Complexes et géométrie/Exercices/Écritures complexes de transformations

Écritures complexes de transformations
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Exercices no2
Leçon : Complexes et géométrie

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Nombres complexes et géométrie
Exo suiv. :Détermination de transformations
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Complexes et géométrie/Exercices/Écritures complexes de transformations
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Exercice 2-1 modifier

  est un carré de sens direct,  .

  est la rotation de centre  , d'angle  .

  est la translation de vecteur  .

  est la symétrie de centre  .

 Déterminez la nature et les éléments caractéristiques des transformations  ,  ,  .

 a)  Donner les écritures complexes de   et   dans un repère orthonormal que vous préciserez.

b)  Quels sont les points   tels que   ?

Exercice 2-2 modifier

 Soit   la transformation qui à un point d'affixe   associe le point d'affixe  . Prouvez que   est une symétrie centrale et précisez son centre.

 Soit   la rotation de centre   et d'angle  .

Déterminez la nature et les éléments caractéristiques des transformations   et  .

Exercice 2-3 modifier

Soit   un repère orthonormal direct du plan complexe.

 Donnez l'écriture complexe de  , symétrie axiale d'axe la droite d'équation  .

 Quelles sont les écriture complexe de  , symétrie axiale d'axe la droite de repère   et de  , symétrie axiale d'axe la droite de repère   ?

 Déterminez, grâce à ces écritures complexes, les applications  ,   et  .

Exercice 2-4 modifier

 Soit   la transformation du plan qui, au point   d'affixe  , associe le point   d'affixe  .

a)  Montrez que   admet un unique point invariant  . On notera   son affixe.
b)  Montrer que  , équivaut à  .
c)  Montrer que, pour tout   distinct de  ,   équivaut à  .
En déduire la nature de  .

 Soit   la transformation qui au point   associe le point   d'affixe  . Quelle est la nature de   ?

 Déterminez l'écriture complexe de la transformation   puis préciser sa nature.

 Précisez la nature de  .

Exercice 2-5 modifier

Soient  ,   et   les points d'affixes respectives  ,   et  . On note :

  la rotation de centre   et d'angle   ;
  la rotation de centre   et d'angle   ;
  la rotation de centre   et d'angle  .

 Donnez les écritures complexes de ces trois rotations.

 Déduisez-en l'écriture complexe de  , puis la nature précise de  .

 Déterminez la nature et les éléments caractéristiques de  .

Exercice 2-6 modifier

Soit   la transformation dont l'écriture complexe est :

 .

 Soit   la réflexion par rapport à l'axe des abscisses. Prouvez que   est une rotation dont vous préciserez le centre et l’angle.

 Déduisez-en que   est une réflexion et précisez son axe.

Exercice 2-7 modifier

On désigne par   l'application du plan dans lui-même qui au point   associe le point   de coordonnées :

 

 On note   l’affixe de   et   celle du point  . Exprimez   en fonction de  .

 a)  Montrer que   a un unique point fixe   et déterminer son affixe.

b)  Quelle est la nature de   ? Préciser.

 Soit   l’homothétie de centre   et de rapport  . Préciser la nature de  .

 Soient   le point d'affixe   et   celui d'affixe  .

a)  Déterminer l'affixe du point   et celle du point   tel que  .
b)  Déterminer les réels   et   tels que   soit le barycentre du système pondéré  .

Exercice 2-8 modifier

Soient   définies par :

 

 Vérifiez que  .

 Caractérisez géométriquement les transformations du plan représentées par  .

Exercice 2-9 modifier

Donnez les fonctions de   dans   représentant :

  1. la translation de vecteur   ;
  2. la rotation de centre   et d'angle   ;
  3. la similitude directe de centre  , d'angle   et de rapport   ;
  4. la symétrie orthogonale par rapport à l'axe des réels ;
  5. la rotation de centre   et d'angle   ;
  6. la similitude directe de centre  , d'angle   et de rapport   ;
  7. la symétrie orthogonale par rapport à la droite   ;
  8. la symétrie orthogonale par rapport à la droite   ;
  9. la symétrie orthogonale par rapport à la droite  .

Dans chaque cas, on donnera les transformés des points   et  .

On étudiera aussi quelques produits de ces transformations.