Ensemble (mathématiques)/Exercices/Ensembles et opérations

Exercice 2-1

Vrai ou faux ? (justifier la réponse !)

1. ${\mathcal {P}}(A\cup B)={\mathcal {P}}(A)\cup {\mathcal {P}}(B)$ ?
2. ${\mathcal {P}}(A\cap B)={\mathcal {P}}(A)\cap {\mathcal {P}}(B)$ ?
3. ${\mathcal {P}}(A\times B)={\mathcal {P}}(A)\times {\mathcal {P}}(B)$ ?
4. $A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)$ ?
5. $A\cup (B\times C)=(A\cup B)\times (A\cup C)$ ?

Solution

1. Faux. En général on a seulement ${\mathcal {P}}(A)\cup {\mathcal {P}}(B)\subset {\mathcal {P}}(A\cup B)$.
   Pour que l'inclusion réciproque soit vraie, il faut en particulier que $A\cup B$ appartienne à ${\mathcal {P}}(A)\cup {\mathcal {P}}(B)$, c'est-à-dire soit inclus dans $A$ ou dans $B$, ce qui revient à : $B\subset A$ ou $A\subset B$.
2. Vrai car $X\subset A\cap B\Leftrightarrow X\subset A$ et $X\subset B$.
3. Faux en général, pour une simple raison de cardinal (ou parce que le second ensemble est un ensemble de couples et pas le premier).
4. Vrai car les deux sont des ensembles de couples, et
   $(x,y)\in A\times (B\cup C)\Leftrightarrow x\in A{\text{ et }}(y\in B{\text{ ou }}y\in C))\Leftrightarrow (x\in A{\text{ et }}y\in B){\text{ ou }}(x\in A{\text{ et }}y\in C))\Leftrightarrow (x,y)\in (A\times B)\cup (A\times C)$.
5. Faux car (par exemple) le second est un ensemble de couples, mais pas le premier si $A$ n'en est pas un.

 

Exercice 2-2

Démontrer les équivalences : $E\subset F\Leftrightarrow E=E\cap F\Leftrightarrow F=E\cup F$. À quelle condition a-t-on $E\cap F=E\cup F$ ?

Solution

• Si $E=E\cap F$ ou $F=E\cup F$ alors $E\subset F$ (car $E\cap F\subset F$ et $E\subset E\cup F$).
• Si $E\cap F=E\cup F$ alors $E\subset E\cup F=E\cap F\subset F$ et de même, $F\subset E$, donc $E=F$.

Les réciproques sont immédiates.

 

Démontrer l'équivalence : $A\cup B\subset A\cap C\Longleftrightarrow B\subset A\subset C$.

Solution

$A\cup B\subset A\cap C\Leftrightarrow (A\cup B\subset A{\text{ et }}A\cup B\subset C)\Leftrightarrow (B\subset A{\text{ et }}A\subset C{\text{ et }}B\subset C)\Leftrightarrow B\subset A\subset C$.

Variante :

• si $B\subset A\subset C$ alors $A\cup B=A=A\cap C$ ;
• si $B\not \subset A$ alors $B\not \subset A\cap C$ ; si $A\not \subset C$ alors $A\not \subset A\cap C$. Donc si $B\not \subset A$ ou $A\not \subset C$ alors $A\cup B\not \subset A\cap C$ et par contraposition, $A\cup B\subset A\cap C\Rightarrow B\subset A\subset C$.

 

Exercice 2-3

Pour tout $n\in \mathbb {N} ^{*}$, notons $A_{n}$ le sous-ensemble de $\mathbb {N} ^{*}$ formé des multiples de $n$.

1. Caractériser $A_{n}\cap A_{m}$, pour $m,n\in \mathbb {N} ^{*}$.
2. Caractériser $\cup _{p\in {\mathcal {P}}}A_{p}$ et $\cap _{p\in {\mathcal {P}}}A_{p}$, où ${\mathcal {P}}$ désigne l'ensemble des nombres premiers.

Solution

1. $A_{n}\cap A_{m}=A_{\operatorname {PPCM} (m,n)}$.
2. $\cup _{p\in {\mathcal {P}}}A_{p}=\mathbb {N} ^{*}\setminus \{1\}$ et $\cap _{p\in {\mathcal {P}}}A_{p}=\varnothing$.

 

Exercice 2-4

Soient $A,B,C$ trois ensembles.

1. Démontrer que si $A\cup B\subset A\cup C$ et $A\cap B\subset A\cap C$ alors $B\subset C$.
2. Démontrer l'équivalence $A\cap B=A\cap C\Longleftrightarrow A\Delta (B\cup C)=(A\Delta B)\cup (A\Delta C)$.

