En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Calcul de dérivéesDérivation/Exercices/Calcul de dérivées », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes :
1°
f
(
x
)
=
5
x
2
+
2
x
−
7
{\displaystyle f(x)=5x^{2}+2x-7}
2°
f
(
x
)
=
4
x
3
−
2
x
2
+
2
x
+
3
{\displaystyle f(x)=4x^{3}-2x^{2}+2x+3}
3°
f
(
x
)
=
(
x
+
2
)
(
x
+
3
)
{\displaystyle f(x)=(x+2)(x+3)}
4°
f
(
x
)
=
(
2
x
−
5
)
(
3
x
+
1
)
{\displaystyle f(x)=(2x-5)(3x+1)}
Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes :
1°
f
(
x
)
=
(
2
x
+
1
x
)
(
x
2
+
1
)
{\displaystyle f(x)=\left(2x+{\frac {1}{x}}\right)(x^{2}+1)}
2°
f
(
x
)
=
(
x
+
2
)
(
5
−
x
)
(
x
−
1
)
{\displaystyle f(x)=(x+2)(5-x)(x-1)}
3°
f
(
x
)
=
(
x
+
1
)
5
(
x
−
2
)
3
{\displaystyle f(x)=(x+1)^{5}(x-2)^{3}}
4°
f
(
x
)
=
(
x
−
1
)
3
(
x
−
3
)
5
(
x
−
5
)
7
{\displaystyle f(x)=(x-1)^{3}(x-3)^{5}(x-5)^{7}}
Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes :
1°
f
(
x
)
=
x
+
2
x
−
1
{\displaystyle f(x)={\frac {x+2}{x-1}}}
2°
f
(
x
)
=
2
−
x
2
+
x
{\displaystyle f(x)={\frac {2-x}{2+x}}}
3°
f
(
x
)
=
3
x
−
1
5
x
+
2
{\displaystyle f(x)={\frac {3x-1}{5x+2}}}
4°
f
(
x
)
=
5
−
2
x
7
x
−
4
{\displaystyle f(x)={\frac {5-2x}{7x-4}}}
Solution
Si
f
(
x
)
=
a
x
+
b
c
x
+
d
{\displaystyle f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}}
f
′
(
x
)
=
a
d
−
b
c
(
c
x
+
d
)
2
{\displaystyle f'(x)={\frac {ad-bc}{(cx+d)^{2}}}}
Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes :
f
(
x
)
=
(
x
−
1
x
−
2
)
3
{\displaystyle f(x)=\left({\frac {x-1}{x-2}}\right)^{3}}
f
(
x
)
=
(
x
+
1
)
2
(
x
+
2
)
2
x
2
+
3
x
−
4
{\displaystyle f(x)={\frac {\left(x+1\right)^{2}\left(x+2\right)^{2}}{x^{2}+3x-4}}}
Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes :
1°
f
(
x
)
=
x
2
+
1
{\displaystyle f(x)={\sqrt {x^{2}+1}}}
2°
f
(
x
)
=
1
+
3
x
+
2
2
x
+
7
{\displaystyle f(x)={\frac {1+{\sqrt {3x+2}}}{2x+7}}}
3°
f
(
x
)
=
(
3
x
2
−
5
x
+
1
)
5
x
−
3
{\displaystyle f(x)=\left(3x^{2}-5x+1\right){\sqrt {5x-3}}}
4°
f
(
x
)
=
3
x
2
−
5
x
+
2
2
x
+
1
{\displaystyle f(x)={\sqrt {\frac {3x^{2}-5x+2}{2x+1}}}}
Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes :
1°
f
(
x
)
=
2
x
+
3
x
2
−
3
x
+
1
{\displaystyle f(x)={\frac {2x+3}{x^{2}-{\sqrt {3x+1}}}}}
2°
f
(
x
)
=
x
+
x
2
+
2
2
x
+
3
{\displaystyle f(x)={\frac {x+{\sqrt {x^{2}+2}}}{\sqrt {2x+3}}}}
3°
f
(
x
)
=
3
x
+
1
x
−
x
2
−
2
x
+
3
{\displaystyle f(x)={\frac {3x+1}{x-{\sqrt {x^{2}-2x+3}}}}}
4°
f
(
x
)
=
2
x
+
6
x
−
1
x
2
−
4
x
+
3
{\displaystyle f(x)={\frac {2x+{\sqrt {6x-1}}}{x^{2}-{\sqrt {4x+3}}}}}
Solution
1°
f
′
(
x
)
=
2
(
x
2
−
3
x
+
1
)
−
(
2
x
+
3
)
(
2
x
−
3
2
3
x
+
1
)
(
x
2
−
3
x
+
1
)
2
=
−
2
x
2
+
3
x
+
18
x
+
13
2
3
x
+
1
(
x
2
−
3
x
+
1
)
2
{\displaystyle f'(x)={\frac {2\left(x^{2}-{\sqrt {3x+1}}\right)-\left(2x+3\right)\left(2x-{\frac {3}{2{\sqrt {3x+1}}}}\right)}{\left(x^{2}-{\sqrt {3x+1}}\right)^{2}}}=-{\frac {2x^{2}+3x+{\frac {18x+13}{2{\sqrt {3x+1}}}}}{\left(x^{2}-{\sqrt {3x+1}}\right)^{2}}}}
2°
f
′
(
x
)
=
(
1
+
x
x
2
+
2
)
2
x
+
