Espace vectoriel/Définitions

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Un espace vectoriel est une structure stable par addition de vecteurs et par multiplication par un scalaire. Autrement dit, on peut ajouter deux éléments d’un tel espace, ou les multiplier par un nombre, le résultat appartiendra encore à l'espace de départ.

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Espace vectoriel

Définition

Soient un ensemble E non vide et $(K,+,\times )$ un corps (généralement $\mathbb {R}$ ou $\mathbb {C}$). Son neutre pour + sera $0_{K}$ et son neutre pour $\times$ sera noté $1_{K}$.

Définition : espace vectoriel à gauche, espace vectoriel à droite

On note $\left(E,+,\cdot \right)$ l’ensemble E muni d’une loi interne « + » (c'est-à-dire une opération entre les éléments de $E$) et d’une loi externe « $\cdot$ » (c'est-à-dire une opération entre un élément de E et un élément de $K$).

On dit que $E$ est un K-espace vectoriel à gauche lorsque :

• $\left(E,+\right)$ forme un groupe abélien, dont l'élément neutre, noté $0_{E}$, est appelé le vecteur nul ;
• $\forall \lambda \in K\quad \forall (x,y)\in E^{2}\quad \lambda \cdot (x+y)=(\lambda \cdot x)+(\lambda \cdot y)$ (la loi $\cdot$ est distributive par rapport à la loi +) ;
• $\forall (\lambda ,\mu )\in K^{2}\quad \forall x\in E\quad (\lambda +\mu )\cdot x=\lambda \cdot x+\mu \cdot x$ ;
• $\forall x\in E\quad 1_{K}\cdot x=x$ ;
• $\forall (\lambda ,\mu )\in K^{2}\quad \forall x\in E\quad (\lambda \times \mu )\cdot x=\lambda \cdot (\mu \cdot x)$.

On dit que $E$ est un K-espace vectoriel à droite si les quatre premières des cinq conditions ci-dessus sont satisfaites et que

• $\forall (\lambda ,\mu )\in K^{2}\quad \forall x\in E\quad (\lambda \times \mu )\cdot x=\mu \cdot (\lambda \cdot x)$.

Les éléments de $E$ s'appellent des vecteurs et les éléments de $K$ des scalaires.

Remarques.

1. Pour un corps K, les K-espace vectoriel à gauche (resp. à droite) sont exactement les K-modules à gauche (resp. à droite).
2. Si le corps K est commutatif (cas le plus important), il n'y a pas lieu de distinguer entre K-espaces vectoriels à gauche et K-espaces vectoriels à droite. On dit alors simplement « K-espace vectoriel ».
3. Le premier état du présent chapitre ne faisait pas la distinction entre K-espaces vectoriels à gauche et K-espaces vectoriels à droite. Avant une révision complète, il sera donc bon de toujours supposer que le corps K est commutatif.

Exemples

Pour tout corps $K$, les structures suivantes sont des $K$-espaces vectoriels.

Début de l'exemple

Exemple

• $\left(K,+,\cdot \right)$.
• $\left(K^{n},+,\cdot \right)$.
• $(K^{\mathbb {N} },+,\cdot )$, l’ensemble des suites à valeurs dans $K$, muni de l'addition « + » des suites et de « ∙ » la multiplication par un scalaire (et non la multiplication terme à terme de deux suites !), est un espace vectoriel..
• Plus généralement, $({\mathcal {F}}(X,K),+,\cdot )$, l’ensemble des fonctions d'un ensemble $X$ dans $K$, où « + » et « ∙ » représentent respectivement l'addition des fonctions et la multiplication par un scalaire (et non la fonction produit $x\mapsto f(x)\cdot g(x)$ !).
• L'ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire homogène (pour $K=\mathbb {R}$).

Fin de l'exemple

En particulier, $\forall (\lambda ,\mu )\in K^{2}\quad \forall (x,y)\in E^{2}\quad \lambda x+\mu y\in E$. Nous reviendrons sur ce genre de manipulation plus loin.

Dorénavant, $E$ est un $K$-espace vectoriel et $(x_{i})_{i\in I}\in E^{I}$ est une famille d'éléments de $E$.

Quelques propriétés

Propriétés

• $\forall \lambda \in K\quad \forall x\in E\quad \lambda \cdot x=0_{E}\Leftrightarrow \lambda =0_{K}{\text{ ou }}x=0_{E}$.
• $\forall x\in E\quad (-1_{K})\cdot x=-x$.

Démonstration

Soit $(\lambda ,x)\in K\times E$.

