Droites et plans de l'espace/Exercices/Exercices guidés
Soit une pyramide à base carrée SABCD (voir figure ci-dessus).
Cette pyramide est régulière : les 4 faces latérales sont des triangles isocèles et le sommet est à « l’aplomb » du centre O de la base.
Nous étudierons les effets d'un « troncage » parallèle à la base, qui présente une section IJKL de centre O'.
Intersections de droites et plans dans l'espace modifier
- Les droites (AD) et (BC) sont-elles sécantes ?
- Les droites (AD) et (BC) sont-elles coplanaires ?
- Les droites (AI) et (BJ) sont-elles sécantes ?
- Définir par un minimum de points le plan de la face contenant les 5 points A, B, S, I et J.
- Démontrer que K appartient au plan (ADJ).
- Soit M le milieu de [BC]. Démontrer que (SM) et (AD) sont orthogonales.
- Démontrer que SIJKL est une pyramide régulière de hauteur [SO'].
- Construire géométriquement le point L à partir des seuls points S, A, B, C et I.
- Non car (ABCD) est un carré donc un parallélogramme.
- Bien sûr, puisqu'elles sont parallèles.
- I est un point de (AS) et J un point de (BS) donc (AI) et (BJ) sont égales à (AS) et (BS), sécantes en S.
- Il suffit d'en choisir 3 non alignés : (ABS) = (ABI) = (ABJ) = (IJS) =…
- Par hypothèse, (JK) est parallèle à (BC) donc à (AD). Par conséquent, elle est incluse dans le plan (ADJ).
- Par hypothèse, (SM) est la médiatrice de [BC]. Par conséquent, elle est orthogonale à (BC) donc à (AD).
- D'après les hypothèses, il existe une homothétie de centre S qui transforme le carré ABCD en un carré IJKL, donc qui envoie les 4 faces latérales isocèles de SABCD sur des triangles isocèles et le carré ABCD sur un carré, donc le centre O du premier sur le centre O' du second. De plus, la droite (SO') = (SO) est perpendiculaire au plan (ABCD) donc au plan (IJKL).
- On construit le symétrique D de B par rapport au milieu de [AC]. L est alors à l'intersection de (SD) avec la parallèle à (AD) issue de I.
Géométrie vectorielle modifier
Nous utilisons la figure ci-contre dans le cas particulier où I', J', K' et L' sont les milieux respectifs des arêtes [SA], [SB], [SC] et [SD].
On note M, N, P et Q les milieux respectifs de [BC], [CD], [AD] et [AB] et le vecteur .
- Indiquer le représentant de ce vecteur d'origine I'.
- Indiquer tous les représentants visibles sur la figure.
- Démontrer que et sont colinéaires
- En déduire que et ne sont pas colinéaires.
- Quelles sont les coordonnées du point N dans le repère du plan (ACD) ?
- Soit . Donner un troisième vecteur tel que soit un repère de l'espace.
- Même question mais avec la contrainte supplémentaire : repère orthogonal.
- Dans le plan vectoriel , on considère les deux bases et . Soit un vecteur de coordonnées dans la première base et dans la seconde. Exprimer en fonction de .
- .
- .
- .
- (AC) n'est pas parallèle à (BC) donc n'est pas dirigée par , ni, par conséquent, par .
- Les coordonnées de D et C sont respectivement (1, 0) et (0, 1) donc celles de leur milieu N sont .
- Puisque est un repère du plan (ACD), on peut choisir par exemple où H est un point n'appartenant pas à ce plan, comme H = S.
- Remarquons d'abord que (car ). Le vecteur est orthogonal à et (car ). Un point et trois vecteurs non nuls orthogonaux deux à deux forment un repère orthogonal de l'espace.
-
- ;
- ;
- .
- Par conséquent,
- donc
- et
- ou encore, sous forme matricielle :
- .
- Remarque
- Le principe du changement de base sera approfondi au niveau 14.
Projeté orthogonal sur un plan modifier
Pour la suite de l'exercice, on suppose que OB = 1. On donnera les résultats en fonction du paramètre h = OS > 0 (hauteur de la pyramide).
On se place dans le repère orthonormé et l'on s'intéresse au plan SBC, et au projeté orthogonal H de O sur ce plan.
- Donner une équation cartésienne du plan (SBC).
- En déduire les coordonnées de H.
- En déduire le rayon OH de la demi-sphère de centre O inscrite dans la pyramide.
- Quelle courbe décrit H ?
- L'écriture cartésienne générale d'un plan est avec .
- Les points S, B, C vérifient cette équation si et seulement si :
- c'est-à-dire :
- .
- Le plan (SBC) a donc pour équation :
- .
- Les points S, B, C vérifient cette équation si et seulement si :
- Ces coordonnées vérifient :
- (car H appartient au plan) ;
- (car est normal au plan).
- Par conséquent, .
- .
- H décrit la demi-ellipse d'équations .