Dérivation/Exercices/Autour de la dérivée

Autour de la dérivée
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Exercices no3
Leçon : Dérivation

Exercices de niveau 12.

Exo préc. :Calcul de dérivées
Exo suiv. :Tangente à une courbe
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Dérivation/Exercices/Autour de la dérivée
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Exercice 3-1

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Étudier la dérivabilité sur   de la fonction   définie par :

 

(  désignant la fonction « partie entière »).

Exercice 3-2

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Étudier la dérivabilité sur   de la fonction   définie par :

 

Les fonctions suivantes, définies sur  , sont-elles dérivables en   ?

 .

Exercice 3-3

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Soient   des fonctions dérivables sur un intervalle, et ne s'annulant pas sur cet intervalle.

  1. Pour  , calculer  .
  2. Généraliser pour  .
  3. En déduire que la dérivée de   est  .

Exercice 3-4

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On pose :

 .

 Déterminer   pour que :

 .

 Calculer alors  .

 Prouver que   est alors de la forme :

 
  est un polynôme que l'on déterminera.

Exercice 3-5

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Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le polynôme   admette pour racine la racine de son polynôme dérivé.

Exercice 3-6

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Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le polynôme   soit tel que son polynôme dérivé admette

  1. au moins une racine qui soit également racine de   ;
  2. deux racines qui soient également racines de  .

Exercice 3-7

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Déterminer un polynôme   du troisième degré tel que :

 

Exercice 3-8

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Soient   tel que  , et   une fonction dérivable. Prouver que si   est paire alors   est impaire et que si   est impaire alors   est paire.

Exercice 3-9

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Prouver que si   et   sont deux fonctions dérivables en zéro, telles que   et  , alors :

 .

Exercice 3-10

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Démontrer que si f est une fonction dérivable en  , alors :

 .

Exercice 3-11

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Préciser la fonction   telle que :

 .

En déduire une expression de chacune des sommes :

  ;
 .