• $\lambda \cdot 0_{E}=0_{E}$ : $\lambda \cdot 0_{E}=\lambda \cdot (0_{E}+0_{E})=\lambda \cdot 0_{E}+\lambda \cdot 0_{E}$ et en ajoutant l'opposé de $\lambda \cdot 0_{E}$ dans chaque membre on trouve $0_{E}=\lambda \cdot 0_{E}$.
• $0_{K}\cdot x=0_{E}$ : $0_{K}\cdot x=(0_{K}+0_{K})\cdot x=0_{K}\cdot x+0_{K}\cdot x$ et en ajoutant l'opposé de $0_{K}\cdot x$ dans chaque membre on trouve $0_{E}=0_{K}\cdot x$.
• Réciproquement, $\lambda \cdot x=0_{E}\Rightarrow \lambda =0_{K}{\text{ ou }}x=0_{E}$ : on suppose $\lambda \cdot x=0_{E}$ et $\lambda \neq 0_{K}$.

  $\lambda ^{-1}\cdot (\lambda \cdot x)=\lambda ^{-1}\cdot 0_{E}=0_{E}$.

  Par ailleurs, $\lambda ^{-1}\cdot (\lambda \cdot x)=(\lambda ^{-1}\cdot \lambda )\cdot x=1_{K}\cdot x=x$.

  Donc $x=0_{E}$.

• ${\begin{aligned}(-1_{K})\cdot x+x&=(-1_{K})\cdot x+1_{K}\cdot x\\&=(-1_{K}+1_{K})\cdot x\\&=0_{K}\cdot x\\&=0_{E}\end{aligned}}$

  Donc $(-1_{K})\cdot x=-x$.

 

Conventions implicites de l'algèbre linéaire

En algèbre linéaire, on a l'habitude de noter :

• avec des lettres romaines les vecteurs : x, y…
• avec ces lettres grecques les scalaires : λ, μ…

Ceci permet de s'affranchir facilement de la notation fléchée ${\vec {x}}$, volontiers utilisée en « géométrie classique » pour désigner les vecteurs. Cette notation deviendrait en effet extrêmement lourde en algèbre linéaire.

Très souvent, pour alléger les notations, on omet le symbole $\star$ pour alléger les notations multiplicatives. Le signe de multiplication devient alors implicite.

Enfin, lorsqu'on étudie un ensemble en tant qu'espace vectoriel, le nom des lois est connu et est souvent omis. Par convention, les lois interne et externe seront notées respectivement + et $\cdot$.

Combinaison linéaire

Définition

On note $K^{(I)}$ l'ensemble des familles de scalaires $(\lambda _{i})_{i\in I}\in K^{I}$ telles que tous les $\lambda _{i}$ sont nuls sauf un nombre fini d'entre eux.

On appelle combinaison linéaire d'éléments de la famille de vecteurs $(x_{i})_{i\in I}$ tout vecteur v de $E$ tel qu’il existe $(\lambda _{i})_{i\in I}\in K^{(I)}$ vérifiant $v=\sum _{i\in I}\lambda _{i}x_{i}$.

On dit qu’il existe une relation linéaire dans $(x_{i})_{i\in I}$ si 0 est une combinaison linéaire d'éléments de $(x_{i})_{i\in I}$ à coefficients non tous nuls.

Début de l'exemple

Exemples

Dans la famille $(a,b,c)$, on a la relation linéaire $a-b-c=0$

---

Dans $E=K^{3}$, on pose : $v_{1}={\begin{pmatrix}1\\-2\\5\end{pmatrix}},v_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix}},v_{3}={\begin{pmatrix}2\\-3\\8\end{pmatrix}}$

Dans la famille v, il y a la relation linéaire $2v_{1}+v_{2}-v_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$.

Fin de l'exemple

Sous-espace vectoriel

Définitions

Définition : sous-espace vectoriel

Soit $F$ une partie de $E$. On dit que $F$ est un sous-espace vectoriel (sev) de $E$ lorsque :

• $F\neq \varnothing$ ;
• $\forall (\lambda ,u)\in K\times F\quad \lambda u\in F$ ;
• $\forall (u,v)\in F^{2}\quad u+v\in F$.

Remarque

Si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$, alors $0_{E}\in F$.

En effet, $F\neq \varnothing$, donc $\exists x\in F$.

D'après le deuxième point, $-x\in F$.

D'après le troisième point, $x+(-x)\in F$, soit $0_{E}\in F$.

Début d’un principe

Remarque technique : montrer qu'un ensemble est un sous-espace vectoriel

Pour montrer qu'un ensemble $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$, on montre :

• $0_{E}\in F$.

  L'élément nul est souvent facile à manipuler : il est donc en règle générale très facile de montrer qu’il appartient à F même pour des ensembles compliqués. Si $0_{E}\in F$, on a alors l’assurance que $F\neq \varnothing$.

• $\forall (\lambda ,u,v)\in K\times F^{2}\quad \lambda u+v\in F$.

  Cette assertion est équivalente aux deux derniers points de la définition réunis. Montrer directement cette appartenance permet de concentrer les deux points en une seule preuve.

