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Calcul avec les nombres complexes : Module et argument Calcul avec les nombres complexes/Module et argument », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Définition
Le module d’un nombre complexe
|
z
|
{\displaystyle \left|z\right|}
est la distance qui sépare l'origine du repère complexe au point M d'affixe z.
De plus, pour
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle z=x+iy}
, on a :
|
z
|
=
x
2
+
y
2
=
z
z
¯
{\displaystyle \left|z\right|={\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}}={\sqrt {z{\bar {z}}}}}
Démonstration
Début d’un principe
Démonstration
L'égalité
|
z
|
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle |z|={\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}}}
découle du théorème de Pythagore.
De plus :
z
×
z
¯
=
(
x
+
i
y
)
(
x
−
i
y
)
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle z\times {\bar {z}}=(x+iy)(x-iy)={x}^{2}+{y}^{2}}
, d'où
|
z
|
=
z
z
¯
{\displaystyle \left|z\right|={\sqrt {z{\bar {z}}}}}
Fin du principe
Début d’un théorème
Fin du théorème
Démonstration
Début d’un principe
Fin du principe
Début de l'exemple
Exemples d’utilisation du module : Distance de deux points
Fin de l'exemple
Argument d’un nombre complexe non nul
modifier
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Début de l'exemple
Exemple
Soit z = 32 + 12 i . Trouver 3 arguments de z , donner l'argument principal.
Fin de l'exemple
Soit
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle z=x+iy}
un nombre complexe non nul, son module
|
z
|
{\displaystyle |z|}
, d'argument principal
θ
{\displaystyle \theta }
, et M le point d'affixe z.
On considère le triangle dans le plan complexe, formé par l'origine, M et son projeté orthogonal sur l’axe des réels.
Les calculs respectivement du cosinus et du sinus d’une mesure de l'angle orienté
(
u
→
,
O
M
→
)
{\displaystyle ({\vec {u}},{\overrightarrow {OM}})}
donnent les deux propriétés suivantes :
Propriétés
cos
(
θ
)
=
x
|
z
|
{\displaystyle \cos(\theta )={\frac {x}{|z|}}}
: le cosinus de l'angle est le quotient de la partie réelle et du module.
sin
(
θ
)
=
y
|
z
|
{\displaystyle \sin(\theta )={\frac {y}{|z|}}}
: le sinus de l'angle est le quotient de la partie imaginaire et du module.
On sait que :
cos
(
θ
)
=
x
|
z
|
⇔
x
=
|
z
|
cos
(
θ
)
{\displaystyle \cos(\theta )={\frac {x}{|z|}}\Leftrightarrow x=|z|\cos(\theta )}
et
sin
(
θ
)
=
y
|
z
|
⇔
y
=
|
z
|
sin
(
θ
)
{\displaystyle \sin(\theta )={\frac {y}{|z|}}\Leftrightarrow y=|z|\sin(\theta )}
.
Et on a alors :
z
=
x
+
i
y
=
|
z
|
cos
(
θ
)
+
i
|
z
|
sin
(
θ
)
=
|
z
|
(
cos
(
θ
)
+
i
sin
(
θ
)
)
{\displaystyle z=x+iy=|z|\cos(\theta )+i|z|\sin(\theta )=|z|(\cos(\theta )+i\sin(\theta ))}
.
Définition
On appelle la forme trigonométrique d’un nombre complexe z , l'écriture :
z
=
|
z
|
(
cos
(
θ
)
+
i
sin
(
θ
)
)
{\displaystyle z=|z|(\cos(\theta )+i\sin(\theta ))}
de ce nombre pour n’importe quelle mesure de l'angle
θ
{\displaystyle \theta }
.
Dans cette écriture on retrouve directement le module et un argument (la plupart du temps l'argument principal).
Remarque importante : la forme trigonométrique d’un complexe est liée à ses coordonnées polaires
[
r
,
θ
]
{\displaystyle [r,\theta ]}
, tandis que la forme algébrique est liée à ses coordonnées cartésiennes
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
.
Remarque : on note souvent
r
{\displaystyle r}
pour le module de z , la forme trigonométrique se note donc aussi
z
=
r
(
cos
(
θ
)
+
i
sin
(
θ
)
)
{\displaystyle z=r(\cos(\theta )+i\sin(\theta ))}
.
