Continuité et variations/Exercices/Théorème des valeurs intermédiaires
Exercice 2-1
modifierest la fonction définie sur par :
- .
Le but de l'exercice est de démontrer l'existence d'une solution à l'équation .
1. Justifier la continuité de sur .
2. Calculer , , les comparer à 8.
3. Conclure.
Exercice 2-2
modifierest définie et continue sur par .
Le tableau de variations de est le suivant :
On admettra que les variations représentées sont strictes, c'est-à-dire que la fonction est soit strictement croissante, soit strictement décroissante sur les intervalles représentés.
1. En justifiant votre réponse, déterminer le nombre de solutions de l'équation dans .
2. a. Justifier que l'équation admet une solution unique, α, dans l'intervalle .
b. Déterminer un encadrement de α entre deux entiers consécutifs (en justifiant votre réponse).
c. Déterminer une valeur approchée par excès de α au millième près (en justifiant votre réponse).
3. On admet que l'équation admet une solution unique β dans [-3 ; -1]. Déterminer un encadrement de β à 10-2 près (en justifiant la réponse).
1.
- est strictement croissante sur [-4 ; -3], à valeurs dans [-1 ; 3] contenant 2. Donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires pour les fonctions strictement monotones, l'équation admet une solution unique dans [-4 ; -3] ;
- est strictement décroissante sur [-3 ; -1], donc le même théorème assure que l'équation admet aussi une solution unique sur [-3 ; -1] ;
- est strictement croissante sur [-1 ; 1], à valeurs dans [-1 ; 19] qui contient 2 donc, d’après le même théorème, l'équation admet une solution unique dans [-1 ; 1].
Conclusion : L'équation admet exactement 3 solutions dans [-4 : 1].
2. a. Nombre de solutions de l'équation :
admet en -3 un maximum égal à 3 sur l'intervalle [-4 ; -1] donc 4 n'a pas d'antécédent dans cet intervalle, l'équation n'admet donc pas de solution sur [-4 ; -1].
Sur [-1 ; 1], est strictement croissante et prend ses valeurs dans [-1 ; 19]. Or, 4 ∈ [-1 ; 19]. Donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires pour les fonctions strictement monotones, l'équation admet une solution unique dans [-1 ; 1].
Conclusion : L'équation admet une solution unique α dans [-4 ; 1].
b. D'après la question précédente, α ∈ [-1 ; 1]. Or, donc 3 < 4 < 19, c'est-à-dire .
Conclusion : α ∈ [0 ; 1] (encadrement de α par deux entiers consécutifs).
c. Valeur approchée par excès de α au millième près :
- encadrement au dixième près :
ƒ(0,1) ≈ 3,961 et ƒ(0,2) ≈ 5,048 donc ƒ(0,1) < 4 < ƒ(0,2), car est strictement croissante
- donc 0,1 < α < 0,2.
- encadrement au centième près :
ƒ(0,10) ≈ 3,961 et ƒ(0,11) ≈ 4,063 donc ƒ(0,10) < 4 < ƒ(0,11), car est strictement croissante
- donc 0,10 < α < 0,11.
- encadrement au millième près :
ƒ(0,103) ≈ 3,992 et ƒ(0,104) ≈ 4,002
- or ƒ(0,103) < 4 < ƒ(0,104) et 0,103 < α < 0,104
- donc 0,103 < α < 0,104 encadrement au millième près de α.
Conclusion : α ≈ 0,104 (valeur approchée par excès au millième).
3. β solution de l'équation (encadrement à 10-2 près) avec β ∈ [-3 ; 1].
Sur [-3 ; -1], est décroissante, donc si alors x < β et si alors x > β.
- à l'entier près : ƒ(-2) = 1 et ƒ(-1) = -1 donc ƒ(-2) > 0 > ƒ(-1)
- au dixième près : ƒ(-1,7) ≈ 0,127 et ƒ(-1,6) ≈ -0,136
- donc ƒ(-1,7) > 0 > ƒ(-1,6)
- soit -1,7 < β < -1,6 (à 10-1 près)
- au centième près : ƒ(-1,66) ≈ 0,019 et ƒ(-1,65) ≈ -0,07
- donc ƒ(-1,66) > 0 > ƒ(-1,65)
Conclusion : -1,66 < β < -1,65, encadrement à 10-2 près de β.
Exercice 2-3
modifierSoit définie par .
- Déterminer les limites de en et en .
- Montrer qu'il existe un réel tel que .
- et par croissances comparées, .
- Il existe donc tels que et . Comme est continue sur , il existe alors (d'après le T.V.I.) un réel tel que .
Exercice 2-4
modifierSoit définie par .
Montrer qu'il existe un réel tel que .
Cette équation équivaut à , en posant .
Par croissances comparées, , or . Il existe donc tel que . Par ailleurs, .
Puisque et que est continue sur , il existe (d'après le T.V.I.) un réel tel que .
Soit définie par .
Montrer qu'il existe un réel tel que . Cette équation équivaut à , en posant .
Par croissances comparées, . Il existe donc tel que . Par ailleurs, .
Puisque et que est continue sur , il existe (d'après le T.V.I.) un réel tel que .
Exercice 2-5
modifierOn s'intéresse à la recherche des solutions de pour définie par
- .
- Montrer qu'il existe une unique solution dans .
- Utiliser la dichotomie pour localiser dans un intervalle de longueur .
- Tracer l'allure du graphe de sur .
- En déduire le point de départ et le schéma de Newton adapté à dans l'intervalle . On prendra soin de bien expliciter la relation de récurrence.
- Calculer les premiers itérés de la méthode de Newton et en déduire en justifiant les 6 premières décimales exactes de .
- L'existence de est garantie par le théorème des valeurs intermédiaires, car est continue sur , strictement négative en et strictement positive en . Justifions l'unicité en montrant que est strictement monotone sur cet intervalle. sur car ses deux racines sont , puisque leur produit et leur somme est .
- donc .
donc . - sur , , . Graphe et tangentes.
- est convexe et croissante donc il vaut mieux partir de . avec .
- , , , … tiens donc ! ne serait-il pas égal à ? Vérifions : . Donc , à près par défaut. (On peut aussi justifier cette approximation en vérifiant que et .)
Remarquons qu'on pouvait trouver directement par recherche d'une solution rationnelle de l'équation : si avec entiers premiers entre eux, alors et divisent donc est égal à , ou , et la seule de ces 6 valeurs qui appartient à est . Cette approche permet de plus de trouver les deux autres zéros de (dans : et , et donc de factoriser : .
Exercice 2-6
modifierUn mobile parcourt une distance en une unité de temps. Montrer qu'il existe un intervalle d'une demi-unité de temps pendant laquelle il parcourt exactement une distance égale à .
Notons la distance parcourue pendant l'intervalle de temps ( fonction continue sur ).
On cherche un sous-intervalle de de la forme pendant lequel la distance parcourue soit égale à .
On pose donc .
est définie et continue sur , , , donc (par le théorème des valeurs intermédiaires) il existe tel que .