Complexes et géométrie/Exercices/Nombres complexes et géométrie

Exercice 1-1 (Milieu)

Soient $A$ et $B$ les points d'affixes respectives $a=1-\mathrm {i}$ et $b=-2+3\mathrm {i}$.

Quelle est l'affixe du milieu de $[AB]$ ?

Solution

L'affixe du milieu de $[AB]$ vaut :

${\frac {a+b}{2}}={\frac {1-\mathrm {i} -2+3\mathrm {i} }{2}}={\frac {-1+2\mathrm {i} }{2}}=-{\frac {1}{2}}+\mathrm {i}$.

 

Exercice 1-2 (Distance)

Soient $A$ et $B$ les points d'affixes respectives $a=1+\mathrm {i}$ et $b=3-2\mathrm {i}$.

Calculer la distance $AB$ comme module d'un nombre complexe.

Solution

${\begin{aligned}AB&=|b-a|\\&=|(3-2\mathrm {i} )-(1+\mathrm {i} )|\\&=|2-3\mathrm {i} |\\&={\sqrt {2^{2}+(-3)^{2}}}\\&={\sqrt {13}}.\end{aligned}}$

 

Exercice 1-3

Les points $A$, $B$ et $C$ ont pour affixes respectives : $-2-2\mathrm {i}$, $1-\mathrm {i}$ et $10+2\mathrm {i}$.

1. Déterminer les affixes des vecteurs ${\overrightarrow {AB}}$ et ${\overrightarrow {AC}}$.

2. En déduire que $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

3. Déterminer en utilisant 1) les réels $b$ et $c$ tels que :

• $A$ soit le barycentre de $(B,b)$ et $(C,c)$ et
• $b+c=1$.

Solution

1. ${\overrightarrow {AB}}=B-A=3+\mathrm {i}$ et ${\overrightarrow {AC}}=C-A=12+4\mathrm {i}$.

2. ${\overrightarrow {AC}}=4{\overrightarrow {AB}}$ donc $C\in (AB)$.

3. $4{\overrightarrow {AB}}-{\overrightarrow {AC}}={\overrightarrow {0}}$ et $4-1=3$ donc $b={\frac {4}{3}}$ et $c=-{\frac {1}{3}}$.

 

Exercice 1-4

1. Déterminer l’ensemble des points dont l'affixe vérifie :

$|z+6\mathrm {i} |=|z-4+\mathrm {i} |$.

2. Déterminer l’ensemble des points dont l'affixe vérifie :

$|2z-3\mathrm {i} +7|=4$.

3. Déterminer l’ensemble des points dont l'affixe vérifie :

$\left|{\frac {z-3\mathrm {i} +7}{z+\mathrm {i} }}\right|=2$.

Solution

1. Médiatrice de $[(0,-6),(4,-1)]$.

2. Cercle de centre $\left(-{\frac {7}{2}},{\frac {3}{2}}\right)$ et de rayon $2$.

3. Cercle de centre $\left({\frac {7}{3}},-{\frac {7}{3}}\right)$ et de rayon ${\frac {2{\sqrt {65}}}{3}}$ car

$(x+7)^{2}+(y-3)^{2}=4(x^{2}+(y+1)^{2})\Leftrightarrow \left(x-{\frac {7}{3}}\right)^{2}+\left(y+{\frac {7}{3}}\right)^{2}={\frac {260}{9}}$.

 

Exercice 1-5 (Petits problèmes)

Soient $A$, $B$ et $C$ les points d'affixes respectives :

$z_{A}=3$, $z_{B}={\frac {5+7\mathrm {i} }{2}}$ et $z_{C}={\frac {-1-\mathrm {i} }{2}}$.

1. Placer A, B et C sur une figure (prendre une unité de 2 cm).

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

2. Calculer $|z_{B}-z_{A}|$, $|z_{A}-z_{C}|$ et $|z_{C}-z_{B}|$.

Solution

• $|z_{B}-z_{A}|=\left|{\frac {5+7\mathrm {i} }{2}}-{\frac {6}{2}}\right|={\frac {|-1+7\mathrm {i} |}{2}}={\frac {\sqrt {(-1)^{2}+7^{2}}}{2}}={\frac {\sqrt {50}}{2}}={\frac {5}{\sqrt {2}}}$.
• $|z_{A}-z_{C}|=\left|{\frac {6}{2}}-{\frac {-1-\mathrm {i} }{2}}\right|={\frac {|7+\mathrm {i} |}{2}}={\frac {\sqrt {7^{2}+1^{2}}}{2}}={\frac {5}{\sqrt {2}}}$.
• $|z_{C}-z_{B}|=\left|{\frac {-1-\mathrm {i} }{2}}-{\frac {5+7\mathrm {i} }{2}}\right|=|-3-4\mathrm {i} |={\sqrt {(-3)^{2}+(-4)^{2}}}={\sqrt {25}}=5$.

