Expressions algébriques/Exercices/Opérations sur les polynômes

Exercice 4-1

Sachant que :

${\begin{aligned}x+y+z&=a\\x^{2}+y^{2}+z^{2}&=b^{2}\\x^{3}+y^{3}+z^{3}&=c^{3}\end{aligned}}$

calculer le produit $xyz$ en fonction de $a,\,b,\,c$.

Aide

On commencera par calculer $a^{3}$.

Solution

${\begin{aligned}a^{3}&=(x+y+z)^{3}\\&=(x+y+z)^{2}\times (x+y+z)\\&=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2xz+2yz)\times (x+y+z)\\&=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2xz+2yz)\times (x+y+z)\\&=x^{3}+y^{3}+z^{3}+3(x^{2}y+xy^{2}+x^{2}z+xz^{2}+y^{2}z+yz^{2})+6xyz\\&=x^{3}+y^{3}+z^{3}+3\left[(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2})-(x^{3}+y^{3}+z^{3})\right]+6xyz\\&=c^{3}+3\left(ab^{2}-c^{3}\right)+6xyz\\&=3ab^{2}-2c^{3}+6xyz\\\end{aligned}}$

On en déduit :

$xyz={\frac {a^{3}-3ab^{2}+2c^{3}}{6}}$

 

Exercice 4-2

Soit $a,\,b,\,c$ trois nombres différents vérifiant :

${\begin{aligned}a^{3}+pa+q=0\\b^{3}+pb+q=0\\c^{3}+pc+q=0\end{aligned}}$

Montrez qu'alors on a la relation :

$a+b+c=0$

Solution

Les relations de l'énoncé montre que le polynôme $x^{3}+px+q$ s'annule pour $a,\,b,\,c$. Ce polynôme se factorise donc sous la forme :

$x^{3}+px+q=(x-a)(x-b)(x-c)\times Q$

Comme $x^{3}+px+q$ et $(x-a)(x-b)(x-c)$ sont du troisième degré, on en déduit que $Q$ est une constante. En égalant les termes en $x^{3}$, on voit que $Q=1$. On a donc :

$x^{3}+px+q=(x-a)(x-b)(x-c)$

En développant le second membre, on trouve :

$x^{3}+px+q=x^{3}-(a+b+c)x^{2}+(ab+ac+bc)x-abc\times Q$

En égalant les termes en $x^{2}$, on obtient :

$a+b+c=0$

 

Exercice 4-3

Montrez que si un polynôme est symétrique par rapport à deux variables $a$ et $b$ et si l'on peut mettre $(a-b)$ en facteur, alors on peut aussi mettre $(a-b)^{2}$ en facteur.

Solution

Soit $P(a,b,\cdots )$ un polynôme vérifiant les conditions de l'énoncé. Alors il existe $Q(a,b,\cdots )$ tel que :

$P(a,b,\cdots )=(a-b)Q(a,b,\cdots )$

Si l'on intervertit $a$ et $b$, l'expression se transforme en :

$P(b,a,\cdots )=(b-a)Q(b,a,\cdots )$

Puisque $P$ est symétrique, le premier membre est inchangé et l'on obtient :

$(a-b)Q(a,b,\cdots )=(b-a)Q(b,a,\cdots )$

qui s'écrit :

$(a-b)Q(a,b,\cdots )=-(a-b)Q(b,a,\cdots )$

En simplifiant par $(a-b)$ il nous reste :

$Q(a,b,\cdots )=-Q(b,a,\cdots )$

Si dans cette dernière expression on remplace $b$ par $a$, on obtient :

$Q(a,a,\cdots )=-Q(a,a,\cdots )$

qui s'écrit :

$2Q(a,a,\cdots )=0$

Soit :

$Q(a,a,\cdots )=0$

Ce qui montre que l'on peut mettre $(a-b)$ en facteur dans $Q(a,b,\cdots )$

On obtient :

$Q(a,b,\cdots )=(a-b)Q'(a,b,\cdots )$

et en reportant dans $P(a,b,\cdots )=(a-b)Q(a,b,\cdots )$, on obtient finalement :

$P(a,b,\cdots )=(a-b)^{2}Q'(a,b,\cdots )$