Espace euclidien/Exercices/Coniques

Exercice 2-1

Soit ${\mathcal {E}}$ une ellipse de centre O. Donner la distance maximale de O aux normales à ${\mathcal {E}}$.

Solution

Dans un repère orthonormé adéquat d'origine O, l'ellipse est paramétrée par $x=a\cos t,y=b\sin t$ avec $0<b<a$ (en excluant le cas trivial où l'ellipse est un cercle). Au point $M(t)$, un vecteur tangent est alors $\left(-a\sin t,b\cos t\right)$ donc la normale a pour équation : $-a\sin t\left(x-a\cos t\right)+b\cos t\left(y-b\sin t\right)=0\Leftrightarrow xa\sin t+yb\cos t=\left(a^{2}-b^{2}\right)\cos t\sin t$. La distance de O à cette normale est donc $\left(a^{2}-b^{2}\right){\frac {\left|\cos t\sin t\right|}{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t}}}$. Elle est maximale lorsque l'inverse de son carré, ${\frac {1}{\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2}}}\left({\frac {a^{2}}{\cos ^{2}t}}+{\frac {b^{2}}{\sin ^{2}t}}\right)$, est minimale, ce qui implique (en dérivant et en simplifiant) $|\tan t|={\sqrt {b/a}}$, et elle vaut alors $\left(a^{2}-b^{2}\right){\frac {{\sqrt {\frac {a}{a+b}}}{\sqrt {\frac {b}{a+b}}}}{\sqrt {a^{2}{\frac {b}{a+b}}+b^{2}{\frac {a}{a+b}}}}}=\left(a^{2}-b^{2}\right){\frac {\frac {\sqrt {ab}}{a+b}}{\sqrt {ab}}}=a-b$.