En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Calcul avec les nombres complexes : Module et argument Calcul avec les nombres complexes/Module et argument », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On appelle la forme trigonométrique d’un nombre complexe z, l'écriture :
de ce nombre pour n’importe quelle mesure de l'angle .
Dans cette écriture on retrouve directement le module et un argument (la plupart du temps l'argument principal).
Remarque importante : la forme trigonométrique d’un complexe est liée à ses coordonnées polaires , tandis que la forme algébrique est liée à ses coordonnées cartésiennes .
Remarque : on note souvent pour le module de z, la forme trigonométrique se note donc aussi .
L'argument du produit de deux nombres complexes est la somme de leurs arguments :
.
Démonstrations
Début d’un principe
Une démonstration géométrique
Considérons un nombre complexe , alors .
donc l'effet de la multiplication par sur le premier vecteur de base est une rotation d'angle .
donc l'effet de la multiplication par sur le second vecteur de base est également une rotation d'angle
Soit vecteur quelconque .
La multiplication par étant distributive, son effet sur le vecteur est encore une rotation d'angle .
Soit un nombre complexe avec
alors est donc
Fin du principe
Début d’un principe
Démonstration (avec la forme trigonométrique)
Soit et avec on prend pour simplifier les calculs.
Nous passons de la deuxième à la troisième ligne en utilisant les formules de trigonométrie ce qui nous donne:
On a donc et nous pouvons faire la même remarque.
Fin du principe
Opposé d’un nombre complexe
L'argument de l'opposé d’un nombre complexe est :
.
On a si et seulement si z n’est pas un imaginaire pur, c'est-à-dire :
Ce qui implique que :
L'argument est alors déterminé à près, il faut décider entre et en utilisant le signe de (généralement, on cherche la mesure principale, c’est celle qui est dans ]-] ):
si alors est dans
si alors si alors et si alors
si alors est dans
Remarque : Une rapide représentation des complexes , , et sur le cercle trigonométrique permet de synthétiser les règles précédentes. Remarque : Les calculatrices renvoient généralement l'angle dans mais ce résultat doit être révisé suivant la règle ci-dessus. Notons qu'en électricité, l'argument est :
Inférieur ou égal à pour les montages du premier ordre (RC ou RL).
Inférieur ou égal à pour les montages du second ordre (RLC).
Inférieur ou égal à pour les montages du troisième ordre.
Inférieur ou égal à pour les montages du quatrième ordre.
Il faut donc impérativement tenir compte des modifications des remarques précédentes, en particulier pour l'étude de la stabilité des systèmes bouclés (se référer aux cours d'automatique).
Remarque: En électronique la phase est fonction de la fréquence du signal qui parcourt le système.