Continuité et variations/Exercices/Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème des valeurs intermédiaires
Image logo représentative de la faculté
Exercices no2
Leçon : Continuité et variations
Chapitre du cours : Théorème des valeurs intermédiaires

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Langage de la continuité
Exo suiv. :Fonctions continues strictement monotones
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Théorème des valeurs intermédiaires
Continuité et variations/Exercices/Théorème des valeurs intermédiaires
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.



Exercice 2-1Modifier

  est la fonction définie sur   par :

 .

Le but de l'exercice est de démontrer l'existence d'une solution à l'équation  .

1. Justifier la continuité de   sur  .

2. Calculer  ,  , les comparer à 8.

3. Conclure.

Exercice 2-2Modifier

  est définie et continue sur   par  .

Le tableau de variations de   est le suivant :  

On admettra que les variations représentées sont strictes, c'est-à-dire que la fonction est soit strictement croissante, soit strictement décroissante sur les intervalles représentés.

1. En justifiant votre réponse, déterminer le nombre de solutions de l'équation   dans  .

2. a. Justifier que l'équation   admet une solution unique, α, dans l'intervalle  .

b. Déterminer un encadrement de α entre deux entiers consécutifs (en justifiant votre réponse).

c. Déterminer une valeur approchée par excès de α au millième près (en justifiant votre réponse).

3. On admet que l'équation   admet une solution unique β dans [-3 ; -1]. Déterminer un encadrement de β à 10-2 près (en justifiant la réponse).

Exercice 2-3Modifier

Soit   définie par  .

  1. Déterminer les limites de   en   et en  .
  2. Montrer qu'il existe un réel   tel que  .

Exercice 2-4Modifier

Soit   définie par  .

Montrer qu'il existe un réel   tel que  .

Soit   définie par  .

Montrer qu'il existe un réel   tel que  .   Cette équation équivaut à  , en posant  .

Par croissances comparées,  . Il existe donc   tel que  . Par ailleurs,  .

Puisque   et que   est continue sur  , il existe (d'après le T.V.I.) un réel   tel que  . }}

Exercice 2-5Modifier

On s'intéresse à la recherche des solutions de   pour   définie par

 .
  1. Montrer qu'il existe une unique solution   dans  .
  2. Utiliser la dichotomie pour localiser   dans un intervalle   de longueur  .
  3. Tracer l'allure du graphe de   sur  .
  4. En déduire le point de départ et le schéma de Newton adapté à   dans l'intervalle  . On prendra soin de bien expliciter la relation de récurrence.
  5. Calculer les premiers itérés de la méthode de Newton et en déduire en justifiant les 6 premières décimales exactes de  .