Complexes et géométrie/Exercices/Détermination de transformations

Détermination de transformations
Image logo représentative de la faculté
Exercices no3
Leçon : Complexes et géométrie

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Écritures complexes de transformations
Exo suiv. :Rotation
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Détermination de transformations
Complexes et géométrie/Exercices/Détermination de transformations
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.



Exercice 3-1 modifier

Dans chaque cas, donnez l'écriture complexe de la transformation considérée.

 Homothétie de rapport   et de centre d'affixe  .

 Symétrie centrale de centre d'affixe  .

 Rotation d'angle  , de centre d'affixe  .

 Rotation d'angle   de centre d'affixe  .

Exercice 3-2 modifier

Soit   la transformation dont l'écriture complexe est  .

 Que pouvez-vous dire de   ? Rechercher les éventuels points invariants.

 Soit   la symétrie orthogonale par rapport à la droite   d'équation  . Si   est un point de coordonnées  , quelles sont les coordonnées de   ?

Exprimez l'affixe de   en fonction de celle de  . Concluez sur la nature de  .

Exercice 3-3 modifier

Soit   la transformation dont l'écriture complexe est  .

 Prouvez que   est un antidéplacement sans points invariants.

 Prouvez que   est une translation dont vous préciserez le vecteur  .

 Soit  . Donnez l'écriture complexe de  . Déterminez l'application  .

 Déduisez de ce qui précède que   est la composée (commutative) d'une réflexion d'axe   et d'une translation de vecteur  ,   étant un vecteur directeur de  .

Exercice 3-4 modifier

Soient  ,  ,   et   les points d'affixes respectives :

 .

 Déterminer le module et un argument de chacun de ces complexes, et placez alors très précisément les quatre points.

Quelle est la nature du quadrilatère   ?

   et   sont les transformations qui, à tout point   d'affixe   associent respectivement les points   d'affixe   et   d'affixe  .

a)  Précisez la nature de   et  .
b)  On pose  . À tout point d'affixe  ,   associe le point d'affixe  . Calculez   en fonction de  .
c)  Placez, sans calculer leurs affixes, les images  ,  ,   et   par   des points  ,  ,   et  .

Exercice 3-5 modifier

Soit   la transformation dont l'écriture complexe est

 .

 Démontrer que   possède un point invariant   que vous préciserez.

 Soit   l'homothétie de centre   et de rapport  .

Démontrez qu'il existe une application   telle que   et caractérisez l'application  .

Exercice 3-6 modifier

Soient   et   l'application qui associe, à tout point d'affixe  , le point d'affixe  , où   est un nombre complexe fixé.

 Démontrez qu'il existe deux valeurs   et   de   pour lesquelles   est une isométrie.

 Démontrez que   est une rotation dont vous préciserez l'angle.

Exercice 3-7 modifier

Soient   définies par :

  et  .

On note   et   les transformation du plan complexe associées.

 Précisez la nature de  ,  ,   et   et donnez leurs éléments caractéristiques.

 En comparant   et  , déterminez l'application du plan qui transforme   en  .

Exercice 3-8 modifier

 Soit   la transformation du plan qui, au point   de coordonnées  , associe le point   de coordonnées

 
Le point   a pour affixe   et   a pour affixe  .
Exprimez   en fonction de  . Précisez la nature de  .

 Soit   la transformation qui au point   d'affixe   associe le point   d'affixe  .

Précisez la nature et les éléments caractéristiques de  .

 Soit   la transformation  .

À tout point   d'affixe  ,   associe le point   d'affixe  .
a)  Exprimez   en fonction de  , puis   et   en fonction de   et  .
b)  Quelle est l'image par   du point   ?
c)  Montrez que   est une rotation de centre   et précisez son angle.