Soit z un nombre complexe non nul, sous la forme
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle z=x+iy}
, de module
|
z
|
{\displaystyle |z|}
et d'argument principal
θ
{\displaystyle \theta }
.
Les propriétés énoncées lors des calculs du cosinus et du sinus permettent de passer d’une écriture à une autre :
Passer d’une écriture trigonométrique à une écriture algébrique et vice-versa
{
cos
(
θ
)
=
x
/
|
z
|
sin
(
θ
)
=
y
/
|
z
|
⇔
{
x
=
|
z
|
cos
(
θ
)
y
=
|
z
|
sin
(
θ
)
{\displaystyle {\begin{cases}\cos(\theta )=x~/~|z|\\\sin(\theta )=y~/~|z|\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x=|z|\cos(\theta )\\y=|z|\sin(\theta )\end{cases}}}
avec
|
z
|
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
.
Début de l'exemple
Exemple
La forme trigonométrique de
z
=
1
−
i
{\displaystyle z=1-i}
est :
z
=
2
(
cos
(
−
π
4
)
+
i
sin
(
−
π
4
)
)
{\displaystyle z={\sqrt {2}}\left(\cos \left(-{\frac {\pi }{4}}\right)+i\sin \left(-{\frac {\pi }{4}}\right)\right)}
.
Il s'agit donc de trouver un facteur commun à x et y , ici
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}}
, puis d’identifier un angle connu.
Fin de l'exemple
Égalité de deux nombres complexes
modifier
Égalité de deux nombres complexes
Soient z et z' deux nombres complexes non nuls .
z
=
z
′
⇔
{
|
z
|
=
|
z
′
|
a
r
g
(
z
)
=
a
r
g
(
z
′
)
[
2
π
]
{\displaystyle z=z'\Leftrightarrow {\begin{cases}|z|=|z'|\\arg(z)=arg(z')[2\pi ]\end{cases}}}
Propriétés algébriques de l'argument
modifier
Produit de deux nombres complexes
L'argument du produit de deux nombres complexes est la somme de leurs arguments :
a
r
g
(
z
z
′
)
=
a
r
g
(
z
)
+
a
r
g
(
z
′
)
[
2
π
]
{\displaystyle arg(zz')=arg(z)+arg(z')[2\pi ]}
.
Démonstrations
Début d’un principe
Une démonstration géométrique
Fin du principe
Début d’un principe
Démonstration (avec la forme trigonométrique)
Soit
z
1
=
ρ
1
×
(
cos
(
θ
1
)
+
i
sin
(
θ
1
)
)
{\displaystyle z_{1}=\rho _{1}\times (\cos {(\theta _{1})}+i\sin {(\theta _{1})})}
et
z
2
=
ρ
2
×
(
cos
(
θ
2
)
+
i
sin
(
θ
2
)
)
{\displaystyle z_{2}=\rho _{2}\times (\cos {(\theta _{2})}+i\sin {(\theta _{2})})}
avec
(
ρ
1
,
ρ
2
)
∈
R
2
,
(
θ
1
,
θ
2
)
∈
[
0
;
π
]
2
,
{\displaystyle (\rho _{1},\rho _{2})\in {\mathbb {R} }^{2},(\theta _{1},\theta _{2})\in {[0;\pi ]}^{2},}
on prend
(
k
1
,
k
2
)
=
0
{\displaystyle (k_{1},k_{2})=0}
pour simplifier les calculs.