3
−
x
+
x
2
+
2
2
x
+
3
2
x
+
3
=
(
1
+
x
x
2
+
2
)
(
2
x
+
3
)
−
(
x
+
x
2
+
2
)
(
2
x
+
3
)
3
/
2
=
x
+
3
+
x
2
+
3
x
−
2
x
2
+
2
(
2
x
+
3
)
3
/
2
{\displaystyle f'(x)={\frac {\left(1+{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+2}}}\right){\sqrt {2x+3}}-{\frac {x+{\sqrt {x^{2}+2}}}{\sqrt {2x+3}}}}{2x+3}}={\frac {\left(1+{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+2}}}\right)\left(2x+3\right)-\left(x+{\sqrt {x^{2}+2}}\right)}{\left(2x+3\right)^{3/2}}}={\frac {x+3+{\frac {x^{2}+3x-2}{\sqrt {x^{2}+2}}}}{\left(2x+3\right)^{3/2}}}}
3°
f
′
(
x
)
=
3
(
x
−
x
2
−
2
x
+
3
)
−
(
3
x
+
1
)
(
1
−
x
−
1
x
2
−
2
x
+
3
)
(
x
−
x
2
−
2
x
+
3
)
2
=
−
3
+
4
x
−
10
x
2
−
2
x
+
3
(
x
−
x
2
−
2
x
+
3
)
2
{\displaystyle f'(x)={\frac {3\left(x-{\sqrt {x^{2}-2x+3}}\right)-\left(3x+1\right)\left(1-{\frac {x-1}{\sqrt {x^{2}-2x+3}}}\right)}{\left(x-{\sqrt {x^{2}-2x+3}}\right)^{2}}}={\frac {-3+{\frac {4x-10}{\sqrt {x^{2}-2x+3}}}}{\left(x-{\sqrt {x^{2}-2x+3}}\right)^{2}}}}
4°
f
′
(
x
)
=
(
2
+
3
6
x
−
1
)
(
x
2
−
4
x
+
3
)
−
(
2
x
+
6
x
−
1
)
(
2
x
−
2
4
x
+
3
)
(
x
2
−
4
x
+
3
)
2
{\displaystyle f'(x)={\frac {\left(2+{\frac {3}{\sqrt {6x-1}}}\right)\left(x^{2}-{\sqrt {4x+3}}\right)-\left(2x+{\sqrt {6x-1}}\right)\left(2x-{\frac {2}{\sqrt {4x+3}}}\right)}{\left(x^{2}-{\sqrt {4x+3}}\right)^{2}}}}
Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes :
1°
f
(
x
)
=
2
x
+
5
x
+
2
{\displaystyle f(x)={\sqrt {2x+{\sqrt {5x+2}}}}}
2°
f
(
x
)
=
1
x
2
+
7
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+7}}}}
3°
f
(
x
)
=
(
1
+
3
x
2
−
1
2
x
−
1
)
2
{\displaystyle f(x)=\left({\frac {1+{\sqrt {3x^{2}-1}}}{2x-1}}\right)^{2}}
4°
f
(
x
)
=
1
x
−
x
2
+
3
{\displaystyle f(x)={\sqrt {\frac {1}{x-{\sqrt {x^{2}+3}}}}}}
Solution
1°
f
′
(
x
)
=
1
2
2
x
+
5
x
+
2
(
2
+
5
2
5
x
+
2
)
{\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {2x+{\sqrt {5x+2}}}}}}\left(2+{\frac {5}{2{\sqrt {5x+2}}}}\right)}
2°
f
′
(
x
)
=
1
x
2
+
7
=
−
x
(
x
2
+
7
)
3
/
2
{\displaystyle f'(x)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+7}}}=-{\frac {x}{\left(x^{2}+7\right)^{3/2}}}}
3°
f
′
(
x
)
=
2
(
1
+
3
x
2
−
1
)
2
x
−
1
3
x
3
x
2
−
1
(
2
x
−
1
)
−
2
(
1
+
3
x
2
−
1
)
(
2
x
−
1
)
2
=
2
(
1
+
3
x
2
−
1
)
(
−
3
x
+
2
−
2
3
x
2
−
1
)
(
2
x
−
1
)
3
3
x
2
−
1
=
2
(
−
6
x
2
−
3
x
+
4
−
3
x
3
x
2
−
1
)
(
2
x
−
1
)
3
3
x
2
−
1
{\displaystyle f'(x)={\frac {2\left(1+{\sqrt {3x^{2}-1}}\right)}{2x-1}}\;{\frac {{\frac {3x}{\sqrt {3x^{2}-1}}}(2x-1)-2\left(1+{\sqrt {3x^{2}-1}}\right)}{(2x-1)^{2}}}={\frac {2\left(1+{\sqrt {3x^{2}-1}}\right)\left(-3x+2-2{\sqrt {3x^{2}-1}}\right)}{(2x-1)^{3}{\sqrt {3x^{2}-1}}}}={\frac {2\left(-6x^{2}-3x+4-3x{\sqrt {3x^{2}-1}}\right)}{(2x-1)^{3}{\sqrt {3x^{2}-1}}}}}
4°
f
′
(
x
)
=
−
1
−
x
x
2
+
3
2
(
x
−
x
2
+
3
)
3
/
2
=
1
2
x
−
x
2
+
3
x
2
+
3
{\displaystyle f'(x)=-{\frac {1-{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+3}}}}{2\left(x-{\sqrt {x^{2}+3}}\right)^{3/2}}}={\frac {1}{2{\sqrt {x-{\sqrt {x^{2}+3}}}}{\sqrt {x^{2}+3}}}}}
