Dérivation/Fonction dérivée

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Dans ce chapitre nous définirons la dérivée d'une fonction à étudier qui jouera un rôle important dans l'étude du sens de variation de la fonction concernée. Nous établirons ensuite les dérivées des fonctions de référence.

Fonction dérivée
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Chapitre no 2
Leçon : Dérivation
Chap. préc. :Nombre dérivé
Chap. suiv. :Opérations entre fonctions
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Définition de la fonction dérivée

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Nous poserons simplement la définition suivante :


Le nombre dérivée n'étant pas nécessairement défini pour tout point, nous voyons que le domaine de définition de la fonction dérivée   n'est pas forcément égal au domaine de définition de  .

Nous désignerons le domaine de définition de   par l'expression domaine de dérivabilité.


Dérivées des fonctions de référence

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Fonction constante

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Soit   une fonction définie par :

 

  étant un réel donné.

Nous avons alors :

 


Fonction identité

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Soit   une fonction définie par :

 

Nous avons alors :

 


Fonction carré

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Soit   une fonction définie par :

 

Nous avons alors :

 


Fonction cube

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Soit   une fonction définie par :

 

Nous avons alors :

 


Fonction inverse

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Soit   une fonction définie par :

 

Nous avons alors :

 


Fonction racine carré

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Soit   une fonction définie par :

 

Nous avons alors :

 


Fonction puissance

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Soit   une fonction définie par :

 

Pour calculer la dérivée de cette fonction, nous aurons besoin de l'identité remarquable :

 

Pour établir cette identité, il nous suffit de développer le second membre :

 

Si   est différent de  , on peut alors écrire :

 

En se basant sur les puissances, nous voyons qu'il y a   termes dans le second membre.

En posant   et  , nous obtenons :

 

Nous avons alors :

 


Dérivée successives

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Comme nous le verrons plus loin, la fonction dérivée   nous facilite l'étude de la fonction  . Mais nous pouvons aussi être amenés à étudier la fonction dérivée elle-même. Et pour facilité cette étude, nous utiliserons la dérivée de la fonction dérivée. Nous donnerons donc la définition suivante :


Nous pouvons ainsi dériver successivement et autant de fois que nécessaire les dérivées successives d'une fonction :

  est la dérivée de  

  est la dérivée de  

  est la dérivée de  

 

  est la dérivée de  

Dérivée et continuité

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Nous avons le théorème suivant :

Début d’un théorème
Fin du théorème