Fonction constante
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Soit f {\displaystyle f} une fonction définie par :
f ( x ) = k {\displaystyle f(x)=k}
k {\displaystyle k} étant un réel donné.
Nous avons alors :
f ′ ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h = lim h → 0 k − k h = 0 {\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {k-k}{h}}=0}
Fonction identité
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Soit f {\displaystyle f} une fonction définie par :
f ( x ) = x {\displaystyle f(x)=x}
Nous avons alors :
f ′ ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h = lim h → 0 x + h − x h = lim h → 0 h h = lim h → 0 1 = 1 {\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {x+h-x}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {h}{h}}=\lim _{h\to 0}1=1}
Soit f {\displaystyle f} une fonction définie par :
f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}}
Nous avons alors :
f ′ ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h = lim h → 0 ( x + h ) 2 − x 2 h = lim h → 0 x 2 + 2 x h + h 2 − x 2 h = lim h → 0 2 x h + h 2 h = lim h → 0 h ( 2 x + h ) h = lim h → 0 ( 2 x + h ) = 2 x {\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{2}-x^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {2xh+h^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {h(2x+h)}{h}}=\lim _{h\to 0}(2x+h)=2x}
Soit f {\displaystyle f} une fonction définie par :
f ( x ) = x 3 {\displaystyle f(x)=x^{3}}
Nous avons alors :
f ′ ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h = lim h → 0 ( x + h ) 3 − x 3 h = lim h → 0 x 3 + 3 x 2 h + 3 x h 2 + h 3 − x 3 h = lim h → 0 h ( 3 x 2 + 3 x h + h 2 ) h = lim h → 0 ( 3 x 2 + 3 x h + h 2 ) = 3 x 2 {\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{3}-x^{3}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}-x^{3}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {h(3x^{2}+3xh+h^{2})}{h}}=\lim _{h\to 0}(3x^{2}+3xh+h^{2})=3x^{2}}
Fonction inverse
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Soit f {\displaystyle f} une fonction définie par :
f ( x ) = 1 x {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}
Nous avons alors :
f ′ ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h = lim h → 0 1 x + h − 1 x h = lim h → 0 x − x − h x ( x + h ) h = lim h → 0 − h h x ( x + h ) = lim h → 0 − 1 x ( x + h ) = − 1 x 2 {\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {{\frac {1}{x+h}}-{\frac {1}{x}}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\frac {x-x-h}{x(x+h)}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {-h}{hx(x+h)}}=\lim _{h\to 0}{\frac {-1}{x(x+h)}}=-{\frac {1}{x^{2}}}}
Fonction racine carré
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Soit f {\displaystyle f} une fonction définie par :
f ( x ) = x {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}
Nous avons alors :
f ′ ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h = lim h → 0 x + h − x h = lim h → 0 ( x + h − x ) ( x + h + x ) h ( x + h + x ) = lim h → 0 x + h − x h ( x + h + x ) = lim h → 0 h h ( x + h + x ) = lim h → 0 1 ( x + h + x ) = 1 2 x {\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {{\sqrt {x+h}}-{\sqrt {x}}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {({\sqrt {x+h}}-{\sqrt {x}})({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})}{h({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})}}=\lim _{h\to 0}{\frac {x+h-x}{h({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})}}=\lim _{h\to 0}{\frac {h}{h({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})}}=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}
Fonction puissance
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Soit f {\displaystyle f} une fonction définie par :
f ( x ) = x n {\displaystyle f(x)=x^{n}}
Pour calculer la dérivée de cette fonction, nous aurons besoin de l'identité remarquable :
