Dynamique des fluides parfaits/Théorème de la quantité de mouvement -Euler

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Équation d'Euler

Début d’un principe

Équation d'Euler - Principe de conservation de la quantité de mouvement pour des fluides parfaits (non-visqueux)

L'équation d'Euler découle de l'équation de Navier-Stokes le cas des fluides non-visqueux. Cette dernière découle du principe fondamental de la dynamique (PFD) dans le cas des fluides.

$-{\overrightarrow {\nabla p}}+\rho {\overrightarrow {g}}=\rho .{\overrightarrow {a}}=\rho {\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {v}}}{\mathrm {d} t}}$

Fin du principe

Forme locale

Lorsque le volume V de fluide, entouré d'une surface S, est soumis à son propre poids comme unique force volumique, on rappelle que la somme des forces extérieures (cf équation fondamentale de l'hydrostatique ) s'écrit sous la forme :

$\sum _{fluide}{\overrightarrow {F}}=\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}{\overrightarrow {\mathrm {d} F_{S}}}+\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}{\overrightarrow {\mathrm {d} F_{V}}}=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}(-{\overrightarrow {\nabla p}}+\rho {\overrightarrow {g}})\mathrm {d} V$.

On applique le Principe Fondamental de la Dynamique :

$\sum _{fluide}{\overrightarrow {F}}=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}(-{\overrightarrow {\nabla p}}+\rho {\overrightarrow {g}})\mathrm {d} V=m.{\overrightarrow {a}}$.

La formule précédente concerne le volume total de fluide. Pour un élément de volume (volume de fluide infinitésimalement petit), il vient :

$-{\overrightarrow {\nabla p}}+\rho {\overrightarrow {g}}=\rho .{\overrightarrow {a}}=\rho {\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {v}}}{\mathrm {d} t}}$.

Que l’on peut aussi écrire, en utilisant la formule de l’accélération d'Euler :

$-{\overrightarrow {\nabla p}}+\rho {\overrightarrow {g}}=\rho {\Big (}{\frac {\partial {\overrightarrow {v}}}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\nabla {\overrightarrow {v}}^{2}+({\overrightarrow {\nabla }}\wedge {\overrightarrow {v}})\wedge {\overrightarrow {v}}{\Big )}$.

Forme globale

$\sum _{fluide}{\overrightarrow {F}}=\iiint _{V}{\frac {\partial \rho {\overrightarrow {v}}}{\partial t}}dV+\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}\rho ({\overrightarrow {v}}.{\overrightarrow {n}}).{\overrightarrow {v}}d_{S}$

Or, il s'agît de l'écoulement permanent: sa vitesse est constante dans toutes les sections perpendiculaires à l'écoulement (d'où le débit massique conservé):

$\iiint _{V}{\frac {\partial \rho {\overrightarrow {v}}}{\partial t}}dV=0\Rightarrow \sum _{fluide}{\overrightarrow {F}}=\iint \rho ({\overrightarrow {v}}.{\overrightarrow {n}}).{\overrightarrow {v}}d_{S}$

Tube de courant

Le tube de courant est composé de trois surfaces Se, Ss et Sl, de trois vecteurs normaux ne, ns et nl et respectivement de trois vitesse Ve, Vs et Vl. Il est également composé d'un débit d'entrée $q_{m_{e}}$ et d'un débit de sortie $q_{m_{s}}$. En reprenant la formule établie précédemment, il vient:

$\sum _{fluide}{\overrightarrow {F}}=\iint _{S.totale}\rho ({\overrightarrow {v}}.{\overrightarrow {n}}).{\overrightarrow {v}}d_{S}=\iint _{Se}\rho ({\overrightarrow {v_{e}}}.{\overrightarrow {n_{e}}}).{\overrightarrow {v_{e}}}d_{S}+\iint _{Sl}\rho ({\overrightarrow {v_{l}}}.{\overrightarrow {n_{l}}}).{\overrightarrow {v_{l}}}d_{S}+\iint _{Ss}\rho ({\overrightarrow {v_{s}}}.{\overrightarrow {n_{s}}}).{\overrightarrow {v_{s}}}d_{S}$

Or, il s'agit d'un fluide parfait: sa vitesse est constante dans toutes les sections perpendiculaires à l'écoulement. On peut donc sortir les vitesses des intégrales:

$\sum _{fluide}{\overrightarrow {F}}={\overrightarrow {v_{e}}}.\iint _{Se}\rho ({\overrightarrow {v_{e}}}.{\overrightarrow {n_{e}}})d_{S}+{\overrightarrow {v_{l}}}.\iint _{Sl}\rho ({\overrightarrow {v_{l}}}.{\overrightarrow {n_{l}}})d_{S}+{\overrightarrow {v_{s}}}.\iint _{Ss}\rho ({\overrightarrow {v_{s}}}.{\overrightarrow {n_{s}}})d_{S}$

De plus, il s'agit d'un écoulement permament, donc:

${\overrightarrow {v_{l}}}.{\overrightarrow {n_{l}}}=0$

Ce qui donne:

$\sum _{fluide}{\overrightarrow {F}}={\overrightarrow {v_{e}}}.\iint _{Se}\rho ({\overrightarrow {v_{e}}}.{\overrightarrow {n_{e}}})d_{S}+{\overrightarrow {v_{s}}}.\iint _{Ss}\rho ({\overrightarrow {v_{s}}}.{\overrightarrow {n_{s}}})d_{S}$

On rappelle que $\rho .{S_{e}}({\overrightarrow {v_{e}}}.{\overrightarrow {n_{e}}})=-q_{m_{e}}$ et $\rho .{S_{s}}({\overrightarrow {v_{s}}}.{\overrightarrow {n_{s}}})=q_{m_{s}}$, ce qui nous permet d'écrire:

$\sum _{fluide}{\overrightarrow {F}}=-{\overrightarrow {v_{e}}}.q_{m_{e}}+{\overrightarrow {v_{s}}}.q_{m_{s}}$

Dans un écoulement permanent, le débit massique est conservé, on le note Qm: $q_{m_{e}}=q_{m_{s}}=Qm$

$\sum _{fluide}{\overrightarrow {F}}=Qm.({\overrightarrow {v_{s}}}-{\overrightarrow {v_{e}}})$

Vous venez d’établir l'équation d'Euler dans le cas de l'écoulement permanent d'un fluide parfait.