Droites et plans de l'espace/Exercices/Droites et plans

Droites et plans
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Exercices no1
Leçon : Droites et plans de l'espace

Exercices de niveau 13.

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Droites et plans de l'espace/Exercices/Droites et plans
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Exercice 1-1

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Donner une équation paramétrique de la droite passant par le point de coordonnées   et dirigée par le vecteur de coordonnées  .

Exercice 1-2

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Donner une équation paramétrique de la droite D menée par le point (1,1,1), parallèle au plan d'équation   et rencontrant la droite d'équation paramétrique

 .

Exercice 1-3

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Donner une équation du plan P' perpendiculaire au plan P d'équation   et contenant la droite D d'équation  .

Exercice 1-4

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Dans chacun des deux cas suivants, donner un paramétrage de la droite définie par les deux équations :

  1.   ;
  2.  .

Déterminer une représentation paramétrique puis un système d'équations cartésiennes de la droite   passant par les points   et  .

Exercice 1-5

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Donner une équation cartésienne du plan passant par le point de coordonnées (1, 2, 3) et dont un vecteur normal a pour coordonnées (–1, 3, 5).

Déterminer une paramétrisation et une équation cartésienne du plan affine de   :

  1. passant par   et de direction    et   ;
  2. passant par le point   et orthogonal au vecteur  .

Exercice 1-6

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On pose  ,   et  .

  1. Ces trois vecteurs sont-ils linéairement indépendants ?
  2. Soit   le point de coordonnées  . On pose  . Montrer que   est un plan dont on donnera une équation.
  3. Donner des équations d'une droite   incluse dans  .
  4. La droite   passant par   et de vecteur directeur   est-elle incluse dans le plan   ? parallèle au plan   ? Déterminer  .
  5. Donner des équations et une paramétrisation de la droite   orthogonale à   passant par  .
  6. Donner des équations du plan   passant par   parallèle à  .
  7. Déterminer  .

Exercice 1-7

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  1. Trouver une paramétrisation de la droite   définie par les équations  
  2. Trouver une paramétrisation du plan   défini par l'équation :  .
  3. La droite   est-elle incluse dans le plan   ?
  4. Existe-t-il un plan   parallèle à   qui contienne la droite   ?
  5. Donner une équation cartésienne d'un plan   qui contienne la droite  .
  6. Déterminer l'intersection des plans   et  .

Exercice 1-8

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  1. Discuter suivant les valeurs des paramètres   et   l'intersection du plan   d'équation   et du plan   dont une paramétrisation est donnée par  
  2. Déterminer selon le paramètre  , l'intersection du plan   défini par   avec la droite   définie par  

Exercice 1-9

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  1. Soit   le plan affine passant par le point   et dirigé par le plan vectoriel engendré par   et  . Soit   le plan affine d'équation  . Déterminer la droite   et décrire ses équations paramétrées et cartésiennes.
  2. Donner l'équation cartésienne du plan contenant   et le point  .

Exercice 1-10

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Soient   et   les plans de   d'équations respectives   et  .

  1. Montrer que   est une droite  , dont on donnera une paramétrisation.
  2. Donner une équation du plan   perpendiculaire à   et passant par le point  .
  3. Calculer  .

Exercice 1-11

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Pour quelle(s) valeur(s) de   les deux droites   et   sont-elles coplanaires ?

Exercice 1-12

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Dans un espace affine euclidien de dimension 3, soient   et   deux droites non parallèles, dirigées respectivement par   et  , unitaires. Quelle est la nature de   ? Montrer que le projeté orthogonal de   sur   est une droite sécante à  , et soit   le point d'intersection. Montrer qu'il existe une droite   passant par   orthogonale à   et  , et que c'est l'unique perpendiculaire commune. Deux droites quelconques admettent-elles une perpendiculaire commune ? unicité ?

On reprend les notations précédentes en supposant cette fois   et   non coplanaires. Soit   le milieu du segment  . Soit   le groupe des isométries laissant   fixe. Montrer que   et   sont globalement fixés par  . Montrer que   agit sur l'ensemble  . En déduire   écritures matricielles possibles des éléments de   dans la base  , où   est un vecteur directeur unitaire de  . Montrer que   est isomorphe soit à  , soit au groupe diédral d'ordre  , suivant que   et   sont orthogonaux ou non.

Exercice 1-13

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Dans un espace affine de dimension 3, soient  ,   et   des droites parallèles à un plan fixé, deux à deux non coplanaires. Soient   des vecteurs directeurs de  ,   et   respectivement,   des points de  ,   et   respectivement, et  . On se place dans le repère affine  .

  1. Donner une représentation paramétrique de   et  .
  2. En déduire que pour tout point   de coordonnées  , si   (en particulier si  ) alors il existe une (unique) droite   passant par   et coupant   et  , et donner alors (en fonction de  ) un vecteur directeur   de cette droite.
  3. D'après 2., on peut désormais supposer   alignés. Soient alors   tels que   et  . Donner une représentation paramétrique de   puis montrer que lorsque   parcourt  ,   varie dans un plan vectoriel fixe  .
  4. Vérifier que  . En déduire que lorsque   parcourt  , les droites   (toutes parallèles à  ) sont deux à deux non coplanaires.