Complexes et géométrie/Détermination d'ensembles de points

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Ensemble de définition

Nous pouvons considérer des fonctions complexes, comme nous faisons habituellement avec des fonctions réelles.

Début de l'exemple

Exemple de fonction complexe

Un exemple de fonction complexe est

${\begin{array}{ccccc}f&:&\mathbb {C} &\rightarrow &\mathbb {C} \\~&~&z_{1}&\mapsto &3z_{1}+2\end{array}}$.

Pour tout complexe $z_{1}$, $f(z_{1})$ est le complexe $z_{2}=3z_{1}+2$.

Fin de l'exemple

Nous utilisons, pour ces fonctions, la même définition que pour les fonctions réelles :

Définition

L'ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble des éléments de l’ensemble de départ possédant une image.

Début de l'exemple

Exemple de détermination d'un ensemble de définition

Soit $f(z)={\frac {3z+1-8\mathrm {i} }{-2+3\mathrm {i} +2\mathrm {i} z}}$.

Soit $z\in \mathbb {C}$. La fonction $f$ est définie au point $z$ si et seulement si son dénominateur $-2+3\mathrm {i} +2\mathrm {i} z$ est différent de zéro.

On résout l'équation $-2+3\mathrm {i} +2\mathrm {i} z=0$ et les solutions seront les points à exclure de l’ensemble de définition.

${\begin{aligned}-2+3\mathrm {i} +2\mathrm {i} z=0&\Leftrightarrow 2\mathrm {i} z=2-3\mathrm {i} \\&\Leftrightarrow z={\frac {2-3\mathrm {i} }{2\mathrm {i} }}\\&\Leftrightarrow z=-\mathrm {i} -{\frac {3}{2}}.\end{aligned}}$

L'ensemble de définition de $f$ est $\mathbb {C} \setminus \left\{-\mathrm {i} -{\frac {3}{2}}\right\}$.

Fin de l'exemple

Détermination d’un ensemble

Nous connaissons la détermination d'ensembles de points réels (vue en classe de Seconde) qui se limitait à la fois à une dimension (la droite des réels) et aux inégalités, nous pouvons faire de même avec les complexes. La seule différence étant que les points appartiennent au plan complexe (deux dimensions).

Nous avons listé ici les différentes possibilités envisageables en classe de Terminale Scientifique.

• Dans le cadre des équations, il s'agit le plus souvent de plusieurs points séparés ou de cercles.
• Dans le cadre des inéquations, il s'agit le plus souvent de demi-droites ou de disques.
• Nous pouvons aussi avoir l'inverse, c'est-à-dire avoir l’ensemble des complexes privé :
  • d’un ou de plusieurs points séparés
  • d’un segment, demi-droite, droite
  • d’un cercle, d’un disque

Début de l'exemple

Exemples simples de détermination d'ensembles de points

Déterminer les ensembles de points M tels que :

• $z=6$. On a $\|{\overrightarrow {OM}}\|=6$ (d'après Module d’un nombre complexe).
  L'ensemble cherché est formé des points M tels que $OM=6$ ;
  c'est donc le cercle de centre O et de rayon 6.
• $|z+2-3\mathrm {i} |\leq 3$. de la même manière, $|z-(-2+3\mathrm {i} )|\leq 3$.
  L'ensemble cherché est le disque de centre A d'affixe $z_{A}=-2+3\mathrm {i}$ et de rayon $3$.
• $|z-2|=|z+\mathrm {i} |$. On pose $z_{A}=2$ et $z_{B}=-\mathrm {i}$.
  On a $|z-z_{A}|=|z-z_{B}|$ d'où $AM=BM$.
  Le point M est équidistant de A et B ; l’ensemble cherché est la médiatrice de $[AB]$.

Fin de l'exemple

Équation d’un ensemble

Nous pouvons aussi déterminer une équation d’un ensemble de points, c'est-à-dire (pour le niveau Terminale) déterminer l'équation d’une droite ou d’un cercle.

Début de l'exemple

Détermination d'ensembles de points : Équation d’un ensemble

Déterminer les équations des ensembles précédents (paragraphe précédent) :

• $|z|=6$. On pose $z=x+iy$.

On a $|x+iy|=6$, ${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=6$, $x^{2}+y^{2}=6^{2}$, donc $x^{2}+y^{2}-6^{2}=0$.
On retrouve bien l'équation d’un cercle de centre O et de rayon 6.

• $|z+2-3i|\leq 3$ de la même manière, on pose $z=x+iy$.

On a $|(x+2)+i(y-3)|\leq 3$, $(x+2)^{2}+(y-3)^{2}\leq 3^{2}$
L'ensemble cherché est bien le disque de centre $A(-2,3)$ et de rayon 3.

• $|z-2|=|z+i|$, on pose $z=x+iy$.

On a $|(x-2)+iy|=|x+i(y+1)|$
${\sqrt {(x-2)^{2}+y^{2}}}={\sqrt {x^{2}+(y+1)^{2}}}$ d'où $(x-2)^{2}+y^{2}=x^{2}+(y+1)^{2}$
On développe, d'où $x^{2}-4x+4+y^{2}=x^{2}+y^{2}+2y+1$ et donc $y=-2x+{\frac {3}{2}}$.
L'ensemble cherché est la droite d'équation $y=-2x+{\frac {3}{2}}$

Fin de l'exemple