Complexes et géométrie/Exercices/Écritures complexes de transformations

Exercice 2-1

$ABCD$ est un carré de sens direct, $\left({\vec {AB}},{\vec {AD}}\right)={\frac {\pi }{2}}$.

$r$ est la rotation de centre $A$, d'angle ${\frac {\pi }{2}}$.

$t$ est la translation de vecteur ${\overrightarrow {AC}}$.

$s$ est la symétrie de centre $C$.

1°  Déterminez la nature et les éléments caractéristiques des transformations $f=t\circ r$, $g=s\circ t\circ r$, $h=f\circ g$.

2°  a)  Donner les écritures complexes de $f$ et $g$ dans un repère orthonormal que vous préciserez.

b)  Quels sont les points $M$ tels que $f(M)=g(M)$ ?

Solution

Dans le repère $\left(A,{\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AD}}\right)$ considéré comme orthonormal, les écritures complexes des applications considérées sont :

$r(z)=\mathrm {i} z$ ;

$t(z)=z+1+\mathrm {i}$ ;

$s(z)=-z+2(1+\mathrm {i} )$ ;

$f(z)=\mathrm {i} z+1+\mathrm {i}$ ;

$g(z)=s(f(z))=-(\mathrm {i} z+1+\mathrm {i} )+2(1+\mathrm {i} )=-\mathrm {i} z+1+\mathrm {i}$ ;

$h(z)=\mathrm {i} (-\mathrm {i} z+1+\mathrm {i} )+1+\mathrm {i} =z+2\mathrm {i}$

donc :

$f$ est la rotation d'angle ${\frac {\pi }{2}}$ et de centre le point d'affixe ${\frac {1+\mathrm {i} }{1-\mathrm {i} }}=\mathrm {i}$, c'est-à-dire le point $D$ ;

$g$ est la rotation d'angle $-{\frac {\pi }{2}}$ et de centre le point d'affixe ${\frac {1+\mathrm {i} }{1+\mathrm {i} }}=1$, c'est-à-dire le point $B$ ;

$h$ est la translation de vecteur $2{\overrightarrow {AC}}$ (donc $h=t\circ t$).

$f(M)=g(M)\Leftrightarrow f(M)=s(f(M))\Leftrightarrow f(M)=C\Leftrightarrow M=f^{-1}(C)\Leftrightarrow M=A$.

 

Exercice 2-2

1°  Soit $S$ la transformation qui à un point d'affixe $z$ associe le point d'affixe $z'=-z+2\mathrm {i}$. Prouvez que $S$ est une symétrie centrale et précisez son centre.

2°  Soit $R$ la rotation de centre $O$ et d'angle ${\frac {\pi }{2}}$.

Déterminez la nature et les éléments caractéristiques des transformations $R\circ S$ et $S\circ R$.

Solution

1°  $z'=-z+2\mathrm {i} \Leftrightarrow z'-\mathrm {i} =-(z-\mathrm {i} )$ donc $S$ est la symétrie de centre le point d'affixe $\mathrm {i}$.

2°  $R\circ S$ et $S\circ R$ sont deux rotations d'angle $-{\frac {\pi }{2}}$.

La première a pour centre le point dont l'affixe $u$ vérifie $u=\mathrm {i} (-u+2\mathrm {i} )$, c'est-à-dire $u={\frac {-2}{1+\mathrm {i} }}=-1+\mathrm {i}$.

La seconde a pour centre le point dont l'affixe $v$ vérifie $v=-\mathrm {i} v+2\mathrm {i}$, c'est-à-dire $v={\frac {2\mathrm {i} }{1+\mathrm {i} }}=1+\mathrm {i}$.

 

Exercice 2-3

Soit $\left(O,{\vec {u}},{\vec {v}}\right)$ un repère orthonormal direct du plan complexe.

1°  Donnez l'écriture complexe de $f$, symétrie axiale d'axe la droite d'équation $y=x$.

2°  Quelles sont les écriture complexe de $g$, symétrie axiale d'axe la droite de repère $\left(O,{\vec {u}}\right)$ et de $h$, symétrie axiale d'axe la droite de repère $\left(O,{\vec {v}}\right)$ ?

3°  Déterminez, grâce à ces écritures complexes, les applications $h\circ g$, $f\circ g$ et $h\circ f$.

Solution

1°  $f(z)=a{\bar {z}}+b$ et $f$ fixe $0$ et $1+\mathrm {i}$, donc $b=0$ et $a=\mathrm {i}$.

2°  $g(z)={\bar {z}}$ et $h(z)=-{\bar {z}}$.