Solution

1. Si $A\cup B\subset A\cup C$ et $A\cap B\subset A\cap C$, soit $x\in B$. Alors, $x\in A\cup B\subset A\cup C$ donc si $x\notin A$, $x\in C$ et si $x\in A$ alors $x\in A\cap B\subset A\cap C\subset C$.
2. • La méthode la plus simple consiste à coder les opérations ensemblistes par les opérations modulo 2 sur les fonctions indicatrices. Il s'agit alors de montrer que $ab\equiv ac{\pmod {2}}$ est équivalent à $a+(b+c+bc)\equiv (a+b)+(a+c)+(a+b)(a+c){\pmod {2}}$, c'est-à-dire à $a+b+c+bc\equiv b+c+a+ba+ac+bc{\pmod {2}}$, ou encore à $0\equiv ba+ac{\pmod {2}}$. Sous cette forme, l'équivalence est immédiate.
   • Autre méthode : $A\Delta (B\cup C)=[A\setminus (B\cup C)]\cup [(B\cup C)\setminus A]=[(A\setminus B)\cap (A\setminus C)]\cup [B\setminus A]\cup [C\setminus A]$, tandis que $(A\Delta B)\cup (A\Delta C)=[A\setminus B]\cup [A\setminus C]\cup [B\setminus A]\cup [C\setminus A]$. Le premier ensemble est donc toujours inclus dans le second, et ils sont égaux si et seulement si $[A\setminus B]\cup [A\setminus C]\subset A\Delta (B\cup C)$, c'est-à-dire si $A\setminus B$ et $A\setminus C$ sont disjoints de $B\cup C$, autrement dit si $A\cap C\subset B$ et $A\cap B\subset C$, ce qui est bien équivalent à $A\cap B=A\cap C$.

 

Exercice 2-5

À quelle condition a-t-on respectivement $E\times F=\varnothing$ ? $E\times F=\{a\}$ ? $\operatorname {card} (E\times F)=2$ ?

Solution

$\operatorname {card} (E\times F)=\operatorname {card} (E)\operatorname {card} (E)$ donc :

• $E\times F=\varnothing$ si et seulement si $E$ ou $F$ est vide ;
• $E\times F=\{a\}$ si et seulement si $E=\{b\}$, $E=\{c\}$ et $a=(b,c)$ ;
• $\operatorname {card} (E\times F)=2$ si et seulement si $\operatorname {card} (E)=1$ et $\operatorname {card} (F)=2$, ou l'inverse. Plus explicitement : $\{c\}\times \{d,e\}=\{(c,d),(c,e)\}$ et $\{c,d\}\times \{e\}=\{(c,e),(d,e)\}$.

 

Exercice 2-6

Soient $A,B,C$ des parties d'un ensemble $X$. Établir :

1. $(A\setminus B)\setminus C=A\setminus (B\cup C)$, tandis que $A\setminus (B\setminus C)=(A\setminus B)\cup (A\cap C)$ ;
2. $B^{c}\setminus A^{c}=A\setminus B$ et $A^{c}\Delta B^{c}=A\Delta B$ ;
3. $A\setminus (B^{c}\cup C^{c})=A\cap B\cap C$ ;
4. $(A\cup B\cup C)\setminus (A\cap B\cap C)=(A\Delta B)\cup (B\Delta C)$ ;
5. $A\Delta B$ et $A^{c}\Delta B$ sont complémentaires dans $X$ ;
6. $(A\Delta B)\cap C=(A\cap C)\Delta (B\cap C)$ ;
7. $(A\cup B)\Delta (A\cup C)=A^{c}\cap (B\Delta C)$.

