Dérivation/Exercices/Autour de la dérivée
Exercice 3-1
modifierÉtudier la dérivabilité sur de la fonction définie par :
( désignant la fonction « partie entière »).
est évidemment dérivable sur chaque intervalle ouvert (avec ) et dérivable à droite en , de dérivée (à droite) en ce point égale à .
Elle est aussi dérivable à gauche en ce point et de dérivée (à gauche en ce point) nulle, donc finalement, dérivable sur .
En effet, quand , .
Exercice 3-2
modifierÉtudier la dérivabilité sur de la fonction définie par :
est évidemment dérivable sur et de dérivée à gauche nulle en 0. Elle est également continue en 0, mais pas dérivable à droite en ce point car
quand ,
Les fonctions suivantes, définies sur , sont-elles dérivables en ?
- .
Non pour car .
Non pour car donc on a seulement un nombre dérivé à droite ( ) et un nombre dérivé à gauche ( ).
En revanche, .
Exercice 3-3
modifierSoient des fonctions dérivables sur un intervalle, et ne s'annulant pas sur cet intervalle.
- Pour , calculer .
- Généraliser pour .
- En déduire que la dérivée de est .
- .
- On en déduit que , par récurrence sur .
- En particulier, .
Exercice 3-4
modifierOn pose :
- .
1° Déterminer pour que :
- .
2° Calculer alors .
3° Prouver que est alors de la forme :
- où est un polynôme que l'on déterminera.
1° Pour que , il faut avant tout que , c'est-à-dire , et l'on a alors
- pour , donc le polynôme
- est nul si et seulement si , et .
2° , , .
3° Cf. 1°.
Exercice 3-5
modifierDéterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le polynôme admette pour racine la racine de son polynôme dérivé.
.
Exercice 3-6
modifierDéterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le polynôme soit tel que son polynôme dérivé admette
- au moins une racine qui soit également racine de ;
- deux racines qui soient également racines de .
- a une racine double si , c'est-à-dire et . Il existe un tel si et seulement si , c'est-à-dire .
- ne peut pas avoir deux racines doubles puisqu'il n'est que de degré .
Exercice 3-7
modifierDéterminer un polynôme du troisième degré tel que :
Soit . Alors, et donc la solution est , c'est-à-dire .
Exercice 3-8
modifierSoient tel que , et une fonction dérivable. Prouver que si est paire alors est impaire et que si est impaire alors est paire.
Soit . Si alors .
Exercice 3-9
modifierProuver que si et sont deux fonctions dérivables en zéro, telles que et , alors :
- .
Exercice 3-10
modifierDémontrer que si f est une fonction dérivable en , alors :
- .
.
Exercice 3-11
modifierPréciser la fonction telle que :
- .
En déduire une expression de chacune des sommes :
- ;
- .
et .
. Puisque est continue, donc (par la formule du binôme) .
De même, et .