Droites et plans de l'espace/Exercices/Droites et plans

Exercice 1-1

Donner une équation paramétrique de la droite passant par le point de coordonnées $\left(3,{\frac {3}{4}},{\sqrt {2}}\right)$ et dirigée par le vecteur de coordonnées $\left(2,{\frac {1}{2}},1\right)$.

Solution

${\begin{cases}x=3+2t\\y={\frac {3}{4}}+{\frac {t}{2}}\\z={\sqrt {2}}+t\end{cases}}\qquad (t\in \mathbb {R} )$.

 

Exercice 1-2

Donner une équation paramétrique de la droite D menée par le point (1,1,1), parallèle au plan d'équation $x+y+z=0$ et rencontrant la droite d'équation paramétrique

${\begin{cases}x=1+2t\\y=2+t\\z=1-2t\end{cases}}\qquad (t\in \mathbb {R} )$.

Solution

Les coordonnées $(a,b,c)=(1+2t,2+t,1-2t)$ du point d'intersection des deux droites vérifient :

$0=(a-1)+(b-1)+(c-1)=(1+2t)+(2+t)+(1-2t)-3=t+1$

donc $t=-1$, $(a-1,b-1,c-1)=(-2,0,2)=2(-1,0,1)$ et D a pour équation paramétrique :

${\begin{cases}x=1-t\\y=1\\z=1+t\end{cases}}\qquad (t\in \mathbb {R} )$.

 

Exercice 1-3

Donner une équation du plan P' perpendiculaire au plan P d'équation $2x+y-2z+1=0$ et contenant la droite D d'équation $4x+3y+2z-4=0,\;2x-11y-4z-12=0$.

Solution

D a pour équation paramétrique

${\begin{cases}x=t\\y=2t-4\\z=-5t+8\end{cases}}\qquad (t\in \mathbb {R} )$

et P a pour vecteur normal $(2,1,-2)$, donc P' a pour équation paramétrique

${\begin{cases}x=t+2s\\y=2t-4+s\\z=-5t+8-2s\end{cases}}\qquad (t,s\in \mathbb {R} )$

et pour équation cartésienne

$x=8y+3z+8$.

 

Exercice 1-4

Dans chacun des deux cas suivants, donner un paramétrage de la droite définie par les deux équations :

1. $x+y-z+1=0,\;2x+y+z+2=0$ ;
2. $2x+3y-z+2=0,\;x+y-2z+5=0$.

Solution

Par exemple :

1. ${\begin{cases}x=-1-2t\\y=3t\\z=t\end{cases}}\qquad (t\in \mathbb {R} )$ ;
2. ${\begin{cases}x=-13+5t\\y=8-3t\\z=t\end{cases}}\qquad (t\in \mathbb {R} )$.

 

Déterminer une représentation paramétrique puis un système d'équations cartésiennes de la droite ${\mathcal {D}}$ passant par les points $C=(-2,1,2)$ et $D=(-4,0,1)$.

Solution

${\overrightarrow {CD}}={\begin{pmatrix}-2\\-1\\-1\end{pmatrix}}$ donc un paramétrage de ${\mathcal {D}}=C+\mathbb {R} {\overrightarrow {CD}}$ est $x=-2-2t,y=1-t,z=2-t\;(t\in \mathbb {R} )$. En éliminant $t$ par exemple dans les deux premières équations grâce à la troisième, un système d'équations cartésiennes de ${\mathcal {D}}$ est $x=-2-2(2-z),y=1-(2-z)$, soit $x-2z+6=y-z+1=0$.

 

Exercice 1-5

Donner une équation cartésienne du plan passant par le point de coordonnées (1, 2, 3) et dont un vecteur normal a pour coordonnées (–1, 3, 5).

Solution

$-1\times (x-1)+3\times (y-2)+5\times (z-3)=0\Leftrightarrow -x+3y+5z-20=0$.

 

Déterminer une paramétrisation et une équation cartésienne du plan affine de $\mathbb {R} ^{3}$ :

1. passant par $A(1,2,1)$ et de direction $\mathrm {Vect} (u,v)$ où $u=(1,0,1)$ et $v=(0,2,-3)$ ;
2. passant par le point $B(1,1,1)$ et orthogonal au vecteur $n=(2,3,4)$.