• On peut donc résumer la définition du sous-espace vectoriel à un ensemble non vide (contenant le vecteur nul) et stable par combinaison linéaire.

Fin du principe

Début de l'exemple

Exemple

$E={\mathcal {C}}^{0}([0,2],\mathbb {R} )$, ensemble des fonctions continues de l'intervalle $[0,2]$ dans $\mathbb {R}$. On pose $F$ l’ensemble des fonctions de $E$ qui s'annulent en $1$.

$F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ car :

• $0_{E}\in F$ (car la fonction nulle sur l'intervalle $[0,2]$ est nulle en $1$) ;
• soit $(\lambda ,f,g)\in \mathbb {R} \times F^{2}$.

  $(\lambda f+g)(1)=\lambda f(1)+g(1)=0$ donc $\lambda f+g\in F$.

Fin de l'exemple

Début d’un théorème

Théorème

Tout sous-espace vectoriel de $E$ est un $K$-espace vectoriel.

Fin du théorème

Début d’un principe

Remarque technique : montrer qu'un espace est un espace vectoriel

En général, pour montrer qu'un espace est un espace vectoriel, on montre que c’est un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel connu. Cela permet de vérifier un nombre de points beaucoup plus restreints pour démontrer qu'un ensemble admet une structure d'espace vectoriel.

Fin du principe

Début de l'exemple

Exemple

On sait que l’ensemble ${\mathcal {F}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ des fonctions de $\mathbb {R}$ dans $\mathbb {R}$ est un $\mathbb {R}$-espace vectoriel lorsqu’il est muni :

• de la loi + d'addition des fonctions ;
• de la loi ∙ de multiplication d’une fonction par un nombre réel.

On pose ${\mathcal {I}}$ l’ensemble des fonctions impaires de $\mathbb {R}$ dans $\mathbb {R}$. ${\mathcal {I}}=\{f\in {\mathcal {F}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )\mid \forall x\in \mathbb {R} \quad f(-x)=-f(x)\}$.

Montrer que ${\mathcal {I}}$ est un $\mathbb {R}$-espace vectoriel.

• ${\mathcal {I}}\subset {\mathcal {F}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$
• $0\in {\mathcal {I}}$
• Soit $(\lambda ,f,g)\in \mathbb {R} \times {\mathcal {I}}^{2}$

$\forall x\in \mathbb {R} \quad (\lambda f+g)(-x)=\lambda f(-x)+g(-x)=-\lambda f(x)-g(x)=-(\lambda f(x)+g(x))$.

Donc $\lambda f+g\in {\mathcal {I}}$.

Donc ${\mathcal {I}}$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathcal {F}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$, donc ${\mathcal {I}}$ est un $\mathbb {R}$-espace vectoriel.

Fin de l'exemple

Sous-espace vectoriel engendré par une partie

La structure d'espace vectoriel est la structure de base de l'algèbre dite « linéaire », c'est-à-dire de l'algèbre mettant en jeu des combinaisons linéaires d'objets mathématiques, ainsi que des ensembles stables par ces combinaisons linéaires.

On s'intéresse maintenant à la conservation de la structure d'espace vectoriel lorsqu'on choisit une famille de vecteurs d’un espace vectoriel $E$. En particulier, comment construire le « plus petit sous-espace vectoriel de $E$ » contenant tous les $x_{i}$ ?

Définition : sous-espace engendré par une famille de vecteurs

Le sous-espace vectoriel de $E$ engendré par la famille $(x_{i})_{i\in I}$ , noté $\operatorname {Vect} \left((x_{i})_{i\in I}\right)$, est l’ensemble des combinaisons linéaires d'éléments de $(x_{i})_{i\in I}$ : $\operatorname {Vect} \left((x_{i})_{i\in I}\right)=\left\{\left.\sum _{i\in I}\lambda _{i}x_{i}~\right|~(\lambda _{i})_{i\in I}\in K^{(I)}\right\}$.

L' ensemble $\operatorname {Vect} \left((x_{i})_{i\in I}\right)$ est, au sens de l'inclusion, le plus petit sous-espace vectoriel de $E$ contenant tous les $x_{i}$.

Démonstration

Il faut montrer qu’il s'agit bien du plus petit sous-espace vectoriel de $E$ contenant tous les $x_{i}$ au sens de l'inclusion, c'est-à-dire que si $F$ est un sev de $E$ contenant la famille $x$ , alors $\operatorname {Vect} \left((x_{i})_{i\in I}\right)\subset F$. $F$ est un sev, donc il est stable par combinaison linéaire : comme il contient les $x_{i}$ , il contient donc l’ensemble de toutes leurs combinaisons linéaires, qui est précisément $\operatorname {Vect} \left((x_{i})_{i\in I}\right)$.

