Application (mathématiques)/Injection, surjection, bijection

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Soient $E$ et $F$ deux ensembles et $f:E\to F$ une application.

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Les types d’applications

Définition

On dit que $f$ est :

• injective ou est une injection si deux éléments quelconques de E ayant même image par f sont nécessairement égaux, c'est-à-dire
  $\forall x,x'\in E\quad f(x)=f(x')\Rightarrow x=x'$.
• surjective ou est une surjection si tout élément y de F possède au moins un antécédent par f, c'est-à-dire
  $\forall y\in F\quad \exists x\in E\quad y=f(x)$.
• bijective ou est une bijection si elle est à la fois injective et surjective.

Proposition

Faites ces exercices : Injection, surjection, bijection.

• Chacune des propriétés suivantes équivaut à « $f$ est injective » :
  • deux éléments distincts quelconques de E ont des images distinctes, c'est-à-dire
    $\forall x,x'\in E\quad \left(x\neq x'\Rightarrow f(x)\neq f(x')\right)$.
    (contraposée de l'implication de la définition de l'injectivité) ;
  • tout élément y de F possède au plus un antécédent par f ;
  • pour tout élément y de F l'équation f(x) = y, d'inconnue x, admet au plus une solution dans E ;
  • $\forall A,A'\in {\mathcal {P}}(E)\quad f(A\cap A')=f(A)\cap f(A')$, où ${\mathcal {P}}(E)$ désigne l'ensemble des parties de $E$ ;
  • $\forall A\in {\mathcal {P}}(E)\quad A=f^{-1}(f(A))$.
• Chacune des propriétés suivantes équivaut à « $f$ est surjective » :
  • pour tout élément y de F l'équation f(x) = y, d'inconnue x, admet au moins une solution dans E ;
  • Im(f) = F ;
  • $\forall B\in {\mathcal {P}}(F)\quad f(f^{-1}(B))=B$.
• Chacune des propriétés suivantes équivaut à « $f$ est bijective » :
  • tout élément y de F possède un unique antécédent par f, c'est-à-dire
    $\forall y\in F\quad \exists !x\in E\quad y=f(x)$.
  • pour tout élément y de F, l'équation f(x) = y, d'inconnue x, admet une unique solution dans E ;
  • $\forall A\in {\mathcal {P}}(E)\quad f\left(\complement _{E}A\right)=\complement _{F}f(A)$, où $\complement$ désigne le complémentaire.

Propriétés immédiates

Faites ces exercices : Injection, surjection, bijection.

• La composée de deux injections est injective.
• La composée de deux surjections est surjective.
• La composée de deux bijections est bijective.

Proposition

Faites ces exercices : Injection, surjection, bijection.

Soient E, F et G trois ensembles et $f:E\to F$ et $g:F\to G$ deux applications.

• Si $g\circ f$ est injective alors $f$ est injective.
• Si $g\circ f$ est surjective alors $g$ est surjective.

Application réciproque d’une application bijective

Définition

Supposons que $f:E\to F$ est bijective. Alors, l'application de F dans E, qui à tout élément de l’ensemble d'arrivée de f, associe son unique antécédent par f se note f ^-1 et s’appelle l'application réciproque de f.

Début d’un théorème

Théorème

L'application $f:E\to F$ est bijective si et seulement s'il existe une application $g:F\to E$ telle que

$g\circ f=\operatorname {Id} _{E}$ et $f\circ g=\operatorname {Id} _{F}$,

autrement dit, telle que

$\forall x\in E\quad \forall y\in F\quad \left(x=g(y)\Leftrightarrow y=f(x)\right)$.

De plus, dans ce cas, $g=f^{-1}$.

Fin du théorème

Corollaire

Pour toute bijection $f:E\to F$, l'application f ^-1 est bijective et $\left(f^{-1}\right)^{-1}=f$ (l'application réciproque de f ^-1 est f).

Remarque

L'application réciproque d’une application bijective étant aussi bijective, elle est aussi appelée bijection réciproque de f.

Définition : application involutive

Une application f d'un ensemble E dans lui-même est dite involutive si $f\circ f=\operatorname {Id} _{E}$.

Remarque

D'après le théorème précédent, f est alors bijective et $f^{-1}=f$ (f est sa propre bijection réciproque).

Début de l'exemple

Exemples d'involutions

• L'application identité d’un ensemble quelconque est involutive.
• La fonction inverse $K^{*}\to K^{*},\;x\mapsto {\frac {1}{x}}$ ($K=\mathbb {R}$ ou $\mathbb {C}$ par exemple) est involutive, ainsi que la fonction « opposé » $K\to K,\;x\mapsto -x$. Plus généralement, les fonctions homographiques de la forme $K\setminus \{a\}\to K\setminus \{a\},\;z\mapsto {\frac {az+b}{z-a}}$ (avec $a,b\in K$ et $b\neq -a^{2}$) sont involutives, ainsi que celles de la forme $K\to K,\;z\mapsto b-z$.
• La conjugaison ${\begin{matrix}\mathbb {C} &\to &\mathbb {C} \\z&\mapsto &{\overline {z}}\end{matrix}}$ est involutive.
• Soit E un ensemble. L'application ${\begin{matrix}{\mathcal {P}}(E)&\to &{\mathcal {P}}(E)\\X&\mapsto &\complement _{E}X\end{matrix}}$ est une involution de ${\mathcal {P}}(E)$.
• L'application ${\begin{matrix}\mathbb {R} ^{2}&\to &\mathbb {R} ^{2}\\(x,y)&\mapsto &(y,x)\end{matrix}}$ est une involution de $\mathbb {R} ^{2}$. Plus généralement, les symétries vectorielles sont des involutions.

Fin de l'exemple

Nous rencontrerons au chapitre « Application caractéristique » un autre exemple de bijection.