Complexes et géométrie/Exercices/Détermination de transformations
Exercice 3-1
modifierDans chaque cas, donnez l'écriture complexe de la transformation considérée.
1° Homothétie de rapport et de centre d'affixe .
2° Symétrie centrale de centre d'affixe .
3° Rotation d'angle , de centre d'affixe .
4° Rotation d'angle de centre d'affixe .
1° .
2° .
3° .
4° .
Exercice 3-2
modifierSoit la transformation dont l'écriture complexe est .
1° Que pouvez-vous dire de ? Rechercher les éventuels points invariants.
2° Soit la symétrie orthogonale par rapport à la droite d'équation . Si est un point de coordonnées , quelles sont les coordonnées de ?
- Exprimez l'affixe de en fonction de celle de . Concluez sur la nature de .
.
Exercice 3-3
modifierSoit la transformation dont l'écriture complexe est .
1° Prouvez que est un antidéplacement sans points invariants.
2° Prouvez que est une translation dont vous préciserez le vecteur .
3° Soit . Donnez l'écriture complexe de . Déterminez l'application .
4° Déduisez de ce qui précède que est la composée (commutative) d'une réflexion d'axe et d'une translation de vecteur , étant un vecteur directeur de .
1° Immédiat.
2° donc est une translation dont le vecteur a pour affixe .
3° donc est la symétrie orthogonale par rapport à l'axe des abscisses.
4° .
Exercice 3-4
modifierSoient , , et les points d'affixes respectives :
- .
1° Déterminer le module et un argument de chacun de ces complexes, et placez alors très précisément les quatre points.
- Quelle est la nature du quadrilatère ?
2° et sont les transformations qui, à tout point d'affixe associent respectivement les points d'affixe et d'affixe .
- a) Précisez la nature de et .
- b) On pose . À tout point d'affixe , associe le point d'affixe . Calculez en fonction de .
- c) Placez, sans calculer leurs affixes, les images , , et par des points , , et .
1° , , et . est un carré de centre .
2° a) est la rotation de centre et d'angle ; est la translation dont le vecteur a pour affixe .
- b)
- c) est le carré translaté par de .
Exercice 3-5
modifierSoit la transformation dont l'écriture complexe est
- .
1° Démontrer que possède un point invariant que vous préciserez.
2° Soit l'homothétie de centre et de rapport .
- Démontrez qu'il existe une application telle que et caractérisez l'application .
1° La solution de est .
2° donc où a pour écriture complexe , ou encore : . C'est donc la symétrie orthogonale par rapport à la droite passant par et de pente .
Exercice 3-6
modifierSoient et l'application qui associe, à tout point d'affixe , le point d'affixe , où est un nombre complexe fixé.
1° Démontrez qu'il existe deux valeurs et de pour lesquelles est une isométrie.
2° Démontrez que est une rotation dont vous préciserez l'angle.
1° est de module lorsque . Les deux solutions sont et .
2° L'écriture complexe de est de la forme avec donc est une rotation d'angle .
Exercice 3-7
modifierSoient définies par :
- et .
On note et les transformation du plan complexe associées.
1° Précisez la nature de , , et et donnez leurs éléments caractéristiques.
2° En comparant et , déterminez l'application du plan qui transforme en .
1° est la rotation de centre et d'angle .
- est la translation dont le vecteur a pour affixe .
- et sont donc des rotations d'angle .
- donc le centre de a pour affixe .
- donc le centre de a pour affixe .
2° L'application qui transforme en est la translation dont le vecteur a pour affixe .
Exercice 3-8
modifier1° Soit la transformation du plan qui, au point de coordonnées , associe le point de coordonnées
- Le point a pour affixe et a pour affixe .
- Exprimez en fonction de . Précisez la nature de .
2° Soit la transformation qui au point d'affixe associe le point d'affixe .
- Précisez la nature et les éléments caractéristiques de .
3° Soit la transformation .
- À tout point d'affixe , associe le point d'affixe .
- a) Exprimez en fonction de , puis et en fonction de et .
- b) Quelle est l'image par du point ?
- c) Montrez que est une rotation de centre et précisez son angle.
1° donc est la translation dont le vecteur a pour affixe .
2° est la rotation de centre et d'angle .
3° a) donc et .
- b) donc .
- c) D'après 2°, est une rotation d'angle . D'après la question précédente, son centre est .