 

Corollaire

Soit $(x_{i})_{i\in I}$ une famille de vecteurs de $E$ , et $F$ un sev de $E$.

$(\forall i\in I\quad x_{i}\in F)\iff \operatorname {Vect} \left((x_{i})_{i\in I}\right)\subset F$.

Définition : sous-espace vectoriel engendré par une partie de $E$

Soient $E$ un espace vectoriel sur $K$ et $A\subset E$.

On appelle sous-espace vectoriel engendré par $A$ , et l'on note $\operatorname {Vect} (A)$ l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires d'éléments de $A$ :

$\operatorname {Vect} (A)=\left\{\left.\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}.u_{i}~\right|~n\in \mathbb {N} ,(\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n})\in K^{n},(u_{1},\cdots ,u_{n})\in A^{n}\right\}$.

Il s'agit, au sens de l'inclusion, du plus petit espace vectoriel contenant $A$.

Somme de sous-espaces vectoriels

Définition : somme de sous-espaces vectoriels

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. On définit la somme de $F$ et $G$ comme l’ensemble :

$F+G=\{u+v\mid (u,v)\in F\times G\}$.

Remarque : $F+G=\operatorname {Vect} \left(F\cup G\right)$.

Intersection de sous-espaces vectoriels

Propriété

Toute intersection de sous-espaces vectoriels de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$.

Démonstration

Soient I un ensemble et $(F_{i})_{i\in I}$ une famille de sous-espaces vectoriels de $E$.

• $\forall i\in I,~0_{E}\in F_{i}$ donc $0_{E}\in \bigcap _{i\in I}F_{i}$ (et au passage $\bigcap _{i\in I}F_{i}\neq \varnothing$)

Soit $(\lambda ,x,y)\in K\times \left(\bigcap _{i\in I}F_{i}\right)^{2}$.

• $\forall i\in I,~F_{i}$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et $(x,y)\in F_{i}^{2}$ donc $\lambda x+y\in F_{i}$.
  • Donc $\lambda x+y\in \bigcap _{i\in I}F_{i}$.

Donc $\bigcap _{i\in I}F_{i}$ est un sous-espace vectoriel de $E$.

 

Sous-espaces vectoriels supplémentaires

Définition : sous-espaces supplémentaires

Deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ de $E$ sont dits supplémentaires si $F+G=E$ et $F\cap G=\{0\}$, autrement dit : si

$E\subset F+G\quad {\text{et}}\quad F\cap G\subset \{0\}$.

On note alors $E=F\oplus G$.

Début de l'exemple

Exemple

$E={\mathcal {F}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$, espace vectoriel des fonctions de $\mathbb {R}$ dans $\mathbb {R}$.

On note :

• ${\mathcal {P}}$, sous-espace vectoriel des fonctions paires de ${\mathcal {F}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$
• ${\mathcal {I}}$, sous-espace vectoriel des fonctions impaires de ${\mathcal {F}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$

Démontrer que ${\mathcal {F}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )={\mathcal {I}}\oplus {\mathcal {P}}$.

Solution

• Soit $f\in E$ :
  • $\forall x\in \mathbb {R} ,~f(x)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}}+{\frac {f(x)-f(-x)}{2}}$
  • $x\mapsto {\frac {f(x)+f(-x)}{2}}\in {\mathcal {P}}$
  • $x\mapsto {\frac {f(x)-f(-x)}{2}}\in {\mathcal {I}}$
• Donc ${\mathcal {F}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )\subset {\mathcal {I}}+{\mathcal {P}}$.
• Soit $f\in {\mathcal {\mathcal {I}}}\cap {\mathcal {P}}$ :
  • $\forall x\in \mathbb {R} ,~f(x)=f(-x)$ car $f\in {\mathcal {P}}$ ;
  • $\forall x\in \mathbb {R} ,~f(x)=-f(-x)$ car $f\in {\mathcal {I}}$ ;
  • donc $\forall x\in \mathbb {R} ,~f(x)=0$, c'est-à-dire $f=0$.
• Donc ${\mathcal {I}}\cap {\mathcal {P}}\subset \{0\}$.

Donc ${\mathcal {F}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )={\mathcal {I}}\oplus {\mathcal {P}}$.

 

Fin de l'exemple

Produit d'espaces vectoriels

Définition et théorème

Soient $E$ et $F$ deux $K$-espaces vectoriels. On définit l'espace produit de $E$ et $F$ comme l'ensemble produit $E\times F$, muni des deux lois suivantes, qui en font un $K$-espace vectoriel :

$(x,y)+_{E\times F}(x',y'):=(x+_{E}x',y+_{F}y')\quad {\text{et}}\quad \lambda \cdot _{E\times F}(x,y):=(\lambda \cdot _{E}x,\lambda \cdot _{F}y)$.