Dérivation/Opérations entre fonctions

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La plupart des fonctions courantes peuvent être obtenues comme somme, produit, quotient et composée des fonctions de référence. Dans ce chapitre nous allons donc étudier comment dériver une somme de fonctions, un produit de fonctions, un quotient de fonctions et une composée de fonctions. Grâce à cela, il deviendra possible de calculer la plupart des dérivées sans utiliser la formule de définition d'une fonction dérivée.

Opérations entre fonctions
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Chapitre no 3
Leçon : Dérivation
Chap. préc. :Fonction dérivée
Chap. suiv. :Sens de variation
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Dérivation/Opérations entre fonctions
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Dérivée d'une somme de fonctions

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Soit   et   deux fonctions dérivables sur un intervalle  . On définit la somme   de deux fonctions ainsi :

Pour tout réel   de I, on a :

 .

Calculons alors la dérivée de   au point  . L'expression

 

a une limite quand   et

 .

La relation étant valable pour tout   de  , nous aurons :

 .


Dérivée d'un produit de fonctions

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Soit   et   deux fonctions dérivables sur un intervalle  . On définit le produit   de deux fonctions ainsi :

Pour tout réel   de  , on a :

 .

Calculons alors la dérivée de   au point  . L'expression

 

a une limite quand   et

 

La relation étant valable pour tout   de  , nous aurons :

 .


Dérivée d'un quotient de fonctions

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Soit   et   deux fonctions dérivables sur un intervalle  . On suppose que   ne s'annule pas. On définit le quotient   de deux fonctions ainsi :

Pour tout réel   de  , on a :

 .

Calculons alors la dérivée de   au point  . L'expression

 

a une limite quand   et

 

La relation étant valable pour tout   de  , nous aurons :

 .


Dérivée d'une composée de fonctions

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  Cette section est d'un niveau strictement supérieur à celui de cette leçon.

Soit   une fonction dérivable sur un intervalle  .

Soit   une deuxième fonction.

Soit   de   vérifiant les deux conditions :

  •   appartient à un intervalle   tel que pour tout autre point   de   on ait   (1).
  •   dérivable en  .

On rappelle que la composée   des deux fonctions est définie par :

 .

Calculons alors la dérivée de   au point  .

 

Posons alors  .

Nous voyons que lorsque   tend vers  ,   tend aussi vers  .

Nous pouvons donc continuer le calcul ainsi :

 

La relation étant valable pour tout   vérifiant les conditions fixées dans ce paragraphe, nous aurons :

 


Nous admettrons que cette relation est toujours vraie même si la condition (1) n'est pas satisfaite. Le lecteur ne sera donc pas tenu de vérifier que la condition (1) est satisfaite.

 

Note La condition :   appartient à un intervalle   tel que pour tout autre point   de   on ait   permet d'assurer que l'expression  , apparaissant dans un dénominateur de la démonstration ci-dessus, ne s'annule pas pour des valeurs de   lorsque l'on fait tendre   vers  .

Si cette condition n'est pas remplie, la conclusion   est toujours valable mais la démonstration dans ce cas est beaucoup trop compliquée pour être présentée à ce niveau.

Les fonctions ne vérifiant pas cette condition sont toutefois extrêmement rares. On peut toutefois citer la fonction   définie par :

 

où le lecteur pourra vérifier à titre d'exercice que la condition n'est pas vérifiée en   bien que la fonction soit dérivable en  .