a n − b n = ( a − b ) ( a n − 1 + a n − 2 b + a n − 3 b 2 + a n − 4 b 3 + ⋯ + a b n − 2 + b n − 1 ) {\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+a^{n-4}b^{3}+\cdots +ab^{n-2}+b^{n-1})}
Pour établir cette identité, il nous suffit de développer le second membre :
( a − b ) ( a n − 1 + a n − 2 b + a n − 3 b 2 + a n − 4 b 3 + ⋯ + a b n − 2 + b n − 1 ) = a ( a n − 1 + a n − 2 b + a n − 3 b 2 + a n − 4 b 3 + ⋯ + a b n − 2 + b n − 1 ) − b ( a n − 1 + a n − 2 b + a n − 3 b 2 + a n − 4 b 3 + ⋯ + a b n − 2 + b n − 1 ) = ( a n + a n − 1 b + a n − 2 b 2 + a n − 3 b 3 + ⋯ + a 2 b n − 2 + a b n − 1 ) − ( a n − 1 b + a n − 2 b 2 + a n − 3 b 3 + a n − 4 b 4 + ⋯ + a b n − 1 + b n ) = a n + a n − 1 b + a n − 2 b 2 + a n − 3 b 3 + ⋯ + a 2 b n − 2 + a b n − 1 − a n − 1 b − a n − 2 b 2 − a n − 3 b 3 − ⋯ − a 2 b n − 2 − a b n − 1 − b n = a n − b n {\displaystyle {\begin{aligned}(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+a^{n-4}b^{3}+\cdots +ab^{n-2}+b^{n-1})&=a(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+a^{n-4}b^{3}+\cdots +ab^{n-2}+b^{n-1})\\&\qquad \qquad -b(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+a^{n-4}b^{3}+\cdots +ab^{n-2}+b^{n-1})\\&=(a^{n}+a^{n-1}b+a^{n-2}b^{2}+a^{n-3}b^{3}+\cdots +a^{2}b^{n-2}+ab^{n-1})\\&\qquad \qquad -(a^{n-1}b+a^{n-2}b^{2}+a^{n-3}b^{3}+a^{n-4}b^{4}+\cdots +ab^{n-1}+b^{n})\\&=a^{n}+a^{n-1}b+a^{n-2}b^{2}+a^{n-3}b^{3}+\cdots +a^{2}b^{n-2}+ab^{n-1}\\&\qquad \ \,-a^{n-1}b-a^{n-2}b^{2}-a^{n-3}b^{3}-\cdots -a^{2}b^{n-2}-ab^{n-1}-b^{n}\\&=a^{n}-b^{n}\end{aligned}}}
Si a {\displaystyle a} est différent de b {\displaystyle b} , on peut alors écrire :
a n − b n a − b = a n − 1 + a n − 2 b + a n − 3 b 2 + a n − 4 b 3 + ⋯ + a b n − 2 + b n − 1 {\displaystyle {\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}=a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+a^{n-4}b^{3}+\cdots +ab^{n-2}+b^{n-1}}
En se basant sur les puissances, nous voyons qu'il y a n {\displaystyle n} termes dans le second membre.
En posant a = x + h {\displaystyle a=x+h} et b = x {\displaystyle b=x} , nous obtenons :
( x + h ) n − x n h = ( x + h ) n − 1 + ( x + h ) n − 2 x + ( x + h ) n − 3 x 2 + ( x + h ) n − 4 b 3 + ⋯ + ( x + h ) x n − 2 + x n − 1 {\displaystyle {\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}=(x+h)^{n-1}+(x+h)^{n-2}x+(x+h)^{n-3}x^{2}+(x+h)^{n-4}b^{3}+\cdots +(x+h)x^{n-2}+x^{n-1}}
Nous avons alors :
f ′ ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h = lim h → 0 [ ( x + h ) n − 1 + ( x + h ) n − 2 x + ( x + h ) n − 3 x 2 + ( x + h ) n − 4 b 3 + ⋯ + ( x + h ) x n − 2 + x n − 1 ] = x n − 1 + x n − 2 x + x n − 3 x 2 + x n − 4 x 3 + ⋯ + x . x n − 2 + x n − 1 = x n − 1 + x n − 1 + x n − 1 + x n − 1 + ⋯ + x n − 1 + x n − 1 ⏟ ntermes = n x n − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}\left[(x+h)^{n-1}+(x+h)^{n-2}x+(x+h)^{n-3}x^{2}+(x+h)^{n-4}b^{3}+\cdots +(x+h)x^{n-2}+x^{n-1}\right]\\&=x^{n-1}+x^{n-2}x+x^{n-3}x^{2}+x^{n-4}x^{3}+\cdots +x.x^{n-2}+x^{n-1}\\&=\underbrace {x^{n-1}+x^{n-1}+x^{n-1}+x^{n-1}+\cdots +x^{n-1}+x^{n-1}} _{\textrm {ntermes}}\\&=nx^{n-1}\end{aligned}}}
Comme nous le verrons plus loin, la fonction dérivée f ′ {\displaystyle f'} nous facilite l'étude de la fonction f {\displaystyle f} . Mais nous pouvons aussi être amenés à étudier la fonction dérivée elle-même. Et pour facilité cette étude, nous utiliserons la dérivée de la fonction dérivée. Nous donnerons donc la définition suivante :
Nous pouvons ainsi dériver successivement et autant de fois que nécessaire les dérivées successives d'une fonction :
f ‴ {\displaystyle f'''} est la dérivée de f ″ {\displaystyle f''}
f ( 4 ) {\displaystyle f^{(4)}} est la dérivée de f ‴ {\displaystyle f'''}
f ( 5 ) {\displaystyle f^{(5)}} est la dérivée de f ( 4 ) {\displaystyle f^{(4)}}
⋮ {\displaystyle \qquad \qquad \vdots }
f ( n ) {\displaystyle f^{(n)}} est la dérivée de f ( n − 1 ) {\displaystyle f^{(n-1)}}