Solution

1. Une paramétrisation est $x=1+s,y=2+2t,z=1+s-3t\;(s,t\in \mathbb {R} )$ donc une équation cartésienne est $z=1+(x-1)-3(y-2)/2$, soit $-2x+3y+2z=6$.
   (Variante : $u\land v={\begin{pmatrix}-2\\3\\2\end{pmatrix}}$ donc une équation cartésienne est $-2(x-1)+3(y-2)+2(z-1)=0$…)
2. Une équation cartésienne est $2(x-1)+3(y-1)+4(z-1)=0$, soit $2x+3y+4z=9$, donc une paramétrisation est par exemple $x=3s,z=3t,y=3-2s-4t\;(s,t\in \mathbb {R} )$.

 

Exercice 1-6

On pose ${\overrightarrow {v_{1}}}=(1,-1,2)$, ${\overrightarrow {v_{2}}}=(1,1,-1)$ et ${\overrightarrow {v_{3}}}=(3,1,0)$.

1. Ces trois vecteurs sont-ils linéairement indépendants ?
2. Soit $A$ le point de coordonnées $(-1,1,2)$. On pose ${\mathcal {P}}=\{A+\lambda _{1}{\overrightarrow {v_{1}}}+\lambda _{2}{\overrightarrow {v_{2}}}+\lambda _{3}{\overrightarrow {v_{3}}}\mid \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\in \mathbb {R} \}$. Montrer que ${\mathcal {P}}$ est un plan dont on donnera une équation.
3. Donner des équations d'une droite ${\mathcal {D}}$ incluse dans ${\mathcal {P}}$.
4. La droite ${\mathcal {D}}'$ passant par $B(1,-1,1)$ et de vecteur directeur ${\overrightarrow {v}}(-1,1,-1)$ est-elle incluse dans le plan ${\mathcal {P}}$ ? parallèle au plan ${\mathcal {P}}$ ? Déterminer ${\mathcal {P}}\cap {\mathcal {D}}'$.
5. Donner des équations et une paramétrisation de la droite ${\mathcal {D}}''$ orthogonale à ${\mathcal {P}}$ passant par $A$.
6. Donner des équations du plan ${\mathcal {P}}'$ passant par $B$ parallèle à ${\mathcal {P}}$.
7. Déterminer ${\mathcal {P}}'\cap {\mathcal {D}}'$.

