Trace et transposée de matrice/Espace euclidien sur un ensemble de matrices

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Ce produit scalaire induit une norme (la norme de Frobenius) : voir Analyse numérique et calcul scientifique/Généralités sur les matrices (niveau 16).

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Définition

On notera $\langle \;\mid \;\rangle$ l’application définie par :

${\begin{aligned}\langle \;\mid \;\rangle :\left(\operatorname {M} _{m,n}(\mathbb {R} )\right)^{2}&\longrightarrow \mathbb {R} \\(A,B)&\longmapsto \operatorname {Tr} (^{t}\!AB)=\sum _{1\leq i\leq m,\,1\leq j\leq n}A_{i,j}B_{i,j}.\end{aligned}}$

Début de l'exemple

Exemple

Soient les matrices : $A={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}$ $B={\begin{pmatrix}2&3\\4&5\end{pmatrix}}$. Alors :

$\langle A\mid B\rangle =\mathrm {Tr} \,{\begin{pmatrix}14&18\\20&26\end{pmatrix}}=14+26=40$.

Fin de l'exemple

Propriété 10

$\langle \;\mid \;\rangle$ est un produit scalaire sur M_m,n(ℝ).

Démonstration

On reconnait l'écriture du produit scalaire canonique sur ℝ^mn, naturellement isomorphe à M_m,n(ℝ).

 

Nous noterons par la suite, pour toutes matrices A, B, C, D appartenant à M_m,n(ℝ) :

• ${\overrightarrow {AB}}:=B-A$ ;
• ${\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {CD}}:=\langle {\overrightarrow {AB}}\mid {\overrightarrow {CD}}\rangle =\langle B-A\mid D-C\rangle =\operatorname {Tr} \left(^{t}(B-A)(D-C)\right)$ ;
• $AB:={\sqrt {{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AB}}}}={\sqrt {\langle B-A\mid B-A\rangle }}={\sqrt {\operatorname {Tr} \left(^{t}(B-A)(B-A)\right)}}$.

AB sera alors la distance de la matrice A à la matrice B.

Si 0 est la matrice nulle, on notera simplement le vecteur :

${\overrightarrow {A}}={\overrightarrow {0A}}$

On introduit ainsi une géométrie matricielle.

Les propriétés générales des espaces euclidiens s’appliquent ainsi à M_m,n(ℝ).

On a par exemple :

Début d’un théorème

Théorème de Pythagore

Pour toutes matrices A, B, C appartenant à M_m,n(ℝ),

${\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}=0\Leftrightarrow BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$.

Autrement dit, dans tout triangle matriciel rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Fin du théorème

Propriété 11 (inégalité de Cauchy-Schwarz)

$\forall A,B\in \operatorname {M} _{m,n}(\mathbb {R} )\quad \mathrm {Tr} (^{t}\!BA)\leq {\sqrt {\mathrm {Tr} (^{t}\!AA)\mathrm {Tr} (^{t}\!BB)}}$.

Propriété 12

$\forall A\in \operatorname {M} _{m,n}(\mathbb {R} )\quad \forall B\in \operatorname {M} _{n,p}(\mathbb {R} )\quad \forall C\in \operatorname {M} _{m,p}(\mathbb {R} )\quad \langle AB\mid C\rangle _{\operatorname {M} _{m,p}}=\langle B\mid (^{t}\!A)C\rangle _{\operatorname {M} _{n,p}}$.

Démonstration

$\langle AB\mid C\rangle =\operatorname {Tr} \left(^{t}\!(AB)C\right)=\operatorname {Tr} \left(^{t}\!B^{t}\!AC\right)=\langle B\mid (^{t}\!A)C\rangle$.