Discussion:Théorie des groupes/Conjugaison, centralisateur, normalisateur

Inclusion non suffisante dans la définition d'un élément normalisant un sous-groupe

Dans son dernier commentaire de modification, Anne a demandé un exemple simple de la situation suivante : H est un sous-groupe d'un groupe G et le sous-monoïde de G formé par les éléments $x$ de G tels que $xHx^{-1}$ soit contenu dans H n'est pas un sous-groupe de G.

Bourbaki, Algèbre, 1970, ch. I, § 5, n° 3, p. I.54, dit que le cas se présente et renvoie à l'exercice 27 sur ledit § 5, p. I.134. Voici l'énoncé de cet exercice : "Soit Y une partie d'un ensemble X et soit A le fixateur de Y dans le groupe $S_{X}$ des permutations de X. [Cela signifie que A est l'ensemble des permutations de X qui fixent chaque élément de Y. A est donc un sous-groupe de $S_{X}$.] Soit M le sous-monoïde de $S_{X}$ formé des éléments $s$ tels que $sAs^{-1}\subset A.$ [Je suppose que $\subset$ désigne l'inclusion au sens large.] Montrer que M est un sous-groupe de $S_{X}$ si et seulement l'un des ensembles $Y$ et $X\setminus Y$ est fini." Bourbaki ne donne pas d'indication.

J'ai dans mes notes une solution de cet exercice, mais elle fait deux pages $A_{4}$, donc je recule devant la tâche de la copier. Sauf erreur de ma part, la meilleure façon de procéder est de distinguer entre les cas $\vert X\setminus Y\vert \leq 1$ et $\vert X\setminus Y\vert \geq 2.$

Ou bien on donne l'exercice de Bourbaki comme exercice du cours ou bien on se contente de renvoyer à Bourbaki. Marvoir (discuter) 6 février 2022 à 09:46 (UTC)