Solution

1. Le déterminant ${\begin{vmatrix}1&1&3\\-1&1&1\\2&-1&0\\\end{vmatrix}}=3{\begin{vmatrix}-1&1\\2&-1\\\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}1&1\\2&-1\\\end{vmatrix}}=3(1-2)-(-1-2)=-3+3=0$ est nul donc les vecteurs ne sont pas linéairement indépendants. On peut remarquer que ${\overrightarrow {v_{3}}}={\overrightarrow {v_{1}}}+2{\overrightarrow {v_{2}}}$.
2. ${\overrightarrow {v_{1}}}$ et ${\overrightarrow {v_{2}}}$ ne sont pas proportionnels et ${\overrightarrow {v_{1}}}$, ${\overrightarrow {v_{2}}}$ et ${\overrightarrow {v_{3}}}$ ne sont pas indépendants donc ${\overrightarrow {v_{3}}}$ est combinaison linéaire de ${\overrightarrow {v_{1}}}$ et ${\overrightarrow {v_{2}}}$ donc ${\mathcal {P}}=\{A+\lambda {\overrightarrow {v_{1}}}+\mu {\overrightarrow {v_{2}}}\mid \lambda ,\mu \in \mathbb {R} \}$ est bien un plan de $\mathbb {R} ^{3}$.
   $(x,y,z)\in {\mathcal {P}}\Leftrightarrow \exists \lambda ,\mu \in \mathbb {R} \left\{{\begin{array}{l}x=-1+\lambda +\mu \\y=1-\lambda +\mu \\z=2+2\lambda -\mu \end{array}}\right.\Leftrightarrow \exists \lambda ,\mu \in \mathbb {R} \left\{{\begin{array}{l}x=1+\lambda +\mu \\x+y=2\mu \\x+z=2+3\lambda \end{array}}\right.\Leftrightarrow x=1+{\frac {x+z-2}{3}}+{\frac {x+y}{2}}\Leftrightarrow x=3y+2z-8.$
3. Il suffit d'écrire ${\mathcal {D}}$ comme l'intersection de ${\mathcal {P}}$ et d'un autre plan. Par exemple la droite d'équations $\left\{{\begin{array}{l}3y+2z=8\\x=0\end{array}}\right.$ est incluse dans ${\mathcal {P}}$.
4. Il est immédiat que la droite n'est pas incluse dans le plan car les coordonnées du point $B$ ne vérifient pas l'équation de ${\mathcal {P}}$ qu'on vient de déterminer. On peut vérifier que la droite n'est pas parallèle au plan en montrant que son vecteur directeur n'est pas lié aux vecteurs directeurs de ${\mathcal {P}}$ mais comme dans le cas contraire il faudra chercher les coordonnées du point d'intersection, résolvons directement le système.
   $(x,y,z)\in {\mathcal {D}}'\Leftrightarrow \exists \lambda \in \mathbb {R} \left\{{\begin{array}{l}x=1-\lambda \\y=-1+\lambda \\z=1-\lambda \end{array}}\right.\Leftrightarrow \left\{{\begin{array}{l}y=-x\\z=x\end{array}}\right.$ donc $(x,y,z)\in {\mathcal {P}}\cap {\mathcal {D}}'\Leftrightarrow \left\{{\begin{array}{l}y=-x\\z=x\\x=3y+2z-8\\\end{array}}\right.\Leftrightarrow \left\{{\begin{array}{l}y=-x\\z=x\\x=-3x+2x-8\\\end{array}}\right.\Leftrightarrow \left\{{\begin{array}{l}y=4\\z=-4\\x=-4\\\end{array}}\right.$
   L'intersection de ${\mathcal {P}}$ et ${\mathcal {D}}'$ est le point de coordonnées $(-4,4,-4)$.
5. La droite ${\mathcal {D}}''$ a pour vecteur directeur ${\overrightarrow {v_{1}}}\wedge {\overrightarrow {v_{2}}}=(-1,3,2)$ donc
   $(x,y,z)\in {\mathcal {D}}''\Leftrightarrow \exists \lambda \in \mathbb {R} \left\{{\begin{array}{l}x=-1-\lambda \\y=1+3\lambda \\z=2+2\lambda \end{array}}\right.\Leftrightarrow \left\{{\begin{array}{l}y=-2-3x\\z=-2x\end{array}}\right.$
6. Le plan ${\mathcal {P}}$ a pour équation $x-3y-2z=-8$ donc le plan ${\mathcal {P}}'$ a pour équation $x-3y-2z=1-3\times -1-2\times 1$ soit $x-3y-2z=2$.
7. On sait que ${\mathcal {P}}$ et ${\mathcal {D}}'$ sont sécants et que ${\mathcal {P}}$ et ${\mathcal {P}}'$ sont parallèles donc ${\mathcal {P}}'$ et ${\mathcal {D}}'$ sont sécants or par définition, $B\in {\mathcal {P}}'\cap {\mathcal {D}}'$ donc ${\mathcal {P}}'\cap {\mathcal {D}}'=\{B\}$.

 

Exercice 1-7

1. Trouver une paramétrisation de la droite ${\mathcal {D}}\subset \mathbb {R} ^{3}$ définie par les équations $\left\{{\begin{array}{l}3x+y-z=2\\x+y=0.\end{array}}\right.$
2. Trouver une paramétrisation du plan ${\mathcal {P}}$ défini par l'équation : $x+2y+3z=0$.
3. La droite ${\mathcal {D}}$ est-elle incluse dans le plan ${\mathcal {P}}$ ?
4. Existe-t-il un plan ${\mathcal {P}}'$ parallèle à ${\mathcal {P}}$ qui contienne la droite ${\mathcal {D}}$ ?
5. Donner une équation cartésienne d'un plan ${\mathcal {P}}_{1}$ qui contienne la droite ${\mathcal {D}}$.
6. Déterminer l'intersection des plans ${\mathcal {P}}$ et ${\mathcal {P}}_{1}$.

