Droites et plans de l'espace/Exercices/Exercices guidés

Soit une pyramide à base carrée SABCD (voir figure ci-dessus).

Pyramide à base carrée.

Cette pyramide est régulière : les 4 faces latérales sont des triangles isocèles et le sommet est à « l’aplomb » du centre O de la base.

Nous étudierons les effets d'un « troncage » parallèle à la base, qui présente une section IJKL de centre O'.

Intersections de droites et plans dans l'espace

1. Les droites (AD) et (BC) sont-elles sécantes ?
2. Les droites (AD) et (BC) sont-elles coplanaires ?
3. Les droites (AI) et (BJ) sont-elles sécantes ?
4. Définir par un minimum de points le plan de la face contenant les 5 points A, B, S, I et J.
5. Démontrer que K appartient au plan (ADJ).
6. Soit M le milieu de [BC]. Démontrer que (SM) et (AD) sont orthogonales.
7. Démontrer que SIJKL est une pyramide régulière de hauteur [SO'].
8. Construire géométriquement le point L à partir des seuls points S, A, B, C et I.

Solution

1. Non car (ABCD) est un carré donc un parallélogramme.
2. Bien sûr, puisqu'elles sont parallèles.
3. I est un point de (AS) et J un point de (BS) donc (AI) et (BJ) sont égales à (AS) et (BS), sécantes en S.
4. Il suffit d'en choisir 3 non alignés : (ABS) = (ABI) = (ABJ) = (IJS) =…
5. Par hypothèse, (JK) est parallèle à (BC) donc à (AD). Par conséquent, elle est incluse dans le plan (ADJ).
6. Par hypothèse, (SM) est la médiatrice de [BC]. Par conséquent, elle est orthogonale à (BC) donc à (AD).
7. D'après les hypothèses, il existe une homothétie de centre S qui transforme le carré ABCD en un carré IJKL, donc qui envoie les 4 faces latérales isocèles de SABCD sur des triangles isocèles et le carré ABCD sur un carré, donc le centre O du premier sur le centre O' du second. De plus, la droite (SO') = (SO) est perpendiculaire au plan (ABCD) donc au plan (IJKL).
8. On construit le symétrique D de B par rapport au milieu de [AC]. L est alors à l'intersection de (SD) avec la parallèle à (AD) issue de I.

 

Géométrie vectorielle

Nous utilisons la figure ci-contre dans le cas particulier où I', J', K' et L' sont les milieux respectifs des arêtes [SA], [SB], [SC] et [SD].

On note M, N, P et Q les milieux respectifs de [BC], [CD], [AD] et [AB] et ${\vec {u}}$ le vecteur ${\vec {AP}}$.

1. Indiquer le représentant de ce vecteur d'origine I'.
2. Indiquer tous les représentants visibles sur la figure.
3. Démontrer que ${\overrightarrow {BC}}$ et ${\vec {u}}$ sont colinéaires
4. En déduire que ${\overrightarrow {AC}}$ et ${\vec {u}}$ ne sont pas colinéaires.
5. Quelles sont les coordonnées du point N dans le repère $(A;{\overrightarrow {AD}},{\overrightarrow {AC}})$ du plan (ACD) ?
6. Soit ${\vec {v}}={\overrightarrow {AC}}$. Donner un troisième vecteur ${\vec {w}}$ tel que $(A;{\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}})$ soit un repère de l'espace.
7. Même question mais avec la contrainte supplémentaire : $(A;{\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}})$ repère orthogonal.
8. Dans le plan vectoriel $\mathbb {R} {\vec {u}}+\mathbb {R} {\vec {v}}$, on considère les deux bases $({\overrightarrow {AP}},{\overrightarrow {AQ}})$ et $({\overrightarrow {OC}},{\overrightarrow {OD}})$. Soit ${\vec {p}}$ un vecteur de coordonnées $(x,y)$ dans la première base et $(x',y')$ dans la seconde. Exprimer $(x',y')$ en fonction de $(x,y)$.

