Cinématique du point/Systèmes de repérage d'un point

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Le but de ce chapitre est de lister les différentes façons possibles de repérer un point dans l’espace.

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En fonction du problème de cinématique auquel on est confronté (ou de mécanique en général), le choix du système de coordonnées adapté est important. Le résultat final ne dépendra pas du système de coordonnées, mais la complexité des calculs sera bien différente en fonction su système choisi. Par exemple, il sera bien plus judicieux pour un problème de position sur la Terre, de choisir un repère sphérique qu'un repère cartésien.

Objectifs et premières définitions

Soit un point $M$ se déplaçant dans l'espace au cours du temps. On se donne un autre point de l'espace, noté $O$, qu'on appelle origine de l'espace. On appelle vecteur position le vecteur $\mathbf {OM} (t)$.

L'idée est de trouver un moyen de décrire le vecteur position. En vérité, il existe de nombreux moyens de faire cela, mais chaque système est adapté à un type de mouvement particulier. Cela fait partie des compétences que doit acquérir l'étudiant que de savoir, en fonction du problème donné, choisir un système de coordonnées adapté.

Donnons avant une étude précise des différents systèmes de coordonnées quelques définitions générales.

• En physique (en tout cas en mécanique classique), on se place dans un espace euclidien à trois dimensions. Cela signifie que tout vecteur de l'espace peut s'écrire sous la forme $\alpha \mathbf {i} +\beta \mathbf {j} +\gamma \mathbf {k}$, où $\alpha ,\beta ,\gamma$ sont trois nombres réels quelconques (qui peuvent éventuellement être négatifs), et $\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k}$ forme une base orthonormée de l'espace, c'est-à-dire que ce sont trois vecteurs deux à deux orthogonaux et de norme égale à 1 (voir la section Base de vecteurs).
• De la même façon, tout point peut être décrit à l'aide de trois coordonnées, qui caractérisent ses trois degrés de liberté.
• Quelque chose qui sera très intéressant pour la suite est la notion de grandeur élémentaire. Considérons une grandeur physique quelconque $f(x)$ (qui peut être scalaire ou vectorielle). On appelle grandeur élémentaire (ou différentielle) de $f$ la grandeur ${\text{d}}f=f'(x)\Delta x$. Si $f(x)=x$, alors ${\text{d}}f={\text{d}}x=1\times \Delta x=\Delta x$. Aussi la différentielle d'une grandeur s'exprime aussi de cette façon : ${\text{d}}f=f'(x){\text{d}}x$. Cette notion caractérise l'accroissement infinitésimal de la fonction $f(x)$. Pour plus de détails sur cette notion fondamentale, se rapporter aux Outils mathématiques pour la cinématique

Base de vecteurs

Afin de comprendre les différents systèmes de coordonnées, il est également important de comprendre ce qu'est une base de vecteurs, et les différentes bases utilisées en mécanique.

En mathématiques (et plus particulièrement en algèbre linéaire), une base d'un espace vectoriel V est une famille de vecteurs de V linéairement indépendants et dont tout vecteur de V est combinaison linéaire. C'est-à-dire qu'une base d'un espace de vecteurs, est un ensemble de vecteurs non linéairement dépendants qui engendrent tout cet espace. En mécanique, on se placera tout le temps dans un espace euclidien à deux (plan) ou trois (espace) dimensions. Une base du plan est donc composée de deux vecteurs $(u,v)$ indépendants linéairement, car tout autre vecteur du plan peut s'écrire comme combinaison linéaire de ces deux vecteurs. Et de même, une base de l'espace est composée de trois vecteurs $(u,v,w)$ indépendants linéairement.

Règle de la main droite

Ces notions basiques permettent donc également de définir les notions de base directe et de base orthonormée ou orthonormale.

• "une base orthonormale ou base orthonormée (BON) d'un espace euclidien est une base de cet espace vectoriel constituée de vecteurs de norme 1 et orthogonaux deux à deux."
• Une base $(i,j)$ du plan est directe si et seulement si la mesure principale de l'angle $i\angle j$ est positive. Sinon, on la qualifie d'indirecte. Une base $(i,j,k)$ de l'espace est directe si et seulement si elle vérifie la règle de la main droite. Le pouce, l'index et le majeur permettent de représenter les trois vecteurs de la base. Les trois doigts forment alors un trièdre dans l'espace. Attention, cette règle n'est valable que pour la main droite, et pour une base $(i,j,k)$, on a : pouce = $i$, index = $j$, majeur = $k$.

En mécanique, on travaillera quasiment toujours dans des bases orthonormées directes, car ce sont dans ces bases que les opérations sur les vecteurs (produit vectoriel par exemple) sont valides.

Système de coordonnées cartésien

Système de coordonnées cartésiens

On considère trois vecteurs unitaires fixes $\mathbf {e} _{x}$, $\mathbf {e} _{y}$, $\mathbf {e} _{z}$ et deux à deux orthogonaux (cf figure), définissant alors trois axes.

On peut alors décrire le vecteur position comme $\mathbf {OM} =x\mathbf {e} _{x}+y\mathbf {e} _{y}+z\mathbf {e} _{z}$

Ce système de coordonnées est particulièrement adapté à la description de mouvements rectilignes : on place alors l'un des vecteurs $\mathbf {e} _{x}$, $\mathbf {e} _{y}$, $\mathbf {e} _{z}$ sur l'axe du mouvement de l'objet, et les deux autres orthogonalement.

Un déplacement élémentaire s'écrit, dans ce système, ${\text{d}}\mathbf {r} ={\text{d}}x\mathbf {e} _{x}+{\text{d}}y\mathbf {e} _{y}+{\text{d}}z\mathbf {e} _{z}$

Système de coordonnées polaire et base locale associée

Ce système est un système de représentation en deux dimensions seulement. En cela, il est tout particulièrement adapté aux mouvements plans, mais surtout aux mouvements circulaires.

Le principe est de représenter la position du point M par le couple (r, teta) où r est à distance de M à l'origine du repère O et teta l'angle (OM,OX).