Complexes et géométrie/Exercices/Pour les cracks

Exercice 11-1

Résolvez dans $\mathbb {C}$ l'équation :

$z^{3}=2-11\,\mathrm {i}$

après avoir montré que $2-\mathrm {i}$ est une solution.

Solution

$(2-\mathrm {i} )^{3}=2^{3}-3.2^{2}.\mathrm {i} +3.2.\mathrm {i} ^{2}-\mathrm {i} ^{3}=8-12\mathrm {i} -6+\mathrm {i} =2-11\,\mathrm {i}$.

Les solutions de $z^{3}=(2-\mathrm {i} )^{3}$ sont $z_{0}=2-\mathrm {i}$, $z_{1}=z_{0}\mathrm {j}$ et $z_{2}=z_{0}\mathrm {j} ^{2}=z_{0}{\overline {\mathrm {j} }}$ avec $\mathrm {j} ={\frac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}$.

$z_{1}={\frac {\left(2-\mathrm {i} \right)\left(-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)}{2}}={\frac {-2+{\sqrt {3}}+\mathrm {i} \left(1+2{\sqrt {3}}\right)}{2}}$

$z_{2}={\frac {\left(2-\mathrm {i} \right)\left(-1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}\right)}{2}}={\frac {-2-{\sqrt {3}}+\mathrm {i} \left(1-2{\sqrt {3}}\right)}{2}}$

 

Exercice 11-2

1°  Résolvez l'équation :

$z^{4}=8{\sqrt {2}}\left(1-\mathrm {i} \right)$.

2°  Situer dans le plan complexe, les images des solutions. Quelle est la particularité du polygone dont les sommets sont les points-images des solutions de l'équation ?

Solution

Les 4 racines quatrièmes de $8{\sqrt {2}}\left(1-\mathrm {i} \right)=2^{4}\operatorname {e} ^{-{\frac {\mathrm {i} \pi }{4}}}$ sont $2\operatorname {e} ^{-{\frac {\mathrm {i} \pi }{16}}}$ et son produit par $\mathrm {i}$, $-1$ et $-\mathrm {i}$. Elles forment un carré de centre $O$.

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Exercice 11-3

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct $(O;{\vec {u}},\,{\vec {v}})$.

1°  a)  Soit $A$ le point d'affixe $3+\mathrm {i}$ et $B$ le point d'affixe $6$.

Pour tout réel $u$, on considère les deux points $M_{u}$ d'affixe $3+\mathrm {i} \operatorname {e} ^{\mathrm {i} u}$ et $N_{u}$ d'affixe $3\left(1+\operatorname {e} ^{\mathrm {i} u}\right)$.

Montrez qu'il existe une unique similitude directe $T_{u}$ telle que $T_{u}(A)=M_{u}$ et $T_{u}(B)=N_{u}$.

b)  Déterminez les éléments caractéristiques de $T_{u}$.

c)  Soit $E$ l'ensemble des similitudes $T_{u}$, $u\in \mathbb {R}$.

Montrez que la composée de deux similitudes de $E$ est aussi une similitude de $E$.

2°  On pose $B_{0}=B,\,B_{1}=T_{\frac {\pi }{2}}(B),\,B_{2}=T_{\frac {\pi }{2^{2}}}(B_{1}),\,\cdots$ et pour tout $n$ non nul, $B_{n}=T_{\frac {\pi }{2^{n}}}(B_{n-1})$.

$B_{n}$ a-t-il une position limite quand $n$ tend vers $+\infty$ ?

Solution

1°  a)  L'unique solution du système $a\left(3+\mathrm {i} \right)+b=3+\mathrm {i} \operatorname {e} ^{\mathrm {i} u}$ et $6a+b=3\left(1+\operatorname {e} ^{\mathrm {i} u}\right)$ est $a=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} u},b=3\left(1-\operatorname {e} ^{\mathrm {i} u}\right)$.

b)  $T_{u}$ est la rotation d'angle $u$ et de centre le point d'affixe $3$.

c)  $T_{u}\circ T_{v}=T_{u+v}$.

2°  $B_{n}=T_{u_{n}}(B)$ avec $u_{n}:={\frac {\pi }{2}}+{\frac {\pi }{2^{2}}}+\dots +{\frac {\pi }{2^{n}}}={\frac {\pi }{2}}\left(1+{\frac {1}{2}}+\dots +{\frac {1}{2^{n-1}}}\right)=\pi \left(1-{\frac {1}{2^{n}}}\right)\to \pi$ donc $B_{n}\to T_{\pi }(B)=O$.

 

Exercice 11-4

Le plan orienté est muni d'un repère orthonormal direct d'origine $O$.

On note $A$ et $B$ les points ayant respectivement pour affixe $1$ et $\mathrm {i}$.

À tout point $M$ d'affixe $z$, on associe le point $N$ d'affixe $\mathrm {i} z$.

1°  Lorsque $M$ est distinct de $A$, donnez une mesure de l'angle $({\overrightarrow {AM}},{\overrightarrow {BN}})$.

2°  Déterminez et représentez sur une figure l'ensemble $E$ des points $M$ du plan, distincts de $A$ et $B$, tels que le triangle $MBN$ soit rectangle en $B$.

3°  Déterminez le lieu $D$ du milieu $I$ du segment $[MN]$ lorsque $M$ parcourt $E$.

Solution

1°  $({\overrightarrow {AM}},{\overrightarrow {BN}})=\arg {\frac {\mathrm {i} z-\mathrm {i} }{z-1}}=\arg \mathrm {i} ={\frac {\pi }{2}}$.

2°  ${\frac {\mathrm {i} z-\mathrm {i} }{z-\mathrm {i} }}\in \mathrm {i} \mathbb {R} \Leftrightarrow {\frac {z-1}{z-\mathrm {i} }}\in \mathbb {R}$ donc $E$ est la droite $(AB)$ privée des deux points $A$ et $B$.

3°  $z_{I}={\frac {1+\mathrm {i} }{2}}z$ donc $D$ est l'image de $E$ par une similitude directe $f$. Les points $A':=f(A)$ et $B':=f(B)$ ont pour affixes respectives ${\frac {1+\mathrm {i} }{2}}$ et ${\frac {\mathrm {i} -1}{2}}$. Puisque $f$ est une application affine, $D$ est la droite $(A'B')$ (d'équation $y={\frac {1}{2}}$) privée de ces deux points.