Solution

1. ${\vec {u}}={\overrightarrow {I'L'}}$.
2. ${\vec {u}}={\overrightarrow {I'L'}}={\overrightarrow {AP}}={\overrightarrow {PD}}={\overrightarrow {QO}}={\overrightarrow {ON}}={\overrightarrow {J'K'}}={\overrightarrow {BM}}={\overrightarrow {MC}}$.
3. ${\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {AD}}=2{\vec {u}}$.
4. (AC) n'est pas parallèle à (BC) donc n'est pas dirigée par ${\overrightarrow {BC}}$, ni, par conséquent, par ${\vec {u}}={\frac {1}{2}}{\overrightarrow {BC}}$.
5. Les coordonnées de D et C sont respectivement (1, 0) et (0, 1) donc celles de leur milieu N sont $\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)$.
6. Puisque $(A;{\vec {u}},{\vec {v}})$ est un repère du plan (ACD), on peut choisir par exemple ${\vec {w}}={\overrightarrow {AH}}$ où H est un point n'appartenant pas à ce plan, comme H = S.
7. Remarquons d'abord que ${\vec {u}}\perp {\vec {v}}$ (car $(AD)\perp (AC)$). Le vecteur ${\vec {w}}:={\overrightarrow {OS}}$ est orthogonal à ${\vec {u}}$ et ${\vec {v}}$ (car $(OS)\perp (ACD)$). Un point et trois vecteurs non nuls orthogonaux deux à deux forment un repère orthogonal de l'espace.
8. • ${\vec {p}}=x{\overrightarrow {AP}}+y{\overrightarrow {AQ}}=x'{\overrightarrow {OC}}+y'{\overrightarrow {OD}}$ ;
   • ${\overrightarrow {AP}}={\overrightarrow {ON}}={\frac {{\overrightarrow {OC}}+{\overrightarrow {OD}}}{2}}$ ;
   • ${\overrightarrow {AQ}}={\overrightarrow {OM}}={\frac {{\overrightarrow {OC}}+{\overrightarrow {OB}}}{2}}={\frac {{\overrightarrow {OC}}-{\overrightarrow {OD}}}{2}}$.

   Par conséquent,

   $x'{\overrightarrow {OC}}+y'{\overrightarrow {OD}}=x{\frac {{\overrightarrow {OC}}+{\overrightarrow {OD}}}{2}}+y{\frac {{\overrightarrow {OC}}-{\overrightarrow {OD}}}{2}}={\frac {x+y}{2}}{\overrightarrow {OC}}+{\frac {x-y}{2}}{\overrightarrow {OD}}$

   donc

   $x'={\frac {x+y}{2}}$ et $y'={\frac {x-y}{2}}$

   ou encore, sous forme matricielle :

   ${\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$.

Remarque

Le principe du changement de base sera approfondi au niveau 14.

 

Projeté orthogonal sur un plan

Pour la suite de l'exercice, on suppose que OB = 1. On donnera les résultats en fonction du paramètre h = OS > 0 (hauteur de la pyramide).

On se place dans le repère orthonormé $(O;{\overrightarrow {OB}},{\overrightarrow {OC}},{\overrightarrow {OS}}/h)$ et l'on s'intéresse au plan SBC, et au projeté orthogonal H de O sur ce plan.

1. Donner une équation cartésienne du plan (SBC).
2. En déduire les coordonnées de H.
3. En déduire le rayon OH de la demi-sphère de centre O inscrite dans la pyramide.
4. Quelle courbe décrit H ?

Solution

1. L'écriture cartésienne générale d'un plan est $ax+by+cz+d=0$ avec $(a,b,c)\neq (0,0,0)$.

   Les points S, B, C vérifient cette équation si et seulement si :

   ${\begin{cases}ch+d&=0\\a+d&=0\\b+d&=0\end{cases}}$

   c'est-à-dire :

   $a=b=-d=ch$.

   Le plan (SBC) a donc pour équation :

   $x+y+{\frac {z}{h}}-1=0$.

2. Ces coordonnées $(\alpha ,\beta ,\gamma )$ vérifient :
   • $\alpha +\beta +{\frac {\gamma }{h}}-1=0$ (car H appartient au plan) ;
   • $\alpha =\beta =\gamma h$ (car ${\overrightarrow {OH}}$ est normal au plan).

   Par conséquent, $(\alpha ,\beta ,\gamma )=\left({\frac {h^{2}}{2h^{2}+1}},{\frac {h^{2}}{2h^{2}+1}},{\frac {h}{2h^{2}+1}}\right)$.

3. $OH={\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}}}={\frac {h}{\sqrt {2h^{2}+1}}}$.
4. H décrit la demi-ellipse d'équations $\beta =\alpha ,\ \gamma ^{2}+2\alpha ^{2}-\alpha =0,\ \gamma >0$.