Complexes et géométrie/Exercices/Lieu géométrique
Exercice 9-1
modifierDans le plan orienté, soit un triangle rectangle isocèle de sommet et d'angle au sommet :
- .
À partir de chaque point du segment , on construit les points et , projetés orthogonaux respectifs de sur les droites et et les points et , sommets du carré de diagonale avec :
- .
Déterminer les lieux de et lorsque le point décrit .
En notant en minuscules les affixes, on peut supposer , et . Alors,
- , , .
- donc reste au milieu du segment .
- donc parcourt le segment de milieu translaté de .
Exercice 9-2
modifierLe plan est muni d'un repère orthonormal direct . À tout point d'affixe différente de , on associe le point d'affixe :
- .
1° Calculez les coordonnées et de en fonction des coordonnées et de .
2° Soit la droite d'équation .
- Soit le cercle de centre et de rayon .
- Montrez que, lorsque décrit la droite , se déplace sur le cercle .
3° a) Montrer que, lorsque décrit le cercle privé du point d'affixe , se déplace sur une droite.
- Précisez cette droite.
- b) Montrez que si le point est un point de différent de , alors les points , et sont alignés. Déduisez-en, dans ce cas, une construction de connaissant .
1° donc
- et .
2° .
3° a) D'après la question 1, . Donc quand , .
- b) D'après la question 1, . Donc quand , . Dans ce cas, .
Exercice 9-3
modifierLe plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct d'origine .
Soit un point, d'affixe , et soit le triangle équilatéral inscrit dans le cercle de centre , de rayon et tel que .
1° Déterminez, en fonction de , les affixes et des points et .
2° Soit le point d'affixe .
- Déterminez les points tels que est le milieu de .
3° On suppose, dans cette question, que décrit le cercle de centre le point d'affixe et de rayon .
- Déterminez l’ensemble des points tels que est un losange.
1° et , avec .
2° donc .
3° donc quand décrit le cercle de centre et de rayon , décrit celui de centre le point d'affixe et de rayon .
Exercice 9-4
modifierLe plan est muni d'un repère orthonormal direct.
1° Quels sont le module et l'argument de ?
2° Représentez dans le plan, les points d'affixe , d'affixe et d'affixe .
- Montrez que ces trois points sont alignés.
3° Déterminez l'ensemble des points d'affixe tels que les points d'affixe , d'affixe et d'affixe sont alignés.
1° et .
2° .3° Si alors . Sinon, l'alignement se traduit par , c'est-à-dire . En posant , la condition se réécrit :
- , ou encore : .
- L'ensemble des solutions est donc l'union du cercle unité et de l'axe réel.
Exercice 9-5
modifierSoient , définies par :
- et .
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal d'origine .
1° Pour tout point du plan, on note le point d'affixe et celui d'affixe .
- Déterminez une équation cartésienne de l’ensemble des points tels que , et sont alignés
2° Soit le point d'affixe . Déduisez de la question précédente que est l’ensemble des points tels que . Représentez alors .
3° a) Calculez l'affixe du barycentre des points , et affectés respectivement des coefficients , et .
- b) Montrer que décrit une droite fixe lorsque décrit le plan.
1° .
2° .
3° a) .
- b) décrit la droite d'équation .
Exercice 9-6
modifierLe plan est muni d'un repère orthonormal d'origine . Soit l’application de dans qui au point d'affixe associe le point d'affixe .
1° Déterminez et construisez l'image de l'ensemble des points d'ordonnée nulle.
2° Déterminez et construisez l'image de l'ensemble des points d'abscisse nulle.
3° Déterminez et construisez l'image du cercle de centre et de rayon .
1° C'est l'ensemble des points d'affixe avec , c'est-à-dire la parabole d'équation .
2° C'est l'ensemble des points d'affixe avec , c'est-à-dire la demi-droite d'équation .
3° C'est le cercle de rayon centré au point d'affixe .
Exercice 9-7
modifierDans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct , on note le point d'affixe . À tout point du plan, distinct de , on associe le point d'affixe .
1° Déterminez les points tels que .
2° Déterminez l'ensemble des points , distincts de , tels que soit sur la droite .
3° Soit un nombre complexe différent de :
- a) montrez que ;
- b) déterminez le lieu géométrique du point , lorsque décrit le cercle de centre et de rayon .
1° ou .
2° donc est le cercle de rayon centré au point de coordonnées .
3° a) .
- b) D'après a), l'image de ce cercle est lui-même.
Exercice 9-8
modifierLe plan est muni d'un repère orthonormal direct. désigne le plan privé de l'origine ; est un réel strictement positif.
Soit l'application qui à tout point d'affixe associe le point d'affixe .
1° a) Prouvez que est involutive (c'est-à-dire ).
- b) Cherchez ses points invariants.
2° Prouvez que équivaut à :
- et .
3° Quelle est l'image par :
- a) d'un cercle de centre ?
- b) d'une droite passant par , privée de ?
1° a) Si alors .
- b) .
2° .
3° D'après la question précédente :
- a) l'image du cercle de centre et de rayon est le cercle de centre et de rayon ;
- b) l'image d'une droite passant par (privée de ) est sa symétrique par rapport à la droite d'équation .