 

3. Démontrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle.

Solution

$z_{B}-z_{A}={\frac {-1+7\mathrm {i} }{2}}$ et $z_{C}-z_{A}={\frac {-7-\mathrm {i} }{2}}=\mathrm {i} (z_{B}-z_{A})$, donc ABC est rectangle et isocèle en A.

 

4. Déterminer l'affixe $z_{I}$ du milieu I du segment [BC].

Solution

$z_{I}={\frac {z_{B}+z_{C}}{2}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {5+7\mathrm {i} }{2}}+{\frac {-1-\mathrm {i} }{2}}\right)={\frac {2+3\mathrm {i} }{2}}$.

 

5. En déduire l'affixe du point D tel que le quadrilatère ABDC soit un carré.

Solution

D est (par exemple) l'image de I par la translation de vecteur ${\overrightarrow {AI}}$. Son affixe est donc :

$z_{I}+(z_{I}-z_{A})=2z_{I}-z_{A}=2+3\mathrm {i} -3=-1+3\mathrm {i}$.

 

Exercice 1-6 (Avec des arguments)

On pose $z_{A}=3+3\mathrm {i}$ et $z_{B}=3-3\mathrm {i}$.

1. Placer les points A et B d'affixes $z_{A}$ et $z_{B}$ dans un repère.

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

2. Calculer les modules de z_A et z_B. Que peut-on en déduire sur le triangle $OAB$ ?

Solution

• $|z_{A}|=|3+3\mathrm {i} |={\sqrt {3^{2}+3^{2}}}=3{\sqrt {2}}$.
• $|z_{B}|=\left|{\overline {z_{A}}}\right|=|z_{A}|$, autrement dit : $OB=OA$, ou encore : OAB est isocèle en O.

 

3. Calculer un argument de $z_{A}$, puis de $z_{B}$. Que peut-on en déduire sur l'angle ${\widehat {AOB}}$?

Solution

• ${\frac {z_{A}}{|z_{A}|}}={\frac {3+3\mathrm {i} }{3{\sqrt {2}}}}={\frac {1+\mathrm {i} }{\sqrt {2}}}$ donc $\arg(z_{A})={\frac {\pi }{4}}\mod {2\pi }$.
• $\arg(z_{B})=\arg \left({\overline {z_{A}}}\right)=-\arg(z_{A})=-{\frac {\pi }{4}}\mod {2\pi }$.
• On en déduit que $({\overrightarrow {OB}},{\overrightarrow {OA}})={\frac {\pi }{4}}-\left(-{\frac {\pi }{4}}\right)={\frac {\pi }{2}}$. L'angle ${\widehat {AOB}}$ est donc un angle droit.

 

4. En déduire la nature du triangle OAB.

Solution

Le triangle OAB est isocèle rectangle en O. Plus précisément et plus directement : $\mathrm {i} z_{B}=z_{A}$.

 

Exercice 1-7 (Encore avec des arguments)

On a quatre points A, B, C et D d'affixes respectives $z_{A}=8$, $z_{B}=8\mathrm {i}$, $z_{C}=z_{A}\left(12-32\mathrm {i} \right)$ et $z_{D}=z_{B}\left(12+32\mathrm {i} \right)$.

1. Calculer le module et un argument de $z_{A}$, puis de $z_{B}$, $z_{C}$ et $z_{D}$.

2. Démontrer que les points A, B, C et D sont sur un même cercle, dont on précisera le centre et le rayon.

Solution

1. $|z_{A}|=|z_{B}|=8$ et (mod $2\pi$) $\arg(z_{A})=0$ et $\arg(z_{B})={\frac {\pi }{2}}$.

$|z_{C}|=|z_{D}|=8\times 4\times {\sqrt {3^{2}+8^{2}}}=32{\sqrt {73}}$ et (mod $2\pi$) $\arg(z_{C})=-\arctan(8/3)$ et $\arg(z_{D})={\frac {\pi }{2}}+\arctan(8/3)$.

2. D'après la question 1, les symétriques de A et C par rapport à la première bissectrice sont respectivement B et D, donc les quatre points sont sur un même cercle, dont le centre $\Omega$ est sur cet axe. On peut calculer ses coordonnées $(x,x)$ en résolvant l'équation $A\Omega ^{2}=C\Omega ^{2}$ :

$(x-8)^{2}+x^{2}=(x-8\times 12)^{2}+(x+8\times 32)^{2}\Leftrightarrow -x+4=x(-12+32)+4(12^{2}+32^{2})\Leftrightarrow x=-{\frac {4\times 389}{7}}$, et le rayon $r$ est donc donné par

$r^{2}=A\Omega ^{2}=(x-8)^{2}+x^{2}={\frac {16\times 313730}{49}}$, soit $r={\frac {4}{7}}{\sqrt {313730}}$.

