Complexes et géométrie/Devoir/Étude d'une transformation
Soit définie par :
- .
Dans le plan complexe , on associe à tout complexe le point d'affixe . Le point d'affixe est noté .
On note le point d'affixe . À la fonction , on associe alors la fonction , où désigne le plan privé de .
1° Sans calcul de coordonnées, en n'utilisant que les résultats connus sur les inverses et les conjugués :
- a) montrer que l'axe réel (privé de ) est globalement invariant par , c'est-à-dire que transforme tout point de cet axe en un point de cet axe ;
- b) déterminer l'ensemble des points invariants par ;
- c) montrer que et ont mêmes arguments, puis en déduire que , et sont alignés et que toute droite qui passe par est (privée de ) globalement invariante par ;
- d) montrer que et en déduire que l'image par d'un cercle de centre est un cercle de centre ;
- e) vérifier que est une involution (c'est-à-dire ).
2° Soit un cercle de rayon , centré en un point d'affixe .
- a) Démontrer que (si )
- et en déduire que est l'ensemble des points dont l'affixe vérifie :
- , où désigne le réel .
- b) En déduire que si alors est la médiatrice de , où est le point .
- c) En déduire, en utilisant 1° e), que l'image d'une droite qui ne passe pas par est un cercle passant par , dont on précisera géométriquement le centre.
- d) Déduire également de a) que si alors est un cercle — ne passant pas par , d'après b) et 1° e) — dont on calculera l'affixe du centre et le rayon.
Corrigé
1° a) .
- b) L'ensemble des points invariants par est le cercle unité.
- c) donc . Donc toute droite qui passe par est (privée de ) globalement invariante par .
- d) donc l'image par du cercle de centre et de rayon est le cercle de centre et de rayon .
- e) Si alors . Donc si alors .
2° a) . La caractérisation de s'ensuit.
- b) Si , c'est-à-dire si alors, en notant , le milieu de et son affixe :
- .
- est donc la médiatrice de .
- c) Soit une droite ne passant pas par . Soit le symétrique de par rapport à . D'après b) et 1° e), est le cercle passant par et de centre .
- d) Si alors et
- .
- est donc le cercle dont le centre a pour affixe et dont le rayon est égal à .
Note : est appelée l'inversion de pôle et de puissance . De manière générale, l'inversion de pôle un point et de puissance , fait correspondre, à chaque point distinct de , le point de la droite tel que :
Voir aussi :
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