Complexes et géométrie/Exercices/Lieu géométrique

Lieu géométrique
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Exercices no9
Leçon : Complexes et géométrie

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Suite de points
Exo suiv. :Fonction complexe
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Complexes et géométrie/Exercices/Lieu géométrique
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Exercice 9-1

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Dans le plan orienté, soit   un triangle rectangle isocèle de sommet   et d'angle au sommet :

 .

À partir de chaque point   du segment  , on construit les points   et  , projetés orthogonaux respectifs de   sur les droites   et   et les points   et  , sommets du carré   de diagonale   avec :

 .

Déterminer les lieux de   et   lorsque le point   décrit  .

Exercice 9-2

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Le plan est muni d'un repère orthonormal direct  . À tout point   d'affixe   différente de  , on associe le point   d'affixe :

 .

 Calculez les coordonnées   et   de   en fonction des coordonnées   et   de  .

 Soit   la droite d'équation  .

Soit   le cercle de centre   et de rayon  .
Montrez que, lorsque   décrit la droite  ,   se déplace sur le cercle  .

 a)  Montrer que, lorsque   décrit le cercle   privé du point   d'affixe  ,   se déplace sur une droite.

Précisez cette droite.
b)  Montrez que si le point   est un point de   différent de  , alors les points  ,   et   sont alignés. Déduisez-en, dans ce cas, une construction de   connaissant  .

Exercice 9-3

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Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct d'origine  .

Soit   un point, d'affixe  , et soit   le triangle équilatéral inscrit dans le cercle de centre  , de rayon   et tel que  .

 Déterminez, en fonction de  , les affixes   et   des points   et  .

 Soit   le point d'affixe  .

Déterminez les points   tels que   est le milieu de  .

 On suppose, dans cette question, que   décrit le cercle de centre le point   d'affixe   et de rayon  .

Déterminez l’ensemble des points   tels que   est un losange.

Exercice 9-4

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Le plan est muni d'un repère orthonormal direct.

 Quels sont le module et l'argument de   ?

 Représentez dans le plan, les points   d'affixe  ,   d'affixe   et   d'affixe  .

Montrez que ces trois points sont alignés.

 Déterminez l'ensemble des points   d'affixe   tels que les points   d'affixe  ,   d'affixe   et   d'affixe   sont alignés.

Exercice 9-5

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Soient  , définies par :

  et  .

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal d'origine  .

 Pour tout point   du plan, on note   le point d'affixe   et   celui d'affixe  .

Déterminez une équation cartésienne de l’ensemble   des points   tels que  ,   et   sont alignés

 Soit   le point d'affixe  . Déduisez de la question précédente que   est l’ensemble des points   tels que  . Représentez alors  .

 a)  Calculez l'affixe du barycentre   des points  ,   et   affectés respectivement des coefficients  ,   et  .

b)  Montrer que   décrit une droite fixe lorsque   décrit le plan.

Exercice 9-6

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Le plan   est muni d'un repère orthonormal d'origine  . Soit   l’application de   dans   qui au point d'affixe   associe le point d'affixe  .

 Déterminez et construisez l'image de l'ensemble des points d'ordonnée nulle.

 Déterminez et construisez l'image de l'ensemble des points d'abscisse nulle.

 Déterminez et construisez l'image du cercle de centre   et de rayon  .

Exercice 9-7

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Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct  , on note   le point d'affixe  . À tout point   du plan, distinct de  , on associe le point   d'affixe  .

 Déterminez les points   tels que  .

 Déterminez l'ensemble   des points  , distincts de  , tels que   soit sur la droite  .

 Soit   un nombre complexe différent de   :

a)  montrez que   ;
b)  déterminez le lieu géométrique du point  , lorsque   décrit le cercle de centre   et de rayon  .

Exercice 9-8

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Le plan est muni d'un repère orthonormal direct.   désigne le plan privé de l'origine   ;   est un réel strictement positif.

Soit   l'application qui à tout point d'affixe   associe le point d'affixe  .

 a)  Prouvez que   est involutive (c'est-à-dire  ).

b)  Cherchez ses points invariants.

 Prouvez que   équivaut à :

  et  .

 Quelle est l'image par   :

a)  d'un cercle de centre   ?
b)  d'une droite passant par  , privée de   ?