En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Calcul de dérivéesDérivation/Exercices/Calcul de dérivées », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes :
1° f ( x ) = 5 x 2 + 2 x − 7 {\displaystyle f(x)=5x^{2}+2x-7} ;
2° f ( x ) = 4 x 3 − 2 x 2 + 2 x + 3 {\displaystyle f(x)=4x^{3}-2x^{2}+2x+3} ;
3° f ( x ) = ( x + 2 ) ( x + 3 ) {\displaystyle f(x)=(x+2)(x+3)} ;
4° f ( x ) = ( 2 x − 5 ) ( 3 x + 1 ) {\displaystyle f(x)=(2x-5)(3x+1)} .
Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes :
1° f ( x ) = ( 2 x + 1 x ) ( x 2 + 1 ) {\displaystyle f(x)=\left(2x+{\frac {1}{x}}\right)(x^{2}+1)} ;
2° f ( x ) = ( x + 2 ) ( 5 − x ) ( x − 1 ) {\displaystyle f(x)=(x+2)(5-x)(x-1)} ;
3° f ( x ) = ( x + 1 ) 5 ( x − 2 ) 3 {\displaystyle f(x)=(x+1)^{5}(x-2)^{3}} ;
4° f ( x ) = ( x − 1 ) 3 ( x − 3 ) 5 ( x − 5 ) 7 {\displaystyle f(x)=(x-1)^{3}(x-3)^{5}(x-5)^{7}} .
Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes :
1° f ( x ) = x + 2 x − 1 {\displaystyle f(x)={\frac {x+2}{x-1}}} ;
2° f ( x ) = 2 − x 2 + x {\displaystyle f(x)={\frac {2-x}{2+x}}} ;
3° f ( x ) = 3 x − 1 5 x + 2 {\displaystyle f(x)={\frac {3x-1}{5x+2}}} ;
4° f ( x ) = 5 − 2 x 7 x − 4 {\displaystyle f(x)={\frac {5-2x}{7x-4}}} .
Solution
Si f ( x ) = a x + b c x + d {\displaystyle f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}} alors f ′ ( x ) = a d − b c ( c x + d ) 2 {\displaystyle f'(x)={\frac {ad-bc}{(cx+d)^{2}}}} .
Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes :
f ( x ) = ( x − 1 x − 2 ) 3 {\displaystyle f(x)=\left({\frac {x-1}{x-2}}\right)^{3}} ;
f ( x ) = ( x + 1 ) 2 ( x + 2 ) 2 x 2 + 3 x − 4 {\displaystyle f(x)={\frac {\left(x+1\right)^{2}\left(x+2\right)^{2}}{x^{2}+3x-4}}} .
Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes :
1° f ( x ) = x 2 + 1 {\displaystyle f(x)={\sqrt {x^{2}+1}}} ;
2° f ( x ) = 1 + 3 x + 2 2 x + 7 {\displaystyle f(x)={\frac {1+{\sqrt {3x+2}}}{2x+7}}} ;
3° f ( x ) = ( 3 x 2 − 5 x + 1 ) 5 x − 3 {\displaystyle f(x)=\left(3x^{2}-5x+1\right){\sqrt {5x-3}}} ;
4° f ( x ) = 3 x 2 − 5 x + 2 2 x + 1 {\displaystyle f(x)={\sqrt {\frac {3x^{2}-5x+2}{2x+1}}}} .
Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes :
1° f ( x ) = 2 x + 3 x 2 − 3 x + 1 {\displaystyle f(x)={\frac {2x+3}{x^{2}-{\sqrt {3x+1}}}}} ;
2° f ( x ) = x + x 2 + 2 2 x + 3 {\displaystyle f(x)={\frac {x+{\sqrt {x^{2}+2}}}{\sqrt {2x+3}}}} ;
3° f ( x ) = 3 x + 1 x − x 2 − 2 x + 3 {\displaystyle f(x)={\frac {3x+1}{x-{\sqrt {x^{2}-2x+3}}}}} ;
4° f ( x ) = 2 x + 6 x − 1 x 2 − 4 x + 3 {\displaystyle f(x)={\frac {2x+{\sqrt {6x-1}}}{x^{2}-{\sqrt {4x+3}}}}} .