Solution

1. Par exemple $y=t,x=-t,z=-2t-2\;(t\in \mathbb {R} )$.
2. Par exemple $y=s,z=t,x=-2s-3t\;(s,t\in \mathbb {R} )$.
3. Non, cf. question suivante.
4. Non car le vecteur directeur ${\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix}}$ de ${\mathcal {D}}$ n'appartient pas au plan vectoriel d'équation $x+2y+3z=0$.
5. Par exemple $x+y=0$.
6. ${\begin{cases}x+2y+3z&=0\\x+y&=0\end{cases}}$ définit une droite affine (passant par l'origine et dirigée par ${\begin{pmatrix}3\\-3\\1\end{pmatrix}}$).

 

Exercice 1-8

1. Discuter suivant les valeurs des paramètres $a$ et $d$ l'intersection du plan ${\mathcal {P}}\subset \mathbb {R} ^{3}$ d'équation $x+y+z=d$ et du plan ${\mathcal {P}}'\subset \mathbb {R} ^{3}$ dont une paramétrisation est donnée par $\left\{{\begin{array}{l}x=t\\y=s\\z=-at-s+2.\end{array}}\right.$
2. Déterminer selon le paramètre $a$, l'intersection du plan ${\mathcal {P}}\subset \mathbb {R} ^{3}$ défini par $x+2y-1=0$ avec la droite ${\mathcal {D}}\subset \mathbb {R} ^{3}$ définie par $\left\{{\begin{array}{l}x-2z+3=0\\y+az-1=0.\end{array}}\right.$

Solution

1. $t+s+(-at-s+2)=d\Leftrightarrow (1-a)t=d-2$.
   • Si $a=1$ et $d\neq 2$, ${\mathcal {P}}\cap {\mathcal {P}}'=\varnothing$.
   • Si $a=1$ et $d=2$, ${\mathcal {P}}={\mathcal {P}}'$.
   • Si $a\neq 1$, soit $t_{0}={\frac {d-2}{1-a}}$, ${\mathcal {P}}\cap {\mathcal {P}}'=$ la droite paramétrée par$\left\{{\begin{array}{l}x=t_{0}={\frac {d-2}{1-a}}\\y=s\\z=-at_{0}-s+2={\frac {2-ad}{1-a}}-s.\end{array}}\right.$
2. ${\begin{cases}x+2y-1&=0\\x-2z+3&=0\\y+az-1&=0\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x&=1-2y\\z&=2-y\\(1-a)y&=1-2a.\end{cases}}$
   • Si $a=1$, ${\mathcal {P}}\cap {\mathcal {D}}=\varnothing$.
   • Si $a\neq 1$, ${\mathcal {P}}$ et ${\mathcal {D}}$ sont sécants au point $(x,y,z)$ donné par $y={\frac {1-2a}{1-a}},z=2-y={\frac {1}{1-a}},x=1-2y={\frac {3a-1}{1-a}}$.

 

Exercice 1-9

1. Soit ${\mathcal {P}}$ le plan affine passant par le point $A=(1,2,-1)$ et dirigé par le plan vectoriel engendré par $u=(1,0,1)$ et $v=(3,-1,0)$. Soit ${\mathcal {Q}}$ le plan affine d'équation $x+2y+z=5$. Déterminer la droite ${\mathcal {D}}={\mathcal {P}}\cap {\mathcal {Q}}$ et décrire ses équations paramétrées et cartésiennes.
2. Donner l'équation cartésienne du plan contenant ${\mathcal {D}}$ et le point $B=(0,1,0)$.