 

Exercice 1-8 (Droite d'Euler)

Soient A, B et C trois points distincts d'un cercle de centre O (le point d'affixe 0) et a, b, c leurs affixes respectives.

1. Déterminer l'affixe de leur isobarycentre G.

2. Démontrer que le point H d'affixe $h=a+b+c$ est l'orthocentre du triangle ABC.

3. Montrer que les points O, G et H sont alignés.

Solution

1. $g={\frac {a+b+c}{3}}$.

2. Il suffit de montrer que H est sur la hauteur issue de C, c'est-à-dire que l'angle (AB,CH) est droit.

Pour cela, il faut et il suffit que ${\frac {h-c}{b-a}}$ soit imaginaire pur.

${\frac {h-c}{b-a}}={\frac {b+a}{b-a}}={\frac {(b+a)({\bar {b}}-{\bar {a}})}{\left|b-a\right|^{2}}}={\frac {a{\bar {b}}-{\bar {a}}b}{\left|b-a\right|^{2}}}={\frac {2\mathrm {i} \operatorname {Im} (a{\bar {b}})}{\left|b-a\right|^{2}}}$.

3. Les trois points sont alignés car ${\overrightarrow {OH}}=3{\overrightarrow {OG}}$.

 

Exercice 1-9 (Valeurs exactes de $\cos$ et $\sin$)

On considère les points $A_{0}$ et $A_{1}$ d'affixes respectives $a_{0}=1$ et $a_{1}=\operatorname {e} ^{\frac {\mathrm {i} \pi }{12}}$, l'image $A_{2}$ de $A_{1}$ par la rotation de centre $O$ et d'angle ${\frac {\pi }{12}}$, et le milieu $I$ du segment $[A_{0}A_{2}]$.

1. Donner les formes exponentielle et algébrique de l'affixe $a_{2}$ de $A_{2}$.

2. Montrer que la forme exponentielle de l'affixe de $I$ est $z_{I}=\cos {\frac {\pi }{12}}\operatorname {e} ^{\frac {\mathrm {i} \pi }{12}}$.

3. Montrer que les points $O$, $I$ et $A_{1}$ sont alignés.

4. Déterminer les valeurs exactes de $\cos {\frac {\pi }{12}}$ et $\sin {\frac {\pi }{12}}$. Pour simplifier l'écriture du résultat final, on pourra remarquer que $8+4{\sqrt {3}}=({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})^{2}$.

Solution

1. $(a_{2}-0)=(a_{1}-0)\operatorname {e} ^{\frac {\mathrm {i} \pi }{12}}$ donc la forme exponentielle de $a_{2}$ est

$a_{2}=a_{1}\operatorname {e} ^{\frac {\mathrm {i} \pi }{12}}=\left(\operatorname {e} ^{\frac {\mathrm {i} \pi }{12}}\right)^{2}=\operatorname {e} ^{2{\frac {\mathrm {i} \pi }{12}}}=\operatorname {e} ^{\frac {\mathrm {i} \pi }{6}}$

et sa forme algébrique est :

$a_{2}=\cos {\frac {\pi }{6}}+\mathrm {i} \,\sin {\frac {\pi }{6}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}+\mathrm {i} \,{\frac {1}{2}}$.

2. $z_{I}={\frac {a_{0}+a_{2}}{2}}={\frac {1+\operatorname {e} ^{\frac {\mathrm {i} \pi }{6}}}{2}}={\frac {\operatorname {e} ^{-{\frac {\mathrm {i} \pi }{12}}}+\operatorname {e} ^{\frac {\mathrm {i} \pi }{12}}}{2}}\operatorname {e} ^{\frac {\mathrm {i} \pi }{12}}=\cos {\frac {\pi }{12}}\operatorname {e} ^{\frac {\mathrm {i} \pi }{12}}$.

3. ${\overrightarrow {OI}}=\cos {\frac {\pi }{12}}\,{\overrightarrow {OA_{1}}}$ donc $O$, $I$ et $A_{1}$ sont alignés.

4. D'après les questions 1 et 2 :

$z_{I}={\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {\sqrt {3}}{2}}+\mathrm {i} \,{\frac {1}{2}}\right)$ ;

$\cos ^{2}{\frac {\pi }{12}}=\operatorname {Re} (z_{I})={\frac {2+{\sqrt {3}}}{4}}={\frac {8+4{\sqrt {3}}}{4^{2}}}=\left({\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}\right)^{2}$ ;

$\cos {\frac {\pi }{12}}\sin {\frac {\pi }{12}}=\operatorname {Im} (z_{I})={\frac {1}{4}}$.

On en déduit :

$\cos {\frac {\pi }{12}}={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}$ ;

$\sin {\frac {\pi }{12}}={\frac {1}{4\cos {\frac {\pi }{12}}}}={\frac {1}{{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}}={\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}$.