{y}~{\overrightarrow {v}}\right)\right)\mathrm {d} V\\\int \!\!\!\int \!\!\!\int _{V}\left({\frac {\partial \psi _{z}}{\partial t}}+\mathrm {div} \left(\psi _{z}~{\overrightarrow {v}}\right)\right)\mathrm {d} V\end{pmatrix}}=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\left({\frac {\partial {\overrightarrow {\psi }}}{\partial t}}+{\begin{pmatrix}{\frac {\partial (\psi _{x}v_{x})}{\partial x}}+{\frac {\partial (\psi _{x}v_{y})}{\partial y}}+{\frac {\partial (\psi _{x}v_{z})}{\partial z}}\\{\frac {\partial (\psi _{y}v_{x})}{\partial x}}+{\frac {\partial (\psi _{y}v_{y})}{\partial y}}+{\frac {\partial (\psi _{y}v_{z})}{\partial z}}\\{\frac {\partial (\psi _{z}v_{x})}{\partial x}}+{\frac {\partial (\psi _{z}v_{y})}{\partial y}}+{\frac {\partial (\psi _{z}v_{z})}{\partial z}}\end{pmatrix}}\right)\mathrm {d} V$.

On définit la divergence d'une matrice de la façon suivante.

${\begin{pmatrix}\mathrm {div} \left(\psi _{x}~{\overrightarrow {v}}\right)\\\mathrm {div} \left(\psi _{y}~{\overrightarrow {v}}\right)\\\mathrm {div} \left(\psi _{z}~{\overrightarrow {v}}\right)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial (\psi _{x}v_{x})}{\partial x}}+{\frac {\partial (\psi _{x}v_{y})}{\partial y}}+{\frac {\partial (\psi _{x}v_{z})}{\partial z}}\\{\frac {\partial (\psi _{y}v_{x})}{\partial x}}+{\frac {\partial (\psi _{y}v_{y})}{\partial y}}+{\frac {\partial (\psi _{y}v_{z})}{\partial z}}\\{\frac {\partial (\psi _{z}v_{x})}{\partial x}}+{\frac {\partial (\psi _{z}v_{y})}{\partial y}}+{\frac {\partial (\psi _{z}v_{z})}{\partial z}}\end{pmatrix}}=\mathrm {div} {\begin{pmatrix}\psi _{x}v_{x}&\psi _{x}v_{y}&\psi _{x}v_{z}\\\psi _{y}v_{x}&\psi _{y}v_{y}&\psi _{y}v_{z}\\\psi _{z}v_{x}&\psi _{z}v_{y}&\psi _{z}v_{z}\end{pmatrix}}={\overrightarrow {\mathrm {div} }}\left({\begin{pmatrix}\psi _{x}\\\psi _{y}\\\psi _{z}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}v_{x}&v_{y}&v_{z}\end{pmatrix}}\right)={\overrightarrow {\mathrm {div} }}\cdot \left({\overrightarrow {\psi }}\otimes {\vec {v}}\right)$

On obtient la forme conservative de la dérivée particulaire :

${\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {\Psi }}}{\mathrm {d} t}}=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\left({\frac {\partial {\overrightarrow {\psi }}}{\partial t}}+{\overrightarrow {\mathrm {div} }}\left({\overrightarrow {\psi }}\otimes {\vec {v}}\right)\right)\mathrm {d} V$.

• Le symbole $\times$ représente le produit matriciel.
• Le symbole $\otimes$ représente le produit dyadique.

Deuxième expression : en vue de la forme non-conservative des équations de bilan de grandeurs vectorielles

${\frac {\mathrm {d} \Psi _{i}}{\mathrm {d} t}}=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\left({\frac {\mathrm {d} \psi _{i}}{\mathrm {d} t}}+\psi _{i}\ {\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {v}}\right)\mathrm {d} V$

${\begin{pmatrix}{\frac {\mathrm {d} \psi _{x}}{\mathrm {d} t}}+\psi _{x}\ {\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {v}}\\{\frac {\mathrm {d} \psi _{y}}{\mathrm {d} t}}+\psi _{y}\ {\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {v}}\\{\frac {\mathrm {d} \psi _{z}}{\mathrm {d} t}}+\psi _{z}\ {\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {v}}\end{pmatrix}}={\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {\psi }}}{\mathrm {d} t}}+{\begin{pmatrix}\psi _{x}{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+\psi _{x}{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+\psi _{x}{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\\\psi _{y}{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+\psi _{y}{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+\psi _{y}{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\\\psi _{z}{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+\psi _{z}{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+\psi _{z}{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\end{pmatrix}}={\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {\psi }}}{\mathrm {d} t}}+{\begin{pmatrix}\psi _{x}\\\psi _{y}\\\psi _{z}\end{pmatrix}}\left({\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {v}}\right)={\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {\psi }}}{\mathrm {d} t}}+{\overrightarrow {\psi }}\left({\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {v}}\right)$

${\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {\Psi }}}{\mathrm {d} t}}=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\left({\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {\psi }}}{\mathrm {d} t}}+{\overrightarrow {\psi }}\left({\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {v}}\right)\right)\mathrm {d} V$.