Solution

1. (On peut prévoir que ${\mathcal {P}}\cap {\mathcal {Q}}$ est une droite, car le vecteur $(1,2,1)$, normal à ${\mathcal {Q}}$, n'est pas normal à ${\mathcal {P}}$.)
   ${\mathcal {P}}$ est paramétré par ${\begin{cases}x&=1+s+3t\\y&=2-t\\z&=-1+s\end{cases}}$ ($s,t\in \mathbb {R}$) donc ${\mathcal {D}}$ est le sous-ensemble correspondant aux paramètres $(s,t)$ vérifiant $1+s+3t+2(2-t)-1+s=5$, c'est-à-dire $t=1-2s$.
   On en déduit un paramétrage de ${\mathcal {D}}$ : ${\begin{cases}x&=1+s+3(1-2s)=4-5s\\y&=2-(1-2s)=1+2s\\z&=-1+s\end{cases}}$ ($s\in \mathbb {R}$),
   d'où des équations cartésiennes, par exemple : ${\begin{cases}x&=4-5(z+1)=-1-5z\\y&=1+2(z+1)=3+2z.\end{cases}}$
   Deuxième méthode pour des équations cartésiennes de ${\mathcal {D}}$ : puisqu'on a déjà l'équation $x+2y+z=5$ de ${\mathcal {Q}}$, lui adjoindre celle de ${\mathcal {P}}$, obtenue soit en éliminant ses paramètres $s,t$ ($x=1+(z+1)+3(2-y)=-3y+z+8$), soit en écrivant que les trois vecteurs ${\overrightarrow {AM}},u,v$ sont liés, ce qui s'exprime à l'aide d'un déterminant, ou du produit scalaire de l'un des trois vecteurs par le produit vectoriel des deux autres.
   Troisième méthode : choisir les équations cartésiennes de deux plans parmi ceux contenant ${\mathcal {D}}$. Une telle équation est de la forme $ax+by+cz+d=0$ avec $a,b,c,d\in \mathbb {R}$ tels que $\forall s\in \mathbb {R} \quad 0=a(4-5s)+b(1+2s)+c(-1+s)+d=4a+b-c+d+s(-5a+2b+c)$, c'est-à-dire $c=5a-2b$ et $d=-4a-b+c=a-3b$.On peut choisir par exemple $(a,b)=(1,0)$ ou $(0,1)$, ce qui redonne ${\mathcal {D}}:{\begin{cases}x+5z+1&=0\\y-2z-3&=0.\end{cases}}$
2. $ax+by+(5a-2b)z+(a-3b)=0$ avec $a,b\in \mathbb {R}$ tels que $0=a0+b+(5a-2b)0+(a-3b)=a-2b$ et $b\neq 0$, soit : $2x+y+8z-1=0$.

 

Exercice 1-10

Soient ${\mathcal {P}}$ et ${\mathcal {P}}'$ les plans de $\mathbb {R} ^{3}$ d'équations respectives $x-y+z=2$ et $x+2y+3z=4$.

1. Montrer que ${\mathcal {P}}\cap {\mathcal {P}}'$ est une droite ${\mathcal {D}}$, dont on donnera une paramétrisation.
2. Donner une équation du plan ${\mathcal {P}}''$ perpendiculaire à ${\mathcal {P}}$ et passant par le point $(1,0,-1)$.
3. Calculer ${\mathcal {P}}\cap {\mathcal {P}}'\cap {\mathcal {P}}''$.

Solution

1. ${\begin{cases}x-y+z&=2\\x+2y+3z&=4\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}x&=y-z+2\\3y+2z&=2\end{cases}}\Leftrightarrow \exists t\in \mathbb {R} {\begin{cases}y&=2t\\z&=1-3t\\x&=1+5t\end{cases}}$ est la paramétrisation d'une droite, dirigée par le vecteur $(5,2,-3)$.
2. $0=5(x-1)+2(y-0)-3(z-(-1))=5x+2y-3z-8$.
3. $(x,y,z)=(1+5t,2t,1-3t)\in {\mathcal {P}}''\Leftrightarrow 0=5(1+5t)+2(2t)-3(1-3t)-8=38t-6\Leftrightarrow t={\frac {3}{19}}\Leftrightarrow (x,y,z)=\left({\frac {34}{19}},{\frac {6}{19}},{\frac {10}{19}}\right)$.

 

Exercice 1-11

Pour quelle(s) valeur(s) de $a$ les deux droites $D={\begin{cases}x=az-1\\y=2z+3\end{cases}}$ et $D'={\begin{cases}x=z-2\\y=3z-1\end{cases}}$ sont-elles coplanaires ?

