Complexes et géométrie/Exercices/Rotation

Exercice 4-1

Au point d'affixe $z$, on associe le point d'affixe $z'$ par une rotation $f$ d'angle ${\frac {\pi }{2}}$ ; on sait que $f(A)=B$ où $A$ et $B$ ont pour affixes respectives $1+\mathrm {i}$ et $-2+2\mathrm {i}$.

Exprimez $z'$ en fonction de $z$.

Solution

$z'=\mathrm {i} \left(z-\left(1+\mathrm {i} \right)\right)-2+2\mathrm {i} =\mathrm {i} z-1+\mathrm {i}$.

 

Exercice 4-2

Les points $A$ et $B$ ont pour affixes les nombres complexes $a$ et $b$. En utilisant des rotations d'angle ${\frac {\pi }{2}}$ ou $-{\frac {\pi }{2}}$, déterminez les affixes des points $C$ et $D$ tels que $ABCD$ soit un carré de sens direct.

Solution

$c=b+\mathrm {i} \left(b-a\right)=-\mathrm {i} a+\left(1+\mathrm {i} \right)b$ et $d=a+\mathrm {i} \left(b-a\right)=\left(1-\mathrm {i} \right)a+\mathrm {i} b$.

 

Exercice 4-3

$A$ et $B$ sont deux points du plan orienté dans le sens usuel et tels que $AB=6\,{\text{cm}}$.

On note :

$r_{1}$ la rotation de centre $A$ et d'angle de mesure ${\frac {\pi }{3}}$ ;

$r_{2}$ la rotation de centre $B$ et d'angle de mesure $-{\frac {2\pi }{3}}$.

Pour tout point $M$ du plan, on note $M_{1}$ et $M_{2}$ les images respectives de $M$ par $r_{1}$ et $r_{2}$.

1°  $M$ étant un point quelconque, construisez les points $M_{1}$ et $M_{2}$.

2°  Le but de cette question est de démontrer que, pour tout point $M$ du plan, le milieu du segment $\left[M_{1}M_{2}\right]$ est un point fixe $I$.

On pose $f=r_{1}\circ r_{2}^{-1}$ où $r_{2}^{-1}$ désigne la transformation réciproque de $r_{2}$.

a)  Déterminez $f(M_{2})$.

b)  Montrez que $f$ est une symétrie centrale.

c)  Déduisez-en que le milieu de $\left[M_{1}M_{2}\right]$ est un point fixe $I$, que vous placerez sur la figure.

3°  Dans cette question, le plan est muni d'un repère orthonormal direct $(O;{\vec {u}},\,{\vec {v}})$ tel que $A$ et $B$ aient pour affixes respectives $-3$ et $3$. On note $z_{1}$ et $z_{2}$ les affixes respectives de $M_{1}$ et $M_{2}$.

$M$ est un point du plan, distinct de $A$ et de $B$, d'affixe $z$.

a)  Exprimez $z_{1}$ et $z_{2}$ en fonction de $z$.

Montrez que : ${\frac {z_{2}-z}{z_{1}-z}}=\mathrm {i} {\sqrt {3}}{\frac {z-3}{z+3}}$.

b)  Déduisez-en que :

(1) $({\overrightarrow {MM_{1}}},{\overrightarrow {MM_{2}}})\equiv ({\overrightarrow {MA}},\,{\overrightarrow {MB}})+{\frac {\pi }{2}}{\pmod {2\pi }}$ ;

(2) ${\frac {MM_{2}}{MM_{1}}}={\sqrt {3}}\,{\frac {MB}{MA}}$.

c)  Déterminez à l'aide de l'égalité (1) l'ensemble $\Gamma$ des points $M$ du plan tels que $M$, $M_{1}$ et $M_{2}$ soient alignés.

Construisez $\Gamma$ sur la figure de la question 1°.

Solution

1°  Pour placer $M_{1}$, on construit au compas un triangle équilatéral direct $AMM_{1}$. Pour placer $M_{2}$, on procède de même à partir de $BM$ mais dans le sens indirect et deux fois de suite.

2°  a)  $f(M_{2})=M_{1}$.

b)  $f$ est une rotation d'angle ${\frac {2\pi }{3}}+{\frac {\pi }{3}}=\pi$.

c)  Son centre $I$ (qui ne dépend pas de $M$) est le milieu de $\left[M_{1}M_{2}\right]$, d'après a) et b).

3°  a)  $z_{1}={\frac {1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}\left(z+3\right)-3={\frac {1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}z+3{\frac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}$ et

$z_{2}={\frac {-1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}\left(z-3\right)+3={\frac {-1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}z+3{\frac {3+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}$.

${\frac {z_{2}-z}{z_{1}-z}}={\frac {{\frac {-3-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}(z-3)}{{\frac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}(z+3)}}=\mathrm {i} {\sqrt {3}}\,{\frac {z-3}{z+3}}$.

b)  Immédiat.

c)  $M\in \Gamma \Leftrightarrow {\overrightarrow {MA}}\perp {\overrightarrow {MB}}$ donc $\Gamma$ est le cercle de diamètre $[A,B]$.

 

Exercice 4-4

Existe-t-il une rotation qui envoie $A(3,2)$ sur $A'(1,2)$ et $B(2,-3)$ sur $B'(6,1)$ ? Dans l'affirmative, préciser le centre et l'angle de cette rotation.

Solution

La solution de $a(3+2\mathrm {i} )+b=1+2\mathrm {i}$ et $a(2-3\mathrm {i} )+b=6+\mathrm {i}$ est $a=\mathrm {i} ,\;b=3-\mathrm {i}$.

Puisque $a=\mathrm {i}$, la similitude directe $z\mapsto az+b$ est une rotation d'angle ${\frac {\pi }{2}}$.

Son centre est son point fixe, d'affixe ${\frac {b}{1-a}}={\frac {3-\mathrm {i} }{1-\mathrm {i} }}={\frac {(3-\mathrm {i} )(1+\mathrm {i} )}{2}}={\frac {4+2\mathrm {i} }{2}}=2+\mathrm {i}$.