3°  $(h\circ g)(z)=-z$ (symétrie centrale de centre $O$).

$(f\circ g)(z)=\mathrm {i} z$ (rotation d'angle ${\frac {\pi }{2}}$ et de centre $O$).

$(h\circ f)(z)=-{\overline {\left(\mathrm {i} {\bar {z}}\right)}}=\mathrm {i} z=(f\circ g)(z)$ (on pouvait aussi le déduire des deux lignes précédentes en remarquant que $h\circ f=h\circ g\circ g\circ f=(h\circ g)\circ (f\circ g)^{-1}$).

 

Exercice 2-4

1°  Soit $r$ la transformation du plan qui, au point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'=\mathrm {i} z-2\mathrm {i}$.

a)  Montrez que $r$ admet un unique point invariant $\Omega$. On notera $\omega$ son affixe.

b)  Montrer que $z'=\mathrm {i} z-2\mathrm {i}$, équivaut à $z'-\omega =\mathrm {i} \left(z-\omega \right)$.

c)  Montrer que, pour tout $M$ distinct de $\Omega$, $M'=r(M)$ équivaut à $\left(\Omega M'=\Omega M\quad {\text{et}}\quad ({\overrightarrow {\Omega M}},{\overrightarrow {\Omega M'}})={\frac {\pi }{2}}\right)$.

En déduire la nature de $r$.

2°  Soit $t$ la transformation qui au point $M(z)$ associe le point $M'$ d'affixe $z+2$. Quelle est la nature de $t$ ?

3°  Déterminez l'écriture complexe de la transformation $f:=r\circ t$ puis préciser sa nature.

4°  Précisez la nature de $g:=t\circ r$.

Solution

1°  a)  $\omega =\mathrm {i} \omega -2\mathrm {i} \Leftrightarrow \omega ={\frac {-2\mathrm {i} }{1-\mathrm {i} }}\Leftrightarrow \omega =1-\mathrm {i}$.

b)  $\mathrm {i} z-2\mathrm {i} =\mathrm {i} z+\omega \left(1-\mathrm {i} \right)=\mathrm {i} \left(z-\omega \right)+\omega$.

c)  Si $z\neq \omega$ alors $z'-\omega =\mathrm {i} \left(z-\omega \right)\Leftrightarrow {\frac {z'-\omega }{z-\omega }}=\mathrm {i} \Leftrightarrow {\frac {\left|z'-\omega \right|}{\left|z-\omega \right|}}=1{\text{ et }}\arg \left(z'-\omega \right)-\arg \left(z-\omega \right)={\frac {\pi }{2}}$.

$r$ est la rotation de centre $\Omega$ et d'angle ${\frac {\pi }{2}}$.

2°  $t$ est la translation dont le vecteur a pour affixe $2$.

3°  $f(z)=\mathrm {i} \,t(z)-2\mathrm {i} =\mathrm {i} \left(z+2\right)-2\mathrm {i} =\mathrm {i} z$ donc $f$ est la rotation d'angle ${\frac {\pi }{2}}$ et de centre $O$ (le point d'affixe $0$).

4°  $g(z)=r(z)+2=\mathrm {i} z-2\mathrm {i} +2$ donc $g$ est la rotation d'angle ${\frac {\pi }{2}}$ et de centre le point d'affixe ${\frac {-2\mathrm {i} +2}{1-\mathrm {i} }}=-2$ (le point $t^{-1}(O)$).

 

Exercice 2-5

Soient $B$, $C$ et $D$ les points d'affixes respectives $\mathrm {i}$, $-1$ et $-\mathrm {i}$. On note :

$R_{1}$ la rotation de centre $D$ et d'angle ${\frac {\pi }{2}}$ ;

$R_{2}$ la rotation de centre $B$ et d'angle $\pi$ ;

$R_{3}$ la rotation de centre $C$ et d'angle ${\frac {\pi }{2}}$.

1°  Donnez les écritures complexes de ces trois rotations.

2°  Déduisez-en l'écriture complexe de $T:=R_{1}\circ R_{2}\circ R_{3}$, puis la nature précise de $T$.

3°  Déterminez la nature et les éléments caractéristiques de $\varphi :=R_{3}\circ T$.

Solution

1°  $r_{1}(z)-d=\mathrm {i} \left(z-d\right)$ avec $d=-\mathrm {i}$ donc $r_{1}(z)=\mathrm {i} \left(z+\mathrm {i} \right)-\mathrm {i} =\mathrm {i} z-1-\mathrm {i}$.

$r_{2}(z)-b=-\left(z-b\right)$ avec $b=\mathrm {i}$ donc $r_{2}(z)=-\left(z-\mathrm {i} \right)+\mathrm {i} =-z+2\mathrm {i}$.