z
3
=
z
1
×
z
2
=
ρ
1
×
(
cos
(
θ
1
)
+
i
sin
(
θ
1
)
)
×
ρ
2
×
(
cos
(
θ
2
)
+
i
sin
(
θ
2
)
)
=
ρ
1
ρ
2
×
[
(
cos
(
θ
1
)
cos
(
θ
2
)
−
sin
(
θ
1
)
sin
(
θ
2
)
)
+
i
(
sin
(
θ
1
)
cos
(
θ
2
)
+
cos
(
θ
1
)
sin
(
θ
2
)
)
]
=
ρ
1
ρ
2
×
[
cos
(
θ
1
+
θ
2
)
+
i
sin
(
θ
1
+
θ
2
)
]
=
ρ
3
[
cos
(
θ
3
)
+
i
sin
(
θ
3
)
]
{\displaystyle {\begin{matrix}z_{3}&=&z_{1}\times z_{2}&=&\rho _{1}\times (\cos {(\theta _{1})}+i\sin {(\theta _{1})})\times \rho _{2}\times (\cos {(\theta _{2})}+i\sin {(\theta _{2})})\\&&&=&\rho _{1}\rho _{2}\times [(\cos {(\theta _{1})}\cos {(\theta _{2})}-\sin {(\theta _{1})}\sin {(\theta _{2})})+i(\sin {(\theta _{1})}\cos {(\theta _{2})}+\cos {(\theta _{1})}\sin {(\theta _{2})})]\\&&&=&\rho _{1}\rho _{2}\times [\cos {(\theta _{1}+\theta _{2})}+i\sin {(\theta _{1}+\theta _{2})}]\\&=&\rho _{3}[\cos {(\theta _{3})}+i\sin {(\theta _{3})}]\end{matrix}}}
Nous passons de la deuxième à la troisième ligne en utilisant les formules de trigonométrie ce qui nous donne:
cos
(
a
+
b
)
=
cos
a
×
cos
b
−
sin
a
×
sin
b
{\displaystyle \cos {(a+b)}=\cos {a}\times \cos {b}-\sin {a}\times \sin {b}}
sin
(
a
+
b
)
=
sin
a
×
cos
b
+
cos
a
×
sin
b
{\displaystyle \sin {(a+b)}=\sin {a}\times \cos {b}+\cos {a}\times \sin {b}}
On a donc
z
3
=
ρ
3
[
cos
(
θ
3
)
+
i
sin
(
θ
3
)
]
{\displaystyle z_{3}=\rho _{3}[\cos {(\theta _{3})}+i\sin {(\theta _{3})}]}
et nous pouvons faire la même remarque.
Fin du principe
Opposé d’un nombre complexe
L'argument de l'opposé d’un nombre complexe est :
a
r
g
(
−
z
)
=
π
+
a
r
g
(
z
)
[
2
π
]
{\displaystyle arg(-z)=\pi +arg(z)[2\pi ]}
.
Inverse d’un nombre complexe
L'argument de l'inverse d’un nombre complexe non nul est l'opposé de son argument :
a
r
g
(
1
z
)
=
−
a
r
g
(
z
)
[
2
π
]
{\displaystyle arg\left({\frac {1}{z}}\right)=-arg(z)[2\pi ]}
.
Division de deux nombres complexes
D'après les règles de la multiplication et de l'inverse, on a, avec deux nombres complexes z et z' :
a
r
g
(
z
z
′
)
=
a
r
g
(
z
)
−
a
r
g
(
z
′
)
[
2
π
]
{\displaystyle arg\left({\frac {z}{z'}}\right)=arg(z)-arg(z')[2\pi ]}
pour
z
′
≠
0
{\displaystyle z'\neq 0}
.
Puissance d’un nombre complexe
Par extension à la multiplication et à l'inverse, on a l'argument d’un nombre complexe puissance n , qui est n fois son argument :
a
r
g
(
z
n
)
=
n
×
a
r
g
(
z
)
[
2
π
]
{\displaystyle arg({z}^{n})=n\times arg(z)[2\pi ]}
avec
n
∈
Z
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} }
.
Conjugué d’un nombre complexe
L'argument du conjugué d’un nombre complexe est l'opposé de son l'argument :
a
r
g
(
z
¯
)
=
−
a
r
g
(
z
)
[
2
π
]
{\displaystyle arg({\bar {z}})=-arg(z)[2\pi ]}
.
Cela s'explique par le fait que le conjugué d’un nombre complexe est le symétrique par rapport à l’axe des réels du nombre complexe en question.
Produit d’un nombre complexe et de son conjugué
L'argument du produit d’un nombre complexe et de son conjugué est :
a
r
g
(
z
z
¯
)
=
a
r
g
(
z
)
+
a
r
g
(
z
¯
)
=
a
r
g
(
z
)
−
a
r
g
(
z
)
=
0
[
2
π
]
{\displaystyle arg(z{\bar {z}})=arg(z)+arg({\bar {z}})=arg(z)-arg(z)=0[2\pi ]}
.