Solution

La droite $D$ passe par le point $A=(-1,3,0)$ et est dirigée par le vecteur $u=(a,2,1)$. La droite $D'$ passe par le point $B=(-2,-1,0)$ et est dirigée par le vecteur $v=(1,3,1)$. Les deux droites sont coplanaires si et seulement si la famille $({\overrightarrow {AB}},u,v)$ est liée, ce qui se traduit par

$0={\begin{vmatrix}-1&a&1\\-4&2&3\\0&1&1\end{vmatrix}}=-3+4a$.

L'unique solution est donc $a={\frac {3}{4}}$.

 

Exercice 1-12

Dans un espace affine euclidien de dimension 3, soient $D_{1}$ et $D_{2}$ deux droites non parallèles, dirigées respectivement par $e_{1}$ et $e_{2}$, unitaires. Quelle est la nature de $P=D_{1}+\mathrm {vect} (e_{1},e_{2})$ ? Montrer que le projeté orthogonal de $D_{2}$ sur $P$ est une droite sécante à $D_{1}$, et soit $A$ le point d'intersection. Montrer qu'il existe une droite $\Delta$ passant par $A$ orthogonale à $D_{1}$ et $D_{2}$, et que c'est l'unique perpendiculaire commune. Deux droites quelconques admettent-elles une perpendiculaire commune ? unicité ?

Solution

$P$ est un plan affine dirigé par $\mathrm {vect} (e_{1},e_{2})$, contenant $D_{1}$, et parallèle à $D_{2}$.

Pour tout point $M$ de $D_{2}$, le projeté orthogonal de $D_{2}=M+\mathrm {vect} (e_{2})$ sur $P$ est la droite $p(D_{2})=p(M)+\mathrm {vect} (e_{2})$, par linéarité. Dans le plan $P$, les deux droites $D_{1}$ et $p(D_{2})$ ont des vecteurs directeurs non colinéaires, elles sont non parallèles donc sécantes.

Soit $A$ le point d'intersection. Alors $A$ admet un antécédent $B$ dans $D_{2}$ pour la projection orthogonale sur $P$. La droite $(AB)=(Bp(B))$ est donc perpendiculaire au plan de projection, donc perpendiculaire (c'est-à-dire orthogonale, propriété linéaire euclidienne et sécante, propriété purement affine) à $D_{1}$ et à $p(D_{2})$, puis à $D_{2}$.

Toute perpendiculaire commune à $D_{1}$ et $D_{2}$ est une perpendiculaire au plan $P$, donc sa direction est définie de manière unique. Si $M$ est son point d'intersection avec $D_{2}$, alors $p(M)$ est son unique point d'intersection avec $P$, et doit donc appartenir à $D_{1}\cap p(D_{2})$, c'est-à-dire être $A$. Ainsi toute perpendiculaire commune doit passer par $A$, d'où l'unicité.

Dans le cas de deux droites parallèles, toute perpendiculaire commune doit être coplanaire à ces droites, et toute perpendiculaire à l'une respectant cette coplanarité est perpendiculaire à l'autre. D'où l'existence, en revanche, il n'y a pas d'unicité : l'ensemble des perpendiculaires est même en bijection avec, mettons, la première droite.

 

On reprend les notations précédentes en supposant cette fois $D_{1}$ et $D_{2}$ non coplanaires. Soit $O$ le milieu du segment $[D_{1}\cap \Delta ,D_{2}\cap \Delta ]$. Soit $G$ le groupe des isométries laissant $D_{1}\cup D_{2}$ fixe. Montrer que $\Delta$ et $O$ sont globalement fixés par $G$. Montrer que $G$ agit sur l'ensemble $\{\pm e_{1},\pm e_{2}\}$. En déduire $8$ écritures matricielles possibles des éléments de $G$ dans la base $(e_{1},e_{2},e_{3})$, où $e_{3}$ est un vecteur directeur unitaire de $\Delta$. Montrer que $G$ est isomorphe soit à $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$, soit au groupe diédral d'ordre $8$, suivant que $e_{1}$ et $e_{2}$ sont orthogonaux ou non.