Solution

1. $(A\setminus B)\setminus C=(A\cap B^{c})\cap C^{c}=A\cap (B^{c}\cap C^{c})=A\cap (B\cup C)^{c}=A\setminus (B\cup C)$, tandis que $A\setminus (B\setminus C)=A\cap (B\cap C^{c})^{c}=A\cap (B^{c}\cup C)=(A\cap B^{c})\cup (A\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\cap C)$.
2. $B^{c}\setminus A^{c}=B^{c}\cap (A^{c})^{c}=B^{c}\cap A=A\cap B^{c}=A\setminus B$, d'où $A^{c}\Delta B^{c}=(A^{c}\cup B^{c})\setminus (A^{c}\cap B^{c})=(A\cap B)^{c}\setminus (A\cup B)^{c}=(A\cup B)\setminus (A\cap B)=A\Delta B$.
3. $A\setminus (B^{c}\cup C^{c})=A\cap (B^{c}\cup C^{c})^{c}=A\cap B\cap C$.
4. $(A\Delta B)\cup (B\Delta C)=(A\setminus B)\cup (C\setminus B)\cup (B\setminus A)\cup (B\setminus C)=\left((A\cup C)\setminus B\right)\cup \left(B\setminus (A\cap C)\right)=\left((A\cup B\cup C)\setminus B\right)\cup \left(B\setminus (A\cap B\cap C)\right)=(A\cup B\cup C)\setminus (A\cap B\cap C)$.
5. D'après la question précédente, $(A\Delta B)\cup (A^{c}\Delta B)=(A\cup B\cup A^{c})\setminus (A\cap B\cap A^{c})\supset (A\cup A^{c})\setminus (A\cap A^{c})=X\setminus \varnothing =X$. En remplaçant $B$ par $B^{c}$ et en utilisant la question 2, on en déduit : $\left((A\Delta B)\cap (A^{c}\Delta B)\right)^{c}=(A^{c}\Delta B^{c})\cup (A\Delta B^{c})=X$ (on pourrait aussi le déduire de la question 2.2).
6. $(A\cap C)\Delta (B\cap C)=\left((A\cap C)\cup (B\cap C)\right)\cap (A\cap B\cap C)^{c}=(A\cup B)\cap C\cap (A\cap B)^{c}=(A\Delta B)\cap C$.
7. D'après les questions 2 et 6, $(A\cup B)\Delta (A\cup C)=(A\cup B)^{c}\Delta (A\cup C)^{c}=(A^{c}\cap B^{c})\Delta (A^{c}\cap C^{c})=A^{c}\cap (B^{c}\Delta C^{c})=A^{c}\cap (B\Delta C)$.

Remarque : tout pourrait aussi se calculer sur les indicatrices, à valeurs dans $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$.

 

Exercice 2-7

Soient $A,B$ deux parties d'un ensemble $E$. Discuter et résoudre dans ${\cal {P}}(E)$ l'équation en $X$ :

1. $A\cap X=B$,
2. $A\cup X=B$,
3. $(A\cap X)\cup (B\cap X^{c})=\varnothing$.

Solution

1. Pour qu'il y ait des solutions il faut que $B\subset A$. Moyennant quoi, les solutions sont de la forme : $X=B\cup Y$ avec $Y\subset A^{c}$ arbitraire.
2. Pour qu'il y ait des solutions il faut que $A\subset B$. Moyennant quoi, les solutions sont de la forme : $X=(B\setminus A)\cup Y$ avec $Y\subset A$ arbitraire.
3. L'équation admet des solutions si et seulement si $A$ et $B$ sont disjoints. Les solutions sont alors de la forme : $X=B\cup Y$ avec $Y\subset A^{c}$ arbitraire.

 

Soient $E$ un ensemble, $A,B$ deux parties de $E$ et

$f:{\cal {P}}(E)\to {\cal {P}}(A)\times {\cal {P}}(B),\;X\mapsto (X\cap A,X\cap B)$.

• Montrer que $f$ est injective si et seulement si $A\cup B=E$ et que $f$ est surjective si et seulement si $A\cap B=\varnothing$.
• Lorsque $f$ est bijective, déterminer $f^{-1}$.

Solution

Soient $A'\subset A,B'\subset B$, cherchons les $X$ tels que $f(X)=(A',B')$ ; pour qu'il en existe il faut que $A'\cap B=B'\cap A$, et les solutions sont alors les $X$ de la forme $A'\cup B'\cup Y$ avec $Y\subset E\setminus (A\cup B)$. Donc $f$ est injective si et seulement si $A\cup B=E$ et surjective si et seulement si $A\cap B=\varnothing$.

Plus élémentairement : si $A\cup B=E$ alors $f$ est injective car $\forall X\subset E\quad X=(X\cap A)\cup (X\cap B)$ ; par contre si $x\in E\setminus (A\cup B)$ alors $f(\{x\})=f(\varnothing )$.

Si $A\cap B=\varnothing$ alors $f$ est surjective car $\forall A'\subset A\quad \forall B'\subset B\quad f(A'\cup B')=(A',B')$ ; par contre si $x\in A\cap B$ alors $(\{x\},\varnothing )$ n'a pas d'antécédent par $f$. Si $f$ est bijective, $f^{-1}(C,D)=C\cup D$.