Espace vectoriel/Familles de vecteurs

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Soient :

• $E$ et $F$ deux $K$-espaces vectoriels ;
• $(x_{i})_{i\in I}\in E^{I}$ une famille d'éléments de $E$.

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Familles de vecteurs

Famille génératrice de $E$

La famille $(x_{i})_{i\in I}$ est dite génératrice de $E$ si

$E=\mathrm {Vect} \left((x_{i})_{i\in I}\right)$.

Cela équivaut à dire que tout vecteur de $E$ s'exprime (pas forcément de façon unique) comme combinaison linéaire de la famille $(x_{i})_{i\in I}$ :

$\forall v\in E\quad \exists (\lambda _{i})_{I}\in K^{(I)}\quad v=\sum \lambda _{i}x_{i}$.

Familles libres et liées

• On dit que la famille $(x_{i})_{i\in I}$ est libre, ou que les vecteurs $x_{i}$ sont linéairement indépendants, s'il n'existe pas de relation linéaire dans $(x_{i})_{i\in I}$.

Cela équivaut à dire que :

$\forall (\lambda _{i})_{i\in I}\in K^{(I)}\quad \sum \lambda _{i}x_{i}=0\Rightarrow \forall i\in I\quad \lambda _{i}=0$.

• Une famille qui n'est pas libre est dite liée. Elle est donc liée s'il existe une relation linéaire non triviale dans $(x_{i})_{i\in I}$, c'est-à-dire :

$\exists (\lambda _{i})_{i\in I}\in K^{(I)}\quad \sum \lambda _{i}x_{i}=0{\text{ et }}(\lambda _{i})_{i\in I}\neq (0)$.

Propriétés

1. Une famille n'ayant qu'un vecteur est libre si et seulement si ce vecteur est non nul.
2. Toute sous-famille d'une famille libre est libre.
3. Toute sur-famille d'une famille liée est liée.
4. Toute sur-famille d'une famille génératrice de $E$ est génératrice de $E$.

Démonstrations

1. Soit $x=(x_{1})$ une famille à un seul élément. Par définition, elle est libre si $\forall (\lambda _{1})\in K\quad \lambda _{1}x_{1}=0\Rightarrow \lambda _{1}=0$. Donc :
   • si $x_{1}\neq 0$, alors (cf. propriété du chapitre précédent) $\lambda _{1}x_{1}=0\Rightarrow \lambda _{1}=0$ et donc $x$ est libre ;
   • si $x_{1}=0$, alors $1_{K}\cdot x_{1}=0$, or $1_{K}\neq 0$, donc la famille est liée.
2. Soient $(x_{i})_{i\in I}$ libre et $J\subset I$. Toute famille $(\lambda _{i})_{i\in J}\in K^{(J)}$ telle que $\sum _{i\in J}\lambda _{i}x_{i}=0$ se complète par des zéros en une famille $(\lambda _{i})_{i\in I}\in K^{(I)}$ telle que $\sum _{i\in I}\lambda _{i}x_{i}=0$. Tous les $\lambda _{i}$ pour $i\in I$ sont alors nuls, en particulier les $\lambda _{i}$ pour $i\in J$.
3. Contraposée du point précédent.
4. Soit $J\subset I$. Alors, $\mathrm {Vect} \left((x_{i})_{i\in J}\right)\subset \mathrm {Vect} \left((x_{i})_{i\in I}\right)\subset E$ donc si $\mathrm {Vect} \left((x_{i})_{i\in J}\right)=E$ alors $\mathrm {Vect} \left((x_{i})_{i\in I}\right)=E$.

 

Base d'un espace vectoriel

Définition

Définition

La famille $B$ de vecteurs de $E$ est une base de $E$ si $B$ est libre et génératrice de $E$.

Début d’un théorème

Théorème et définition : coordonnées d'un vecteur dans la base B

$B=(x_{i})_{i\in I}$ est une base de $E$ si et seulement si tout vecteur de $E$ admet une unique décomposition suivant les $x_{i}$ :

$\forall v\in E\quad \exists !(\lambda _{i})_{i}\in K^{(I)}\quad v=\sum \lambda _{i}x_{i}$.

Dans ce cas, $(\lambda _{i})_{i\in I}$ est alors appelée la famille des coordonnées de $v$ dans la base $B$.