Solution

Un élément de $G$ soit laisse chacune des droites $D_{1}$ et $D_{2}$ globalement fixe, soit les intervertit. Dans les deux cas leur unique perpendiculaire commune est laissée fixe (préservation de la propriété d'orthogonalité, et de la propriété d'incidence par une isométrie affine). Les points d'intersection $A$ et $B$ sont aussi soit fixés, soit intervertis, et leur milieu $O$ est fixé. Le sous-groupe $G$ est donc inclus dans le stabilisateur (sous-groupe de ${\mathcal {IS}}({\mathcal {E}})$) de $O$, et s'identifie donc à un sous-groupe de $O_{3}(\mathbb {R} )$.

En tant que vecteur directeur normé de $D_{1}$, $e_{1}$ est envoyé, par la partie vectorielle ${\overrightarrow {g}}$ d'un élément $g\in G$, sur un vecteur directeur normé de $D_{1}$ ou de $D_{2}$, c'est-à-dire sur $\pm e_{1}$ ou sur $\pm e_{2}$. On a évidemment ${\overrightarrow {g}}(-e_{1})=-{\overrightarrow {g}}(e_{1})$. De même pour $e_{2}$, et comme ${\overrightarrow {g}}$ est un isomorphisme, il est en fait envoyé sur un des deux, parmi ces quatre éléments, non colinéaire à ${\overrightarrow {g}}(e_{1})$. On en déduit que $G$ agit par permutation sur $\{\pm e_{1},\pm e_{2}\}$. Par orthogonalité, (la partie vectorielle de) tout élément de $G$ agit sur le vecteur $e_{3}$ (vecteur directeur de $\mathrm {vect} (e_{1},e_{2})^{\perp }$), en conservant la norme, donc soit comme l'identité, soit par multiplication par un scalaire $\pm 1$. De plus, $e_{3}$ ne peut être fixé que par un élément qui laisse chacune des droites $D_{1}$ et $D_{2}$ globalement fixes. Les écritures matricielles possibles sont alors :

$I=\left({\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right),S_{2,3}=\left({\begin{array}{ccc}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right),S_{1,3}=\left({\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{array}}\right),D_{\Delta }=\left({\begin{array}{ccc}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{array}}\right),$

$D_{B}=\left({\begin{array}{ccc}0&1&0\\1&0&0\\0&0&-1\end{array}}\right),M_{1}=\left({\begin{array}{ccc}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&-1\end{array}}\right),M_{2}=\left({\begin{array}{ccc}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&-1\end{array}}\right),D_{B'}=\left({\begin{array}{ccc}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&-1\end{array}}\right).$

L'identité $(g(e_{1}),g(e_{2}))=(e_{1},e_{2})$ implique, dans les cas des deux représentations matricielles au centre de chaque ligne, l'identité $2(e_{1},e_{2})=0$. Ainsi, si ce produit scalaire est non nul, le groupe $G$ est constitué de l'identité, du demi-tour d'axe $\Delta$ ($D_{\Delta }$), et des deux demi-tours ($D_{B}$ et $D_{B'}$) d'axes respectifs les deux bissectrices des projetés de $D_{1}$ et $D_{2}$ dans le plan affine $O+\mathrm {vect} (e_{1},e_{2})$ (qui forment un groupe isomorphe à $Z/2Z\times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$). Si ce produit scalaire est nul, on peut ajouter les réflexions $S_{1,3}$ et $S_{2,3}$ par rapport aux plans $O+\mathrm {vect} (e_{1},e_{3})$ et $O+\mathrm {vect} (e_{2},e_{3})$. On a aussi les symétries rotations $M_{1}$ et $M_{2}$, dont les décompositions canoniques comme symétries rotations font apparaître la réflexion de plan $O+\mathrm {vect} (e_{1},e_{2})$, et les rotations de droite $\Delta$ et d'angle $\pm {\frac {\pi }{2}}$, qui ne sont pas dans $G$. On a par exemple les relations suivantes :

$M_{1}^{2}=M_{2}^{2}=D_{\Delta },\;S_{2,3}M_{1}S_{2,3}=M_{2}=M_{1}^{-1}$.

On reconnaît le groupe diédral avec la présentation $\langle M_{1},S_{2,3}\mid M_{1}^{4}=S_{2,3}^{2}=M_{1}S_{2,3}M_{1}S_{2,3}\rangle$, et l'ordre 8. (On peut aussi s'arrêter plus tôt dans les calculs en utilisant que le groupe diédral est l'unique groupe d'ordre 8 non commutatif admettant $\mathbb {Z} /2Z\times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ comme sous-groupe).