C'est une explication géométrique de pourquoi le produit d’un nombre complexe et de son conjugué est un réel positif.
Calcul avec le cosinus et le sinus
modifier
Connaissant la partie réelle et imaginaire d’un nombre complexe, on peut calculer son
cos
(
θ
)
{\displaystyle \cos(\theta )}
et son
sin
(
θ
)
{\displaystyle \sin(\theta )}
.
Il faut ensuite en déduire un angle
θ
{\displaystyle \theta }
en « reconnaissant » les valeurs usuelles de cosinus et sinus .
Début de l'exemple
Fin de l'exemple
Propriété
Si on ne reconnaît aucun angle particulier, on peut utiliser les fonctions trigonométriques réciproques :
θ
=
arccos
(
x
|
z
|
)
=
arcsin
(
y
|
z
|
)
{\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {x}{|z|}}\right)=\arcsin \left({\frac {y}{|z|}}\right)}
L'argument est alors déterminé à
π
{\displaystyle \pi }
près, il faut décider entre
θ
{\displaystyle \theta }
et
θ
+
π
{\displaystyle \theta +\pi }
en utilisant le signe de
x
{\displaystyle x}
(généralement, on cherche la mesure principale, c’est celle qui est dans ]-
π
;
π
{\displaystyle \pi ;\pi }
] ):
si
x
>
0
{\displaystyle x>0}
alors
θ
{\displaystyle \theta }
est dans
]
−
π
2
;
π
2
]
{\displaystyle \left]-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]}
si
x
=
0
{\displaystyle x=0}
alors si
y
>
0
{\displaystyle y>0}
alors
θ
=
π
2
{\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}
et si
y
<
0
{\displaystyle y<0}
alors
θ
=
−
π
2
{\displaystyle \theta =-{\frac {\pi }{2}}}
si
x
<
0
{\displaystyle x<0}
alors
θ
{\displaystyle \theta }
est dans
]
−
π
;
−
π
2
]
∪
]
π
2
;
π
]
{\displaystyle \left]-\pi ;{\frac {-\pi }{2}}\right]\cup \left]{\frac {\pi }{2}};\pi \right]}
Remarque : Une rapide représentation des complexes
1
{\displaystyle 1}
,
−
1
{\displaystyle -1}
,
i
{\displaystyle i}
et
−
i
{\displaystyle -i}
sur le cercle trigonométrique permet de synthétiser les règles précédentes.
Remarque : Les calculatrices renvoient généralement l'angle dans
]
−
π
2
;
π
2
]
{\displaystyle \left]-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]}
mais ce résultat doit être révisé suivant la règle ci-dessus. Notons qu'en électricité, l'argument est :
Inférieur ou égal à
π
/
2
{\displaystyle \pi /2}
pour les montages du premier ordre (RC ou RL).
Inférieur ou égal à
π
{\displaystyle \pi }
pour les montages du second ordre (RLC).
Inférieur ou égal à
3
π
/
2
{\displaystyle 3\pi /2}
pour les montages du troisième ordre.
Inférieur ou égal à
2
π
{\displaystyle 2\pi }
pour les montages du quatrième ordre.
Il faut donc impérativement tenir compte des modifications des remarques précédentes, en particulier pour l'étude de la stabilité des systèmes bouclés (se référer aux cours d'automatique).
Remarque: En électronique la phase est fonction de la fréquence du signal qui parcourt le système.
Propriété
Si A et B sont deux points distincts d'affixes respectives a et b .
alors
a
r
g
(
b
−
a
)
=
(
u
→
;
A
B
→
)
{\displaystyle arg(b-a)=({\vec {u}}\ ;{\overrightarrow {AB}})}
Si A, B, C et D sont quatre points deux à deux distincts d'affixes respectives a, b, c et d :
alors :
arg
(
d
−
c
b
−
a
)
=
(
A
B
→
,
C
D
→
)
{\displaystyle \arg \left({\frac {d-c}{b-a}}\right)=({\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {CD}})}