Espace euclidien/Exercices/Matrices orthogonales

Matrices orthogonales
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Exercices no3
Leçon : Espace euclidien

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Coniques
Exo suiv. :Orthonormalisation de Gram-Schmidt
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Espace euclidien/Exercices/Matrices orthogonales
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Exercice 3-1

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Soit B une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur un K-espace vectoriel de dimension n.

Soit  , c'est-à-dire   une application linéaire telle que   pour tout  .

  1. Trouver une relation entre les matrices de φ et B dans une même base.
  2. Montrer que det φ = ±1.
  3. Soit   le polynôme caractéristique de φ. Montrer que
     
    Indication. Soit A la matrice de φ. En utilisant 1., montrer que   est semblable à  .
  4. Soit K un corps contenant K tel que   se décompose en facteurs linéaires sur   (par exemple, si   ou  , on peut supposer que  ).
    Montrer que si   est racine de  , alors   est aussi une racine de  , de la même multiplicité.

Exercice 3-2

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  1. Montrer que l'endomorphisme de   donné par la matrice   est B-orthogonal pour  .
  2. On note  . Montrer que l'endomorphisme de   donné par la matrice   est B-orthogonal pour  .
  3. Soit P un polynôme à coefficients réels qui vérifie la condition de la question 4 de l'exercice précédent. Montrer qu'il existe une forme bilinéaire symétrique non dégénérée B et un opérateur B-orthogonal dont le polynôme caractéristique est P à un facteur constant près.

Exercice 3-3

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  1. Existe-t-il une forme bilinéaire symétrique non dégénérée B sur   telle que la matrice de Jordan   soit B-orthogonale ?
  2. Même question (sur  ) pour  .

Exercice 3-4

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On rappelle (cf. Réduction des endomorphismes/Exercices/Diagonalisation et sous-espaces stables#Exercice 1-6) que pour tout endomorphisme d'un  -espace vectoriel de dimension finie, il existe un sous-espace stable de dimension 1 ou 2.

Soient E un espace euclidien et  .

  1. Montrer que toutes les valeurs propres de φ sont de module 1 (en particulier ses seules éventuelles valeurs propres réelles sont 1 et –1).
  2. Montrer que pour tout sous-espace F stable par φ, le sous-espace F est aussi stable par φ.
  3. Montrer qu'il existe une base orthonormée de E dans laquelle la matrice de φ est de la forme
     , avec  .
  4. Montrer que cette matrice est diagonalisable sur  .

Soit φ un endomorphisme de E antisymétrique, c'est-à-dire tel que φ* = –φ. Montrer de même qu'il existe une base orthonormée de E dans laquelle la matrice de φ est de la forme

 , avec  .

Exercice 3-5

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À l'aide de l'exercice précédent, démontrer que tout endomorphisme orthogonal d'un espace euclidien est à la fois :

  1. composé de réflexions (c'est-à-dire symétries orthogonales par rapport à des hyperplans) ;
  2. composé de deux symétries orthogonales.

Exercice 3-6

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Soient E un plan euclidien et φ une similitude de E dont la matrice dans une certaine base (u, v) est de la forme   avec  . Montrer que u et v sont orthogonaux et de même norme.

Exercice 3-7

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Déterminer la nature d'un endomorphisme orthogonal φ de   ainsi que l'angle de rotation, en fonction du déterminant et de la trace de φ.

Exercice 3-8

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Pour chacune des quatre matrices orthogonales suivantes, trouver une base orthonormée dans laquelle la matrice prend la forme canonique de l’exercice 3-4 :

 .

Déterminer la nature des transformations de   dont les matrices dans la base canonique sont :

 ,  ,  ,  .

Soient   un espace euclidien de dimension 3 orienté, et   une base orthonormée directe (b.o.n.d.) de  . Caractériser l'endomorphisme   de matrice   dans  .

 ,  .

Trouver les réels   pour que la matrice suivante soit dans   :

 .

Exercice 3-9

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Soient   un espace euclidien de dimension 3 orienté, et   une base orthonormée directe de  . Écrire la matrice dans   de la rotation d'axe   et d'angle  .

Exercice 3-10

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Soient   un espace euclidien de dimension   et   tel que  . On définit alors la forme bilinéaire symétrique sur   :

 .
  1. Montrer que   est un produit scalaire sur  .
  2. Démontrer que   est orthogonal pour le produit scalaire  .
  3. Montrer que  . Qu'en déduit-on sur la matrice de   dans une base orthonormée pour   ?
  4. On suppose désormais   et   euclidien canonique. On considère une matrice   telle que   et  . Soit  . Déduire de la question précédente qu'il existe   telle que  .

Exercice 3-11

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Soient   euclidien de dimension 4 et   une base orthonormée de  . Soient   et   de matrice   dans  .

  1. Montrer que  .
  2. Soit   le plan engendré par   et  . Montrer que   est stable par   et que la restriction de   à   est une rotation.
  3. Montrer que le plan   est stable par   et est engendré par   et  . La restriction de   à   est-elle une rotation ?

Exercice 3-12

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Dans   euclidien, soient   deux rotations, distinctes de l'identité. Montrer que   si et seulement si   et   sont soit deux rotations de même axe, soit deux retournements par rapport à deux droites orthogonales. Dans ce second cas, montrer que   est un retournement.

Exercice 3-13

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Dans   euclidien orienté, soient   la rotation d'angle   autour d'un vecteur non nul  , et   une rotation quelconque. Montrer que   est la rotation d'angle   autour de  .

Exercice 3-14

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(Simplicité de  ) Soit   un sous-groupe distingué du groupe   des rotations de  . On suppose   non réduit au neutre (l'identité de  ) et l'on va montrer qu'alors   contient au moins un retournement (c), puis qu'il les contient tous (d), puis finalement que   tout entier (e).

a) Soit   un élément de   différent de l'identité. En considérant les  , montrer qu'il existe dans   au moins une rotation   d'angle   tel que  .

b) Montrer qu'il existe un vecteur non nul   tel que  .

c) On note   le retournement autour de   et  .

i) Montrer que  .

ii) Montrer que   est un retournement (utiliser le résultat des deux exercices précédents).

d) Soit   un retournement arbitraire.

i) Montrer qu'il existe une rotation   telle que   (utiliser le résultat de l'exercice précédent).

ii) En déduire que  .

iii) En déduire que   contient tous les retournements.

e)

i) Démontrer que toute rotation dans   est un produit de deux retournements.

ii) En déduire que  .