Discussion:Théorie des groupes/Exercices/Commutateurs, groupe dérivé

Problème 6

Bonjour,

À la question c), la justification donnée dans la phrase « P est d'indice 2 dans N_G(P), donc P est normal dans N_G(P) » ne me semble pas très naturelle : P est normal dans N_G(P) par définition de N_G(P). Qu'en pensez-vous ?

Concernant la question d) (prouver que A₅ est engendré par ses éléments d'ordre 2), j'ai trouvé, sauf erreur, une solution différente. Tout 3-cycle (a b c) de A₅ se décompose comme produit de trois double-transpositions (qui sont des éléments d'ordre 2 de A₅) comme suit : (a b c) = (a e)(b d)(c e)(a b)(a d)(b e). On utilise ensuite le fait que A₅ est engendré par les 3-cycles. Je ne prétends pas que cette solution est plus intéressante que celle donnée, peut-être peut-on simplement la mettre en remarque si elle est correcte.

Merci !

--Flo R. (discussion) 26 octobre 2018 à 14:17 (UTC)

Pour la première remarque, c'est vrai que « P est d'indice 2 dans N_G(P), donc P est normal dans N_G(P) » paraît idiot, mais dans mon esprit, le donc introduisait « P est normal dans N_G(P) et le groupe quotient N_G(P)/P est d'ordre 2 ». Je n'aime pas beaucoup parler du groupe quotient N_G(P)/P sans avoir dit d'abord que P est normal, c'est pour ça que j'ai présenté la conjonction « P est normal dans N_G(P) et le groupe quotient N_G(P)/P est d'ordre 2 » comme une conséquence de ce qui précède. Mais je suis d'accord que ce n'est pas très heureux. On pourrait mettre "donc le groupe quotient N_G(P)/P (évidemment défini, puisqu'un sous-groupe est toujours normal dans son normalisateur, ou encore qu'un sous-groupe d'indice 2 est toujours normal) est d'ordre 2".

Pour la seconde remarque, vous avez raison (je suppose que par "double transposition", vous entendez un produit de deux transpositions à supports disjoints, il serait peut-être bon d'indiquer le sens de cette expression), mais je ne supprimerais pas la démonstration actuelle, car elle a l'avantage de se généraliser immédiatement comme suit : si G est un groupe simple fini, si p est un diviseur premier de l'ordre de G, alors G est engendré par ses éléments d'ordre p. Cependant, il ne serait pas mauvais d'ajouter qu'on peut donner une démonstration plus directe, celle que vous proposez.

Si vous êtes d'accord avec mes deux avis, je vous laisse faire, comme d'habitude ? Marvoir (discussion) 26 octobre 2018 à 16:09 (UTC)

Merci pour votre réponse. Oui, je suis d'accord et je comprends maintenant ce que vous vouliez dire avec le « P est d'indice 2 dans N_G(P) ». Je vais faire les petits changements. Concernant la réponse actuelle du d), il n'a jamais été question pour moi de la remplacer, je la trouve très intéressante (je n'avais pas eu idée de ce sous-groupe caractéristique) !

--Flo R. (discussion) 26 octobre 2018 à 16:34 (UTC)

Concernant le premier point, j'ai bien lu votre proposition, mais pour ne pas faire une phrase trop longue et comme les informations déjà écrites sont |P| = 5 et |N_G(P)| = 10, mais pas explicitement que P est d'indice 2 dans N_G(P), je propose de remplacer

D'autre part, P est d'indice 2 dans N_G(P), donc P est normal dans N_G(P) et le groupe quotient N_G(P)/P est d'ordre 2, donc commutatif, donc le dérivé de N_G(P) est contenu dans P.

par

D'autre part, P est normal dans N_G(P) et, d'après la question b), le groupe quotient N_G(P)/P est d'ordre 2. N_G(P)/P est donc commutatif, ce qui implique que le dérivé de N_G(P) est contenu dans P.

(C'est un petit détail sans grande importance. Si cette suggestion ne vous plaît pas, je vous propose de faire la modification vous-même ou de laisser la phrase en l'état.) Merci. :-)

--Flo R. (discussion) 26 octobre 2018 à 17:10 (UTC)

Ce que vous proposez est très bon. Faites les modifications, vous méritez bien de faire monter votre compteur d'édits ! Marvoir (discussion) 26 octobre 2018 à 17:54 (UTC)

Voilà, j'ai ajouté la deuxième méthode après avoir mentionné la généralisation possible de la première. N'hésitez pas me signaler et/ou modifier s'il y a un problème.