Fin du théorème

Démonstration

$(\Rightarrow )$ Si $B$ est une base de $E$, alors les $\lambda _{i}$ existent car $B$ est génératrice de $E$. Reste à montrer leur unicité.

Pour cela, on considère deux familles $(\lambda _{i})$ et $(\mu _{i})$ de scalaires vérifiant $v=\sum _{i\in I}\lambda _{i}x_{i}=\sum _{i\in I}\mu _{i}x_{i}$. Cela implique donc que :

$\sum _{i\in I}(\lambda _{i}x_{i}-\mu _{i}x_{i})=\sum _{i\in I}(\lambda _{i}-\mu _{i})x_{i}=0\;(\star )$.

Mais $B$ est une base de $E$ et est donc libre : ainsi, puisque $(\star )$ est une relation linéaire dans $B$ , tous ses coefficients $\lambda _{i}-\mu _{i}$ sont nuls, ce qui montre l'unicité de la décomposition de $v$.

$(\Leftarrow )$ Si tout vecteur de $E$ admet une unique décomposition suivant les $x_{i}$, alors il est clair que $B$ est génératrice de $E$. Comme le vecteur nul se décompose lui aussi uniquement suivant les $x_{i}$, et comme $0=\sum _{i\in I}0.x_{i}$ est une décomposition de $0_{E}$, on en déduit que c’est la seule. Autrement dit, la seule relation linéaire dans $B$ est la relation triviale, ce qui prouve la liberté de $B$ : $B$ est libre et génératrice de $E$, donc c’est une base de $E$.

 

Base canonique

Définition informelle : base canonique d'un espace vectoriel

Souvent, un espace vectoriel est muni d'une base privilégiée, appelée base canonique. Cette expression n'a pas de sens mathématique. Elle désigne seulement la base qui paraît « la plus naturelle » pour travailler dans l'espace vectoriel étudié.

Début de l'exemple

Quelques bases canoniques d'espaces courants

• La base canonique de $\mathbb {C}$ en tant que $\mathbb {R}$-espace vectoriel est $(1,\mathrm {i} )$. Ceci est assuré par l’existence et l'unicité des parties réelle et imaginaire de tout complexe.
• La base canonique du $K$-espace vectoriel $K^{n}$ est la famille $(e_{1},\dots ,e_{n})$ définie par :

  $e_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}},e_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots \\0\end{pmatrix}},\dots ,e_{n}={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\1\end{pmatrix}}$.

• La base canonique du $K$-espace vectoriel $K_{2}[X]$ des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 à une indéterminée $X$ à coefficients dans $K$ est la famille $(1,X,X^{2})$.

Fin de l'exemple

Changement de bases

Un quadrillage cartésien

Un vecteur est une entité géométrique. Il ne dépend pas du formalisme utilisé pour son étude, en particulier de la base dans laquelle on choisit d'exprimer ses coordonnées. Le choix de deux bases différentes conduira à deux systèmes de coordonnées différents pour décrire le même objet.

C'est un peu comme si on étudiait une poutre dans un quadrillage d'unité 1 cm et dans un quadrillage d'unité 5,27 dm. Les expressions des propriétés de la poutre (longueur, largeur...) seront différentes dans les deux repères, mais décriront bien le même objet.

Début de l'exemple

Autre base de $\mathbb {C}$

On rappelle que $\mathrm {j} =\mathrm {e} ^{\frac {2\mathrm {i} \pi }{3}}$. On considère $\mathbb {C}$ en tant que $\mathbb {R}$-espace vectoriel.

• On note $e=(1,\mathrm {i} )$ la base canonique de $\mathbb {C}$
• On note $f=(1,\mathrm {j} )$. $f$ est une autre base de $\mathbb {C}$.

Soit $z=1+\mathrm {i}$.

• Dans la base e, z a pour coordonnées ${\begin{array}{|l}1\\1\end{array}}$
• Dans la base f, z a pour coordonnées ${\begin{array}{|l}1+{\frac {\sqrt {3}}{3}}\\{\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\end{array}}$.

En effet, $\mathrm {i} =\left(\mathrm {j} +{\frac {1}{2}}\right){\frac {2}{\sqrt {3}}}$ donc $z=\left(1+{\frac {\sqrt {3}}{3}}\right)+{\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}j$.

Fin de l'exemple