Solution
1° f ′ ( x ) = 2 ( x 2 − 3 x + 1 ) − ( 2 x + 3 ) ( 2 x − 3 2 3 x + 1 ) ( x 2 − 3 x + 1 ) 2 = − 2 x 2 + 3 x + 18 x + 13 2 3 x + 1 ( x 2 − 3 x + 1 ) 2 {\displaystyle f'(x)={\frac {2\left(x^{2}-{\sqrt {3x+1}}\right)-\left(2x+3\right)\left(2x-{\frac {3}{2{\sqrt {3x+1}}}}\right)}{\left(x^{2}-{\sqrt {3x+1}}\right)^{2}}}=-{\frac {2x^{2}+3x+{\frac {18x+13}{2{\sqrt {3x+1}}}}}{\left(x^{2}-{\sqrt {3x+1}}\right)^{2}}}} ;
2° f ′ ( x ) = ( 1 + x x 2 + 2 ) 2 x + 3 − x + x 2 + 2 2 x + 3 2 x + 3 = ( 1 + x x 2 + 2 ) ( 2 x + 3 ) − ( x + x 2 + 2 ) ( 2 x + 3 ) 3 / 2 = x + 3 + x 2 + 3 x − 2 x 2 + 2 ( 2 x + 3 ) 3 / 2 {\displaystyle f'(x)={\frac {\left(1+{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+2}}}\right){\sqrt {2x+3}}-{\frac {x+{\sqrt {x^{2}+2}}}{\sqrt {2x+3}}}}{2x+3}}={\frac {\left(1+{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+2}}}\right)\left(2x+3\right)-\left(x+{\sqrt {x^{2}+2}}\right)}{\left(2x+3\right)^{3/2}}}={\frac {x+3+{\frac {x^{2}+3x-2}{\sqrt {x^{2}+2}}}}{\left(2x+3\right)^{3/2}}}} ;
3° f ′ ( x ) = 3 ( x − x 2 − 2 x + 3 ) − ( 3 x + 1 ) ( 1 − x − 1 x 2 − 2 x + 3 ) ( x − x 2 − 2 x + 3 ) 2 = − 3 + 4 x − 10 x 2 − 2 x + 3 ( x − x 2 − 2 x + 3 ) 2 {\displaystyle f'(x)={\frac {3\left(x-{\sqrt {x^{2}-2x+3}}\right)-\left(3x+1\right)\left(1-{\frac {x-1}{\sqrt {x^{2}-2x+3}}}\right)}{\left(x-{\sqrt {x^{2}-2x+3}}\right)^{2}}}={\frac {-3+{\frac {4x-10}{\sqrt {x^{2}-2x+3}}}}{\left(x-{\sqrt {x^{2}-2x+3}}\right)^{2}}}} ;
4° f ′ ( x ) = ( 2 + 3 6 x − 1 ) ( x 2 − 4 x + 3 ) − ( 2 x + 6 x − 1 ) ( 2 x − 2 4 x + 3 ) ( x 2 − 4 x + 3 ) 2 {\displaystyle f'(x)={\frac {\left(2+{\frac {3}{\sqrt {6x-1}}}\right)\left(x^{2}-{\sqrt {4x+3}}\right)-\left(2x+{\sqrt {6x-1}}\right)\left(2x-{\frac {2}{\sqrt {4x+3}}}\right)}{\left(x^{2}-{\sqrt {4x+3}}\right)^{2}}}} .
Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes :
1° f ( x ) = 2 x + 5 x + 2 {\displaystyle f(x)={\sqrt {2x+{\sqrt {5x+2}}}}} ;
2° f ( x ) = 1 x 2 + 7 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+7}}}} ;
3° f ( x ) = ( 1 + 3 x 2 − 1 2 x − 1 ) 2 {\displaystyle f(x)=\left({\frac {1+{\sqrt {3x^{2}-1}}}{2x-1}}\right)^{2}} ;
4° f ( x ) = 1 x − x 2 + 3 {\displaystyle f(x)={\sqrt {\frac {1}{x-{\sqrt {x^{2}+3}}}}}} .
Solution
1° f ′ ( x ) = 1 2 2 x + 5 x + 2 ( 2 + 5 2 5 x + 2 ) {\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {2x+{\sqrt {5x+2}}}}}}\left(2+{\frac {5}{2{\sqrt {5x+2}}}}\right)} ;
2° f ′ ( x ) = 1 x 2 + 7 = − x ( x 2 + 7 ) 3 / 2 {\displaystyle f'(x)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+7}}}=-{\frac {x}{\left(x^{2}+7\right)^{3/2}}}} ;
3° f ′ ( x ) = 2 ( 1 + 3 x 2 − 1 ) 2 x − 1 3 x 3 x 2 − 1 ( 2 x − 1 ) − 2 ( 1 + 3 x 2 − 1 ) ( 2 x − 1 ) 2 = 2 ( 1 + 3 x 2 − 1 ) ( − 3 x + 2 − 2 3 x 2 − 1 ) ( 2 x − 1 ) 3 3 x 2 − 1 = 2 ( − 6 x 2 − 3 x + 4 − 3 x 3 x 2 − 1 ) ( 2 x − 1 ) 3 3 x 2 − 1 {\displaystyle f'(x)={\frac {2\left(1+{\sqrt {3x^{2}-1}}\right)}{2x-1}}\;{\frac {{\frac {3x}{\sqrt {3x^{2}-1}}}(2x-1)-2\left(1+{\sqrt {3x^{2}-1}}\right)}{(2x-1)^{2}}}={\frac {2\left(1+{\sqrt {3x^{2}-1}}\right)\left(-3x+2-2{\sqrt {3x^{2}-1}}\right)}{(2x-1)^{3}{\sqrt {3x^{2}-1}}}}={\frac {2\left(-6x^{2}-3x+4-3x{\sqrt {3x^{2}-1}}\right)}{(2x-1)^{3}{\sqrt {3x^{2}-1}}}}} ;
4° f ′ ( x ) = − 1 − x x 2 + 3 2 ( x − x 2 + 3 ) 3 / 2 = 1 2 x − x 2 + 3 x 2 + 3 {\displaystyle f'(x)=-{\frac {1-{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+3}}}}{2\left(x-{\sqrt {x^{2}+3}}\right)^{3/2}}}={\frac {1}{2{\sqrt {x-{\sqrt {x^{2}+3}}}}{\sqrt {x^{2}+3}}}}} .