--Flo R. (discussion) 26 octobre 2018 à 19:49 (UTC)

Pas de problème, cela me semble parfait, fond et forme. Marvoir (discussion) 27 octobre 2018 à 07:54 (UTC) Un détail : dans le langage mathématique, ne dit-on pas "que A₅" plutôt que "qu'A₅" ?

Merci. Pour le "qu'A₅", je me suis effectivement posé la question, d'autant que j'ai sciemment écrit "de A₅". J'ai choisi ainsi parce que c'est comme ça que je prononce dans ma tête... mais si "que A₅" est usuel, je n'ai aucun problème à ce que la page soit modifiée en ce sens.

--Flo R. (discussion) 27 octobre 2018 à 08:14 (UTC)

Problème 8

Re-bonjour,

Dans la solution de la question a) du problème 8, je crois qu'il faudrait remplacer

Le sous-groupe de G/N engendré par f(A₀) est f(A), donc f(B₀) est contenu dans le centralisateur de f(A) dans G/N.

par quelque chose de ce genre :

Comme le sous-groupe de G/N engendré par f(A₀) contient f(A), le centralisateur dans G/N du sous-groupe engendré par f(A₀) est contenu dans celui de f(A). Avec ce qui précède, on en déduit que f(B₀) est contenu dans le centralisateur de f(A) dans G/N.

Merci ! --Flo R. (discussion) 27 octobre 2018 à 17:25 (UTC)

Bonsoir. Je ne comprends pas bien à quel endroit de la phrase vous avez une objection. Il me semble que ce qui précède le "donc" peut se justifier comme suit : par hypothèse, <A₀> = A, d'où f(<A₀>) = f(A). Le premier membre (voir un théorème) égale <f(A₀)>, donc <f(A₀)> = A, ce qui signifie que le sous-groupe de G/N engendré par f(A₀) est f(A), ce qui est la partie de la phrase qui précède "donc". Le problème est-il dans ce qui suit ?

Si vous me dites que vous pensez toujours qu'il y a un problème, j'examinerai ça, mais plus aujourd'hui, car le reste de ma soirée est pris.

Par parenthèse, je deviens honteux de toutes les inadvertances et coquilles que vous corrigez dans mes textes... Mais continuez ! Marvoir (discussion) 27 octobre 2018 à 18:26 (UTC)

Le problème est avant le "donc" car dans cette question a), contrairement à la question e), A₀ est définie comme suit :

A₀ est une partie de G telle que A soit contenu dans le sous-groupe de G engendré par A₀.

On ne peut donc pas affirmer, pour autant que je voie clair, que <A₀> = A. :-) Il se pourrait fort bien, me semble-t-il, que A₀ soit égale à G et que <f(A₀)> = G/N contienne strictement f(A).

Aucun problème pour les « délais ». Concernant le fait de se sentir honteux, vous avez bien tort. Je trouve ces cours et exercices excellents, la rédaction est très soignée, et notamment très rigoureuse. Quand je lis un livre papier sur ce genre de sujets, il y a en général beaucoup plus de choses que j'ai envie d'écrire dans la marge ou carrément sur un document annexe (faute de place), qui sont souvent des détails de raisonnements pas si évidents que ça pour moi, ou bien des choses pas très claires ou ambiguës. C'est assez différent des petites corrections que je fais ici, qui sont presque toujours de simples fautes de frappe sans aucune conséquence sur le raisonnement. Si ce n'était pas le cas, soyez certain que j'aurais arrêté wikiversity.org après un ou deux chapitres, certainement pas plus !

Bonne soirée.

--Flo R. (discussion) 27 octobre 2018 à 19:08 (UTC)

J'ai enfin compris votre objection. Vous avez raison, je me laissais influencer par une version particulière de l'énoncé que j'ai rencontrée avant la version plus générale. La correction que vous proposez est parfaite. Comme d'habitude, je vous laisse faire. C'est vrai que les manuels doivent se lire la plume à la main et qu'il est bon de garder des notes explicitant ou même corrigeant certaines parties. Il me semble que les erreurs se nichent surtout dans les exercices non résolus. Marvoir (discussion) 28 octobre 2018 à 07:42 (UTC)

Ah oui, les exercices non résolus... Quand l'énoncé est bancal, cela peut être effectivement très déstabilisant car il est parfois difficile de savoir si l'on n'a simplement pas trouvé ou si le problème est dans l'énoncé. Bon, en tout cas, ici ils sont bien résolus et le petit problème relevé ci-dessus est corrigé. Merci.

--Flo R. (discussion) 28 octobre 2018 à 08:34 (UTC)