Dynamique des fluides parfaits/Exercices/Rendement d'un ventilateur

Un ventilateur est installé dans la paroi d'un local communiquant avec l'extérieur par l'intermédiaire d'une canalisation cylindrique de diamètre D munie d'un convergent d'entrée.

On suppose que les caractéristiques de l'air ambiant (pression P₀ et température T₀) prennent les mêmes valeurs à l'extérieur et à l'intérieur du local et que l'air est un fluide parfait. On installe un tube de Pitot dans la veine cylindrique qui est raccordé à un tube en U contenant de l'eau sur lequel on relève la dénivellation h.

Ventilateur — schéma

Sachant que la puissance du moteur entraînant le ventilateur est $\scriptstyle {\mathcal {P}}$, quelle est la valeur du rendement de l'installation ?

AN : D = 85 cm, P₀ = 101 396 Pa, $\scriptstyle {\mathcal {P}}$ = 37,45 kW, h = 124 mm

Solution

On définit :

$\eta ={\frac {\rm {puissance~de~l'air}}{\rm {puissance~fournie}}}$

et la puissance fournie vaut la puissance donnée.

On généralise l'équation de Bernoulli pour l'air entre les points 1 et 2 (entrée et sortie) :

$\Delta W_{1\rightarrow 2}=(P_{2}-P_{1})+{\rho _{air} \over 2}(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})+\rho _{air}g(z_{2}-z_{1})+\Delta J_{1\rightarrow 2}$

$\Delta J_{1\rightarrow 2}=0$ car l'air est un fluide parfait.

$P_{1}=P_{2}=P_{0}{\rm {~et~}}z_{1}=z_{2}$

$\Delta W_{1\rightarrow 2}={\rho \over 2}v^{2}$

et $v_{1}=0{\rm {~et~}}v_{2}=v$ vitesse lue sur le tube.

$\Delta W_{1\rightarrow 2}$ est l'énergie fournie au fluide par unité de volume.

$v={\sqrt {2\rho _{eau}gh \over \rho _{air}}}$

$v=43,38\,{\rm {m.s^{-1}}}$

Puissance de l'air :

${\mathcal {P}}_{air}=Q_{v}W_{1\rightarrow 2}=SvW=Sv{\rho _{air} \over 2}v^{2}$

avec $S=\pi {D^{2} \over 4}$

${\begin{aligned}{\mathcal {P}}_{air}&={S\rho _{air}v^{3} \over 2}\\&={\pi D^{2}\rho _{air} \over 8}\left({\sqrt {2\rho _{eau}gh \over \rho _{air}}}\right)^{3}\end{aligned}}$

En application numérique, on trouve :

${\mathcal {P}}_{air}=29942\,{\rm {W}}$

et finalement,

$\eta =0,80$