$r_{3}(z)-c=\mathrm {i} \left(z-c\right)$ avec $c=-1$ donc $r_{3}(z)=\mathrm {i} \left(z+1\right)+1=\mathrm {i} z-1+\mathrm {i}$.

2°  $(r_{1}\circ r_{2}\circ r_{3})(z)=\mathrm {i} \left[-\left(\mathrm {i} z-1+\mathrm {i} \right)+2\mathrm {i} \right]-1-\mathrm {i} =z+\mathrm {i} +1-2-1-\mathrm {i} =z-2$ donc $T$ est la translation dont le vecteur a pour affixe $-2$.

3°  $(r_{3}\circ t)(z)=\mathrm {i} \left(z-2\right)-1+\mathrm {i} =\mathrm {i} z-1-\mathrm {i}$ donc $\varphi$ est la rotation d'angle ${\frac {\pi }{2}}$ et de centre le point d'affixe ${\frac {-1-\mathrm {i} }{1-\mathrm {i} }}=-\mathrm {i}$.

 

Exercice 2-6

Soit $f$ la transformation dont l'écriture complexe est :

$z'={\frac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}\,{\bar {z}}+{\frac {-3+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}$.

1°  Soit $S$ la réflexion par rapport à l'axe des abscisses. Prouvez que $R:=S\circ f$ est une rotation dont vous préciserez le centre et l’angle.

2°  Déduisez-en que $f$ est une réflexion et précisez son axe.

Solution

1°  $(S\circ f)(z)={\overline {f(z)}}={\frac {-1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}z+{\frac {-3-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}$, or ${\frac {-1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}=\mathrm {e} ^{-{\frac {\mathrm {i} \pi }{3}}}$, donc

$R$ est la rotation d'angle $-{\frac {\pi }{3}}$ et dont le centre $\Omega$ a pour affixe ${\frac {\frac {-3-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}{1-{\frac {-1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}}}={\frac {-3-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{3+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}=-1$

2°  Comme $\Omega$ est fixe par $S$ et $R$, il est fixe par l'antidéplacement $f=S\circ R$, qui est donc une réflexion dont l'axe contient $\Omega$.

Plus précisément, cet axe a pour équation $x+\mathrm {i} y={\frac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}\left(x-\mathrm {i} y\right)+{\frac {-3+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}$, c'est-à-dire $y=(x+1){\sqrt {3}}$.

 

Exercice 2-7

On désigne par $S$ l'application du plan dans lui-même qui au point $M(x,y)$ associe le point $M'$ de coordonnées :

${\begin{cases}x'=x+y-2\\y'=-x+y+4.\end{cases}}$

1°  On note $z$ l’affixe de $M$ et $z'$ celle du point $M'=S(M)$. Exprimez $z'$ en fonction de $z$.

2°  a)  Montrer que $S$ a un unique point fixe $\Omega$ et déterminer son affixe.

b)  Quelle est la nature de $S$ ? Préciser.

3°  Soit $h$ l’homothétie de centre $\Omega$ et de rapport ${\frac {1}{\sqrt {2}}}$. Préciser la nature de $h\circ S$.

4°  Soient $A$ le point d'affixe $2$ et $B$ celui d'affixe $6$.

a)  Déterminer l'affixe du point $A'=S(A)$ et celle du point $B$ tel que $S(B)=B'$.

b)  Déterminer les réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $\Omega$ soit le barycentre du système pondéré $\{(A,\,\alpha ),\,(A',\,\beta ),\,(B,\,1),\,(B',\,2)\}$.

Solution

1°  En remplaçant $x$ par ${\frac {z+{\bar {z}}}{2}}$ et $y$ par ${\frac {z-{\bar {z}}}{2\mathrm {i} }}={\frac {\mathrm {i} \left({\bar {z}}-z\right)}{2}}$ dans $\left(x+y-2\right)+\mathrm {i} \left(-x+y+4\right)$, on trouve $z'=\left(1-\mathrm {i} \right)z-2+4\mathrm {i}$.

2°  a)  $\omega ={\frac {-2+4\mathrm {i} }{1-\left(1-\mathrm {i} \right)}}=4+2\mathrm {i}$.

b)  $S$ est la similitude directe de centre $\Omega$, de rapport $\left|1-\mathrm {i} \right|={\sqrt {2}}$ et d'angle $\arg \left(1-\mathrm {i} \right)=-{\frac {\pi }{4}}$.

3°  $h\circ S$ est la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $-{\frac {\pi }{4}}$.

