Continuité et variations/Exercices/Langage de la continuité

Exercice 1-1

$f$ est une fonction définie sur $[-2,2]$, avec $f(0)=1$ et $f$ n'est pas continue en 0.

Tracer une courbe qui pourrait représenter $f$.

Solution

 

Exercice 1-2

$f$ est la fonction définie sur $\mathbb {R} \setminus \{0\}$ par :

$f(x)={\frac {\operatorname {e} ^{x}-1}{x}}$.

Quelle valeur faudrait-il attribuer à $f(0)$ pour prolonger $f$ par continuité en 0 ?

Solution

L'expression de $f$ se rapproche de l’expression de la dérivée de la fonction exponentielle en 0, nous allons démontrer cela.

On note $g(x)=\operatorname {e} ^{x}$, nous allons calculer la dérivée de $g$ en 0 en utilisant la définition par la limite de la dérivée.

$g'(0)=\lim _{x\to 0}{\frac {g(x)-g(0)}{x-0}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {e} ^{x}-\operatorname {e} ^{0}}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {e} ^{x}-1}{x}}$.

Or $g'(0)=1$.

Donc $\lim _{x\to 0}f(x)=\lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {e} ^{x}-1}{x}}=1$.

On peut donc prolonger la fonction $f$ par continuité en 0 en posant $f(0)=1$.

 

Exercice 1-3

Soit $f$ la fonction définie par

$f(x)={\begin{cases}x^{3}-2x^{2}+\alpha x+2&{\text{si }}x<2\\x^{2}\ln x&{\text{si }}x\geq 2.\end{cases}}$

1. Déterminer le réel $\alpha$ pour que $f$ soit continue sur $\mathbb {R}$.
2. Avec cette valeur de $\alpha$, la fonction $f$ est-elle dérivable sur $\mathbb {R}$ ?

Solution

1. Par construction, la seule contrainte pour que $f$ soit continue sur $\mathbb {R}$ est $\lim _{x\to 2^{-}}f(x)=f(2)$, c'est-à-dire $2^{3}-2\times 2^{2}+2\alpha +2=2^{2}\ln 2$, soit $\alpha =4\ln 2-1$.
2. La dérivée à gauche de $f$ en 2 est alors égale à $(x^{3}-2x^{2}+\alpha x+2)'(2)=(3x^{2}-4x+\alpha )(2)=12-8+2\ln 2-1=3+2\ln 2$, tandis que sa dérivée à droite est $(x^{2}\ln x)'(2)=(2x\ln x+x)(2)=2+4\ln 2>3+2\ln 2$. La fonction n'est donc pas dérivable en 2.

 

Exercice 1-4

1. Étudier la fonction $f$ définie par

   $f(x)={\sqrt {x^{2}-1}}$
   (domaine de définition, parité, domaine de dérivation, calcul de $f'$, variations, limites aux bornes, graphe).

2. La fonction $g$ définie par

   $g(x)={\begin{cases}f(x)&{\text{si }}|x|\geq 1\\\operatorname {e} ^{\frac {1}{x^{2}-1}}&{\text{si }}-1<x<1\end{cases}}$
   est-elle continue sur $\mathbb {R}$ ?

Solution

1. $f$ est définie sur $\left]-\infty ,-1\right]\cup \left[1,-\infty \right[$ et dérivable sur $\left]-\infty ,-1\right[\cup \left]1,-\infty \right[$, avec $f'(x)={\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}$. Elle est paire.
   ${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&-1&&1&&+\infty \\\hline &+\infty &&&&&&+\infty \\f(x)&&\searrow &&&&\nearrow &\\&&&0&&0&&\\\hline \end{array}}$
   Graphe.
2. $\lim _{1^{-}}g=\operatorname {e} ^{\frac {1}{0^{-}}}=\operatorname {e} ^{-\infty }=0=g(1)$ et de même, $\lim _{(-1)^{+}}g=g(-1)$ donc $g$ est continue partout

 

Exercice 1-5

La fonction $f$ définie par

$f(x)={\begin{cases}x(x+5)+1&{\text{si }}x<0\\1+3x\operatorname {e} ^{-x^{2}}&{\text{si }}x\geq 0\end{cases}}$

est-elle continue sur $\mathbb {R}$ ? Calculer ses limites en $-\infty$ et $+\infty$.

Solution

Par construction, la seule contrainte pour que $f$ soit continue sur $\mathbb {R}$ est $\lim _{x\to 0^{-}}f(x)=f(0)$, c'est-à-dire $0(0+5)+1=1+3\times 0$, qui est bien réalisée.

$\lim _{-\infty }f=\lim _{x\to -\infty }(x^{2}+5x+1)=+\infty$ et $\lim _{+\infty }f=\lim _{x\to +\infty }(1+3x\operatorname {e} ^{-x^{2}})=1$ (par croissances comparées).

 

Exercice 1-6

Graphe de $f$.

Graphe de $g$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb {R}$ dont le graphe (constitué de segments de droites et d'une portion de parabole) est à gauche.

1. À quelle condition sur le réel a la fonction $f$ est-elle continue en $-1$ ?
2. Si cette condition est vérifiée, la fonction est-elle dérivable en $-1$ ?
3. La fonction est-elle continue en $1$ ? dérivable en $1$ ?
4. Mêmes questions pour la fonction $g$ définie sur $\mathbb {R}$ dont le graphe est à droite.

Solution

1. $a=1$.
2. Oui.
3. Oui ; non.
4. $a=2$. Oui. Oui ; non.

 

Exercice 1-7

Soit la fonction $f$ définie par

$f(x)={\begin{cases}x\operatorname {e} ^{x}&{\text{si }}x\leq 1\\ax+b&{\text{si }}x>1.\end{cases}}$

Trouver $a$ et $b$ réels pour que $f$ soit dérivable en $1$.

Solution

$f(1)=\mathrm {e}$ et la dérivée de $x\mapsto x\operatorname {e} ^{x}$ est $x\mapsto (1+x)\operatorname {e} ^{x}$ donc la dérivée à gauche de $f$ en $1$ est $2\mathrm {e}$ et l'équation de la tangente à gauche au graphe de $f$ au point d'abscisse $1$ est $y=2\mathrm {e} (x-1)+\mathrm {e}$.

$f$ est donc dérivable en $1$ si et seulement si $a=2\mathrm {e}$ et $b=-\mathrm {e}$.