 

Exercice 1-13

Dans un espace affine de dimension 3, soient $D_{1}$, $D_{2}$ et $D_{3}$ des droites parallèles à un plan fixé, deux à deux non coplanaires. Soient $u_{1},u_{2},u_{3}$ des vecteurs directeurs de $D_{1}$, $D_{2}$ et $D_{3}$ respectivement, $A_{1},A_{2},A_{3}$ des points de $D_{1}$, $D_{2}$ et $D_{3}$ respectivement, et $w={\overrightarrow {A_{2}A_{3}}}$. On se place dans le repère affine $(A_{2},(u_{2},u_{3},w))$.

1. Donner une représentation paramétrique de $D_{2}$ et $D_{3}$.
2. En déduire que pour tout point $A$ de coordonnées $(x,y,z)$, si $z\neq 0,1$ (en particulier si $A\in D_{1}$) alors il existe une (unique) droite $\Delta _{A}$ passant par $A$ et coupant $D_{2}$ et $D_{3}$, et donner alors (en fonction de $(x,y,z)$) un vecteur directeur $v_{A}$ de cette droite.
3. D'après 2., on peut désormais supposer $A_{1},A_{2},A_{3}$ alignés. Soient alors $a,b,c\in \mathbb {R}$ tels que $u_{1}=au_{2}+bu_{3}$ et ${\overrightarrow {A_{2}A_{1}}}=cw$. Donner une représentation paramétrique de $D_{1}$ puis montrer que lorsque $A$ parcourt $D_{1}$, $v_{A}$ varie dans un plan vectoriel fixe $P$.
4. Vérifier que $u_{1}\notin P$. En déduire que lorsque $A$ parcourt $D_{1}$, les droites $\Delta _{A}$ (toutes parallèles à $P$) sont deux à deux non coplanaires.

Solution

1. $D_{2}=A_{2}+\mathbb {R} u_{2}$ a pour représentation paramétrique $x=\lambda ,y=0,z=0$. $D_{3}=A_{2}+w+\mathbb {R} u_{3}$ a pour représentation paramétrique $x=0,y=\mu ,z=1$.
2. Les points de cordonnées $(x,y,z)$, $(\lambda ,0,0)$ et $(0,\mu ,1)$ sont alignés si et seulement si les vecteurs de coordonnées $(x-\lambda ,y,z)$ et $(-\lambda ,\mu ,1)$ sont colinéaires, c'est-à-dire si et seulement si $x-\lambda =-\lambda z$ et $y=\mu z$, donc si et seulement si $x=\lambda (1-z)$ et $y=\mu z$. Si $z\neq 0,1$, de tels $\lambda ,\mu$ existent et sont uniques, d'où l'existence et l'unicité de $\Delta _{A}$. On peut alors choisir pour $v_{A}$ le vecteur de coordonnées $(-\lambda ,\mu ,1)=\left({x \over z-1},{y \over z},1\right)$.
3. $D_{1}=(A_{2}+cw)+\mathbb {R} (au_{2}+bu_{3})$ a pour représentation paramétrique $x=ta,y=tb,z=c$. Pour $A\in D_{1}$ correspondant à une valeur $t$ du paramètre, le vecteur $v_{A}$ correspondant vaut ${ta \over c-1}u_{2}+{tb \over c}u_{3}+w=tw'+w$, où $w'={a \over c-1}u_{2}+{b \over c}u_{3}$, donc $v_{A}$ appartient au plan vectoriel $P$ engendré par $w'$ et $w$.
4. $u_{1}\notin P$ car $(u_{1},w',w)$ est libre car ${\begin{vmatrix}a&{a \over c-1}&0\\b&{\frac {b}{c}}&0\\0&0&1\end{vmatrix}}={ab \over c(1-c)}\neq 0$, donc pour $A,A'\in D_{1}$ distincts, la direction du sous-espace affine engendré par $\Delta _{A}$ et $\Delta _{A}'$, qui contient $P$ et $u_{1}$, est l'espace entier, donc ces deux droites sont non coplanaires.