4°  a)  $a'=2\left(1-\mathrm {i} \right)-2+4\mathrm {i} =2\mathrm {i}$ et $b'={\frac {6+2-4\mathrm {i} }{1-\mathrm {i} }}=2\left(2-\mathrm {i} \right)\left(1+\mathrm {i} \right)=6+2\mathrm {i}$.

b)  $\alpha +\beta +1+2\neq 0$ (qu'on vérifie à la fin) et

${\begin{aligned}\left(\alpha +\beta +1+2\right)\omega =\alpha a+\beta a'+b+2b'&\Leftrightarrow \left(\alpha +\beta +3\right)\left(4+2\mathrm {i} \right)=2\alpha +2\beta \mathrm {i} +6+12+4\mathrm {i} \\&\Leftrightarrow 4\left(\alpha +\beta +3\right)=2\alpha +18,\quad 2\left(\alpha +\beta +3\right)=2\beta +4\\&\Leftrightarrow 2\left(\alpha +\beta +3\right)=2\beta +4=\alpha +9\\&\Leftrightarrow \alpha =-1,\quad \beta =2.\end{aligned}}$

 

Exercice 2-8

Soient $S_{1},S_{2},S_{3}:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ définies par :

${\begin{cases}S_{1}(z)&=-\mathrm {i} z+1+3\mathrm {i} \\S_{2}(z)&=\mathrm {i} z+3-\mathrm {i} \\S_{3}&=S_{1}\circ S_{1}.\end{cases}}$

1°  Vérifiez que $S_{3}=S_{2}\circ S_{2}$.

2°  Caractérisez géométriquement les transformations du plan représentées par $S_{1},S_{2},S_{3}$.

Solution

1°  $S_{3}(z)=-\mathrm {i} \left(-\mathrm {i} z+1+3\mathrm {i} \right)+1+3\mathrm {i} =-z+4+2\mathrm {i}$.

${S_{2}}^{2}(z)=\mathrm {i} \left(\mathrm {i} z+3-\mathrm {i} \right)+3-\mathrm {i} =-z+4+2\mathrm {i}$.

2°  $S_{1}$ représente la rotation d'angle $-{\frac {\pi }{2}}$ et dont le centre a pour affixe ${\frac {1+3\mathrm {i} }{1+\mathrm {i} }}=2+\mathrm {i}$.

$S_{2}$ représente la rotation d'angle ${\frac {\pi }{2}}$ et dont le centre a pour affixe ${\frac {3-\mathrm {i} }{1-\mathrm {i} }}=2+\mathrm {i}$.

$S_{3}$ représente la rotation d'angle $-\pi \,(\equiv \pi {\bmod {2\pi }})$ et de même centre.

 

Exercice 2-9

Donnez les fonctions de $\mathbb {C}$ dans $\mathbb {C}$ représentant :

1. la translation de vecteur $1+2\mathrm {i}$ ;
2. la rotation de centre $0$ et d'angle $\pi /3$ ;
3. la similitude directe de centre $0$, d'angle $\pi /6$ et de rapport $2$ ;
4. la symétrie orthogonale par rapport à l'axe des réels ;
5. la rotation de centre $1+2\mathrm {i}$ et d'angle $\pi /3$ ;
6. la similitude directe de centre $1+2\mathrm {i}$, d'angle $\pi /6$ et de rapport $3$ ;
7. la symétrie orthogonale par rapport à la droite $(1+\mathrm {i} )\mathbb {R}$ ;
8. la symétrie orthogonale par rapport à la droite $1+(1-\mathrm {i} )\mathbb {R}$ ;
9. la symétrie orthogonale par rapport à la droite $1+\mathrm {i} +(1-\mathrm {i} )\mathbb {R}$.

Dans chaque cas, on donnera les transformés des points $0$ et $1-\mathrm {i}$.

On étudiera aussi quelques produits de ces transformations.

Solution

1. $z\mapsto z+1+2\mathrm {i}$.
2. $z\mapsto z\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /3}$.
3. $z\mapsto 2z\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /6}$.
4. $z\mapsto {\bar {z}}$.
5. $z\mapsto 1+2\mathrm {i} +\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /3}(z-1-2\mathrm {i} )$.
6. $z\mapsto 1+2\mathrm {i} +3\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \pi /6}(z-1-2\mathrm {i} )$.
7. $z\mapsto \mathrm {i} {\bar {z}}$.
8. $z\mapsto 1+\mathrm {i} -\mathrm {i} {\bar {z}}$.
9. $z\mapsto 2+2\mathrm {i} -\mathrm {i} {\bar {z}}$.

Bof+bof.