Calcul avec les nombres complexes/Module et argument

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Module et argument
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Chapitre no 6
Leçon : Calcul avec les nombres complexes
Chap. préc. :Division de deux complexes
Chap. suiv. :Écriture exponentielle et trigonométrique
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Calcul avec les nombres complexes/Module et argument
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Module d’un nombre complexeModifier

DéfinitionModifier




Distance entre deux pointsModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème




Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Argument d’un nombre complexe non nulModifier

Wikipédia possède un article à propos de « Argument d’un nombre complexe ».


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Écriture trigonométriqueModifier

Cosinus et sinusModifier

Soit   un nombre complexe non nul, son module  , d'argument principal  , et M le point d'affixe z.

On considère le triangle dans le plan complexe, formé par l'origine, M et son projeté orthogonal sur l’axe des réels.

Les calculs respectivement du cosinus et du sinus d’une mesure de l'angle orienté   donnent les deux propriétés suivantes :

Forme trigonométriqueModifier

On sait que :   et  .

Et on a alors :  .


Changer d'écritureModifier

Soit z un nombre complexe non nul, sous la forme  , de module   et d'argument principal  .

Les propriétés énoncées lors des calculs du cosinus et du sinus permettent de passer d’une écriture à une autre :

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Égalité de deux nombres complexesModifier

Propriétés du moduleModifier

Propriétés algébriques de l'argumentModifier

ProduitModifier


 

Inverse et divisionModifier


PuissanceModifier

ConjuguésModifier


Calcul de l'argumentModifier

Calcul avec le cosinus et le sinusModifier

Connaissant la partie réelle et imaginaire d’un nombre complexe, on peut calculer son   et son  .

Il faut ensuite en déduire un angle   en « reconnaissant » les valeurs usuelles de cosinus et sinus.

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Calcul avec la tangenteModifier

L'argument est alors déterminé à   près, il faut décider entre   et   en utilisant le signe de   (généralement, on cherche la mesure principale, c’est celle qui est dans ]- ] ):

  • si   alors   est dans  
  • si   alors si   alors   et si   alors  
  • si   alors   est dans  


Remarque : Une rapide représentation des complexes  ,  ,   et   sur le cercle trigonométrique permet de synthétiser les règles précédentes.
Remarque : Les calculatrices renvoient généralement l'angle dans   mais ce résultat doit être révisé suivant la règle ci-dessus. Notons qu'en électricité, l'argument est :

  • Inférieur ou égal à   pour les montages du premier ordre (RC ou RL).
  • Inférieur ou égal à   pour les montages du second ordre (RLC).
  • Inférieur ou égal à   pour les montages du troisième ordre.
  • Inférieur ou égal à   pour les montages du quatrième ordre. Il faut donc impérativement tenir compte des modifications des remarques précédentes, en particulier pour l'étude de la stabilité des systèmes bouclés (se référer aux cours d'automatique).
    Remarque: En électronique la phase est fonction de la fréquence du signal qui parcourt le système.

    Argument d’une différenceModifier


      Faites ces exercices : Calcul de modules et d'arguments.